人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计3：§8 1　成对数据的统计相关性教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.1成对数据的统计相关性教学目标1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．教学知识梳理知识点一相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．思考相关关系是函数关系吗？〖答案〗不是．函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点二相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)样本相关系数r的取值范围为〖－1,1〗．①若r>0时，成对样本数据正相关；②若r<0时，成对样本数据负相关；③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．教学案例案例一变量间相关关系的判断例1.下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④〖解析〗函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．〖答案〗C反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1.在对变量y和x进行线性相关检验时，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝3，r＝0.9950.则变量y和x具有较高线性相关程度的是()A．①和② B．①和④C．②和④ D．③和④〖答案〗B〖解析〗相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B.案例二样本相关系数的性质例2.对相关系数r，下列说法正确的是()A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小〖答案〗D〖解析〗由两个变量相关系数公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2·\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))，可知，|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小，故选D.反思感悟样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．跟踪训练2.在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2〖答案〗A〖解析〗∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关．∴可排除B，C，D，故选A.案例三样本相关系数的计算及应用例3.一唱片公司欲知打歌费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：eq\o(∑,\s\up12(10),\s\do12(i＝1))xi＝28，eq\o(∑,\s\up12(10),\s\do12(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝303.4，eq\o(∑,\s\up12(10),\s\do12(i＝1))yi＝75，eq\o(∑,\s\up12(10),\s\do12(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝598.5，eq\o(∑,\s\up12(10),\s\do12(i＝1))xiyi＝237，求y与x的相关系数r的值．解：由题中数据可知r＝eq\f(237－10×2.8×7.5,\r(303.4－10×2.82)×\r(598.5－10×7.52))＝0.3.反思感悟线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．跟踪训练3.下列是小麦产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045小麦产量320330360410460470480判断施化肥量与水稻产量是否有相关关系．解：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11532022510240048002203304001089006600325360625129600900043041090016810012300535460122521160016100640470160022090018800745480202523040021600∑21028307000117190089200∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up12(7),\s\do12(i＝1))xiyi－7\x\to(x)eq\x\to(y),eq\r(\o(∑,\s\up12(7),\s\do12(i＝1))x\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)eq\r(\o(∑,\s\up12(7),\s\do12(i＝1))y\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(4300,\r(700×27771.43))≈0.975.由于r＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．课堂小结1．知识清单：(1)相关关系．(2)散点图．(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．(4)样本相关系数．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．当堂检测1.两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.7859，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是()A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强〖答案〗C〖解析〗由样本相关系数r1＝0.7859>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.2.对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关〖答案〗C〖解析〗由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．3.据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)〖答案〗否〖解析〗图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．4.部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的相关系数为________．〖解析〗eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6.eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))\o()(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1)\o())(xi－\x\to(x))2)\r(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))\o()(yi－\x\to(y))2))＝0.9918.〖答案〗0.99185.现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．解：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋