中考数学专项复习：图形的全等知识讲解

专题4.7图形的全等(知识讲解)

【学习目标】

1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；

2.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；

3.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【要点梳理】

要点一、全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻

折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

要点二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

要点三、对应顶点，对应边，对应角

1.对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

特另！J说明.

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如

下图，^ABC与4DEF全等，记作△ABC04DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点；

AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；/A和ND,NB和/E,NC和NF是对应角.

2.找对应边、对应角的方法

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边是对应边；

(4)有公共角的，公共角是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

(6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角)，一对最短的边(或最小的角)

是对应边(或角)，等等.

要点四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的

性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

【典型例题】

类型一、图形的全等??全等图形的识别

1.下列各组图形中不是全等图形的是(？?？)

【答案】B

【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解.

解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，

...是全等图形，

B选项中两个图形不可能完全重合，

•••不是全等形.

故选：B.

【点拨】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题.

举一反三：

【变式1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（????）

A.©@B.令令

c.推带£技

【答案】D

【分析】根据全等图形的概念判断即可.

解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；

D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键.

【变式2】下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）

熏机⑪©

【答案】c

【彳析】根据全等图形的概念分析即可.

解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；

B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；

C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；

D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；

故选：C.

【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键.

类型二、全等三角形概念??全等图形的识别

.如图，在ABC中，于点。，BD=CD.完成下面说明=的理由的过程.

解：ADLBC（已知），

:.ZADB==RfN（垂直的定义）.

当把图形沿AD对折时，射线DB与DC

BD=CD（）

•••点B与点___________重合，

;*ABD与_ACD,

:.^ABDACD（全等三角形的定义），

ZB=ZC（）.

【答案】ZADC-,重合；已知；C；重合；=；全等三角形的性质

【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案.

解：AD1BC（已知），

;.ZADB=^ADC=RtZ.（垂直的定义）.

当把图形沿AO对折时，射线与。C重合.

BD=CD（已知）

・••点2与点C重合，

与，ACD重合，

经ACD（全等三角形的定义），

.-.ZB=ZC（全等三角形的性质）.

故答案为：ZADC-,重合；已知；C；重合；=；全等三角形的性质.

【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三

角形，是关键.

举一反三：

【变式1】如下图，AOC与,.300全等.用符号“四”表示这两个三角形全等.已知NA与是对

应角，写出其余的对应角和各对对应边.

【答案】△AOC丝△88.对应角是：NAOC与/BOD,ZACO与NBDO；

对应边是；OA与08,OC与0D,AC与BD.

【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案.

解：??AAOC当△BOD.

因为，A与，3是对应角，所以其余的对应角是：

NAOC与/BOD,ZACO与NBDO；

对应边是；OA与。8,OC与0D,AC与8。.

【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键.

【变式2】如图，若AADE当ABCE,N1与N2是对应角，AD与8C是对应边，写出其他的对应边及

对应角.

【答案】AE与BE是对应边，OE与CE是对应边，“与/C是对应角，与—3EC是对应角.

【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断.

解：因为AADE名ABCE,

所以AE与8E是对应边，

DE与CE是对应边，

/O与—C是对应角，

ZAED与NBEC是对应角.

【点拨】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应

角的定义是解题关键.

类型三、全等三角形的性质??求边??求角??周长??面积

©，3.如图，△山?<?四△DEC,点A和点。是对应点，点8和点E是对应点，过点A作APLCD,

垂足为点F.

A

(1)ZBAC=,NB=,AB=；

⑵若/BCE=65。，完善求NOLF度数的解题过程.

ZACB=,

：.?BCE?ACE?ACD?ACE,

,：/BCE=65°,

ZACF=65°.

又,:，

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF^0,

【答案】(1)ND,ZE,DE(2)ZDCE,NBCE=ZACD,AF±CD,25

【分析】(1)由△ABC名△DEC,即可得到对应角和对应边相等

(2)由△AB87)EC,得到NBCE=NACD,且AbJLCD,即可求得NC4F=25。

⑴解：：,

AABAC=ZD,ZB=ZE,AB=DE；

故答案为：ND,ZE,DE

(2):△ABgADEC,

：.ZACB=NDCE,

：.?BCETACETACD?ACE,

：.NBCE=ZACD.

'：/BCE=65。,

ZACF=65°.

又；AFCD,

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF=25°.

故答案为：NDCE,ZBCE=ZACD,AFLCD,25

【点拨】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题

的关键

举一反三：

【变式1】如图，A3与C。相交于点E,连接AD、AC、BC,若△A3c9AWE,ZBAC=28。，求/台

的度数.

【答案】48。

【分析】根据全等三角形的性质得出AC=AE,ND4E=ZBAC=28o,ZB=ND,根据三角形内角和定

理求得NAEC,进而根据三角形外角的性质求得NO,即可求解.

解：,/△ABC—ADE,ABAC=28°,

AC=AE,ZDAE=ABAC=28°,NB=ND,

：.ZAEC=ZACE=(x(180。-28。)=76°.

NAEC是VADE的一个外角，

ZD=ZAEC-ZDAE=76°-28°=48°,

ZB=ZD=48°.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解

题的关键.

【变式2】如图，已知△ABC丝点E在A3上，DE与AC相交于点四

(1)若DE=6,BC=4,求线段AE的长；

(2)己知ND=35。，ZC=60°,求NAFD的度数.

【答案】⑴AE=2(2)ZAFD=130°

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=6,BE=BC=4,结合图形计算，得到答案；

(2)根据全等三角形的性质得到/£>3E=NC=60。，ZA=ZD=35。，根据三角形内角和定理求出

ZABC,计算即可.

(1)解：YAABC会ADEB,DE=6,3C=4,

AB=DE=6,BE=BC=4,

・•・AE=AB-BE=6-4=2；

(2)•:AABC"ADEB,Z£>=35°,ZC=60°,

/.ZDBE=ZC=60°,ZA=ZD=35°,ZABC=/DEB,

：.ZASC=180°-ZA-ZC=85°,

:・/DEB=85。,

；・ZAED=95。,

・•・ZAFD=ZA+ZAED=35°+95。=130°.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三

角形的性质是解题的关键.

©>4.如图，已知,ABCqD£B,点E在AB上，AC与8。交于点孔AB=S,BC=5,ZC=65°,

ZZ)=20o.

(1)求AE的长度；

(2)求—AED的度数.

【答案】(1)AE=3(2)ZAED=85°

【分析】(1)根据全等三角形的性质解答即可；(2)根据全等三角形的性质解答即可.

解：(1),:ABC'DEB,

：.BE=BC=3,

：.AE=AB-BE=6-3=3,

(2)ABC三DEB,

：.ZA=ZD=25°,ZDBE=ZC=55°,

ZAED=ZDBE+/D=25。+55。=80。.

【点拨】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可.

举一反三：

【变式1］如图，已知AABC之△£>£〃，AF=5cm.

（1）求cr>的长.

（2）AB与。E平行吗？为什么？

解：（1）•.•△ABCgZYDEF（已知），

J.AC^DF（）,

：.AC-FC=DF-FC（等式性质）

即=???

VAF=5cm

••=5cm

（2）•:△ABC之△。石方（已知）

ZA=（）

：.AB（）

【答案】（1）全等三角形对应边相等，AF,CD,CD；（2）ZD,全等三角形对应角相等，DE,内错

角相等，两直线平行.

【分析】（1）根据△ABCgZiDERAF=5cm,可以得到CD=AF,从而可以得到CO的长；

（2）根据AA2C名△£）£■£可以得到NA=N。，从而可以得到A2与。E平行.

解：（1）•.•△ABCg/YDEF（已知），

：.AC=DF（全等三角形对应边相等），

：.AC-FC=DF-FC（等式性质）

即AF=CD,

".■AF=5cm

CD=5cm；

（2）,/AABC^ADEF（已知）

/.ZA=ZD（全等三角形对应角相等）

：.ABDE（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF,CD,CD；（2）ZD,全等三角形对应角相等，DE,内

错角相等，两直线平行.

【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

【变式2】如图,3,C,£>三点在同一条直线上，=/。=90°,AABC三ACDE,A8=5,3C=12,CE=13.

（1）求aABC的周长.

（2）求"CE的面积.

【答案】（1）30（2）些

2

【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到AC=CE=13,然后计算一ABC的周长；

（2）先根据全等三角形的性质得到AC=C£,NAC5=NC£。，再证明NACE=90。，然后根据三角形

面积公式计算AACE的面积.

解：（1）MBC—CDE,

AC=CE=13,

.•.AABC的周长=AB+5C+AC=5+12+13=30；

（2）AABC=ACDE,

AC=CE=13,ZACB=ZCED,

ND=90。，

.•.NCED+NDCE=90。,

:.ZACB+ZDCE=9伊,

/.ZACE=90°,

.1,ACE的面积=^xl3xl3=吧.