一元二次方程（原卷版）-2023年中考数学一轮复习专练

专题10一元二次方程

一、解一元二次方程

【高频考点精讲】

1.用“配方法”解一元二次方程

(1)把原方程化为。/+云+0=0(°#0)的形式；

(2)方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

(5)如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。

2.用“因式分解法”解一元二次方程

(1)移项，使方程的右边化为零；

(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

(3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

3.用“换元法”解一元二次方程

(1)把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知

数的方程，这种方法叫做“换元法”。

(2)“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复

杂问题简单化。

【热点题型精练】

1.(2022•甘肃中考)用配方法解方程尤2-2x=2时，配方后正确的是()

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2—6

2.(2022•聊城中考)用配方法解一元二次方程3/+6x-1=0时，将它化为(尤+a*=b的形式，则a+b的值为()

3.（2022•天津中考）方程/+4x+3=0的两个根为（）

A.xi=l,X2=3B.XI=-1,X2=3

C.xi=l,X2=-3D.-1,X2=-3

4.(2022•包头中考)若xi,X2是方程/-2x-3=0的两个实数根，则尤1•无22的值为()

A.3或-9B.-3或9C.3或-6D.-3或6

5.(2022•天津模拟)已知(/+/)2,8(办.)_48=0,则/+廿的值为()

A.12B.4C.-4D.12或-4

6.(2022•荆州中考)一元二次方程/-4x+3=0配方为(%-2)2=k,则左的值是.

7.（2022•梧州中考）一元二次方程（%-2）（x+7）=0的根是.

8.（2022•齐齐哈尔中考）解方程：（2x+3）°=（3尤+2）2.

9.（2022•凉山州中考）解方程：x2-2x-3=0.

10.（2021•浙江中考）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（尤-3）2的过程如下框:

小霞:

小敏:

移项，得3(x-3)-(x-3)=0,

两边同除以（x-3）,得

提取公因式，得（%-3）（3-X-3）=0.

3—x-3,

则x-3=0或3-x-3=0,

则x=6.

解得xi=3,X2—Q.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“J”；若错误请在框内打“X”，并写出你的解答过程.

二、高次方程和无理方程

【高频考点精讲】

1.高次方程

（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。

（2）高次方程的解法

通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程

或一次方程。

2.无理方程

（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。

（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。

（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，

应当注意验根。

【热点题型精练】

H.（2022•随州模拟）对于1一（层+1）廿九=0这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式：x3

-（n2+l）x+n=jc>-Y?X-x+n=x（x2-n2）-（x-n）=（x-H）（x2+nx-1）,这样原方程就可变为（x-〃）（/+〃%

-1）=0,即有x-〃=0或f+加一i=o,因此，方程1=0和/+九式-i=o的所有解就是原方程的解.据此，

显然/-5了+2=0有一个解为工1=2,设它的另两个解为12,X3,则式子X2X3-X2-X3的值为（）

A.-1B.1C.-3D.7

12.（2022•扬州模拟）已知月、%2、％3为方程丁+3了-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（）

A.XlX2X3<0B.X1+X2-X3>0C.Xl-X2-X3>0D.Xl+X2+X3<0

13.（2022•金华模拟）用换元法解方程（%2-%）—7x2一％=6时,设—x=）,那么原方程可化为（）

A.y+>-6=0B.『+>+6=0C.y2-y~6=0D.y2-y+6=0

14.(2022•临沂模拟)将关于x的一元二次方程，-px+q=O变形为/=px-q,就可以将一表示为关于龙的一次

多项式，从而达到“降次”的目的，又如丁二六^二无(px-q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这

种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”.已知：/+尤-1=0,且x>0.则/-2X3+3X的值为.

15.(2022•郑州模拟)解方程：VXT7-V%T2=Vx^l,x=.

16.(2022•成都模拟)先阅读理解下面的例题，再解答问题：

例：解一元三次方程x3-x=0

''x(x2-1)=0即尤(x+1)(x-1)=0

由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得

x=0或x+l=0或x-1=0

；.xi=0x2=-1尤3=1

根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答：

(1)解一元三次方程%3-2x2-x+2=0；

(2)解一元三次方程x3-6/+llx-6=0.

17.(2022•衢州模拟)解方程：V2%2-9%+5=%-3.

三、根的判别式及根与次数关系

【高频考点精讲】

1.根的判别式

一元二次方程a^+bx+cuOQWO)的根与根的判别式(△=户-4℃)有如下关系：

(1)当^>。时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，^〉。。

(2)当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；反过来，当方程有两个相等的两个实数根时，△二。。

(3)当△<()时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△<0。

2.根与系数的关系

bc

(1)如果XI,X2是一元二次方程以2+fcv+c=0(aWO)的两根，那么Xl+X2=——，XIX2=—

aa

(2)根与系数的关系可以解决以下问题

①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数。

②求关于根的式子的值，例如求X：+/。

③判断两根的符号；

④由两根满足的条件，确定字母的取值。

【热点题型精练】

18.(2022•郴州中考)一元二次方程2?+尤-1=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

19.（2022•淮安中考）若关于x的一元二次方程7-2x-Z=0没有实数根，则％的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

20.（2022•营口中考）关于尤的一元二次方程/+©-机=0有两个实数根，则实数机的取值范围为（)

A.m<4B.m>-4C.m^4D,加2-4

21.（2022•乐山中考）关于x的一元二次方程3/-2x+根=0有两根，其中一根为工=1,则这两根之积为（)

12I

A.-B.-C.1D.-4

333

22.（2022•呼和浩特中考）已知％1,12是方程7-x-2022=0的两个实数根,则代数式--2022x1+—的值是（)

A.4045B.4044C.2022D.1

23.（2022•扬州中考）请填写一个常数，使得关于x的方程？-2元+=0有两个不相等的实数根.

24.（2022•上海中考）已知--2信+加=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是.

25.（2022•日照中考）关于x的一元二次方程2/+4mx+m=0有两个不同的实数根xi,X2,且XI2+X22=急则m

26.（2022•内江中考）已知xi、尤2是关于龙的方程7-2无+%-1=0的两实数根，且二■+二=xj+2x2-1,则左的

Xi%2

值为.

27.（2022•十堰中考）已知关于尤的一元二次方程f-2x-3“P=o.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根;

（2）若方程的两个实数根分别为a,p,且a+20=5,求机的值.

28.（2022•南充中考）己知关于尤的一元二次方程,+3x+k-2=0有实数根.

（1）求实数上的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为XI,XI,若（尤1+1）（X2+1）=-1,求左的值.

四、由实际问题抽象出一元二次方程

【高频考点精讲】

在解决实际问题时，要明确已知和未知，找出相等关系，设出未知数，用方程表示已知量与未知量之间的等量关系,

即列出一元二次方程。

【热点题型精练】

29.（2022•重庆中考）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设该校

植树棵数的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（）

A.625（1-%）2=400B.400（1+无）2=625

C.625/=400D.400.?=625

30.（2022•泉州模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖.作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺;

将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品

面积的2倍.设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（）

A.（5+2x）（3+2x）=2X5X3B.（5+尤）（3+x）=2X5X3

C.2（5+2x）（3+2x）=5X3D.（5+2x）（3+2x）=5X3

31.（2022•泰安中考）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每

株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费

是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的

数量为无株，则符合题意的方程是（）

A.3（x-1）x=6210B.3（x-1）=6210

C.（3x-l）尤=6210D.3尤=6210

32.（2022•青海中考）如图，小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21。层的无盖长方体

纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边

33.（2022•通辽模拟）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为

单循环形式（每两队之间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据

题意，可列方程为.

34.（2022•株洲模拟）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔

不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问

长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是无步，则可列方程为.

五、一元二次方程的应用

【高频考点精讲】

1.数字问题：个位数为a,十位数是6,则这个两位数表示为10%+。。

2.增长率问题：增长率=e受X100%,若原总量为a,增长率为尤，则第一次增长后为。（1+尤）；第二次增

原总量

长后为。（1+无）2,即原数X（1+增长率）2=后来数；

3.形积问题

（1）利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。

（2）利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。

（3）利用相似三角形的对应比例关系列比例式，通过两内项之积等于两外项之积得到一元二次方程。

【热点题型精练】

35.（2022•南通中考）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若从1月到3月，每月盈利的平

均增长率都相同，则这个平均增长率是（）

A.10.5%B.10%C.20%D.21%

36.（2022•黑龙江中考）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了

45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

37.（2022•天津模拟）如图，将边长为40c机的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折

成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为9