人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业5：6 3 2 二项式系数的性质练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.3.2二项式系数的性质基础达标一、选择题1．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A．210 B．252C．462 D．10〖解析〗由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)x30－5k.令30－5k＝0，得k＝6，于是得其常数项为Ceq\o\al(6,10)＝210.〖答案〗A2．已知关于x的二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1 B．±1C．2 D．±2〖解析〗由条件知2n＝32，即n＝5，在通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,5)akxeq\f(15－5k,6)中，令15－5k＝0，得k＝3.所以常数项为Ceq\o\al(3,5)a3＝80，解得a＝2.〖答案〗C3．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是()A．2048 B．－1023C．－1024 D．1024〖解析〗(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②eq\f(②－①,2)＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1024，即为所求系数之和．〖答案〗D4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为()A．10 B．45C．－9 D．－45〖解析〗x10＝〖1＋(x－1)〗10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝Ceq\o\al(8,10)＝Ceq\o\al(2,10)＝45.〖答案〗B5．设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()A．－150 B．150C．300 D．－300〖解析〗由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)(5x)4－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k54－kCeq\o\al(k,4)x4－eq\f(3,2)k，令4－eq\f(3k,2)＝1，得k＝2，所以展开式中x的系数为(－1)2×52Ceq\o\al(2,4)＝150.〖答案〗B二、填空题6．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是__________．〖解析〗(1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.〖答案〗67．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是__________．〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)展开式的各项系数为其二项式系数．∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为Ceq\o\al(5,11)＝Ceq\o\al(6,11)＝462.〖答案〗4628．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________．〖解析〗令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.〖答案〗7三、解答题9．设(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)令x＝0，则a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.②与①式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(（2－\r(3)）100－（2＋\r(3)）100,2).(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－eq\r(3))100·(2＋eq\r(3))100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋eq\r(3)x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋eq\r(3)x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋eq\r(3))100，即|a0|＋|a1|＋…＋|a100|＝(2＋eq\r(3))100.10．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(n)展开式的二项式系数之和为256.(1)求n；(2)若展开式中常数项为eq\f(35,8)，求m的值；(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．解(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第k＋1项，则Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,8)mkx8－2k，故8－2k＝0，即k＝4，则Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k－1,8)mk－1，,Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k＋1,8)mk＋1，))，化简可求得eq\f(8m－1,m＋1)≤k≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6项和第7项系数最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＜\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)＜7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＜m≤2，,2≤m＜\f(7,2).))所以m只能等于2.能力提升11．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10 B．20C．30 D．120〖解析〗由2n＝64，得n＝6，∴展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.〖答案〗B12．在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．解在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29＝512.偶数项的二项式系数的和为Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋…＋Ceq\o\al(9,10)＝29＝512.(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10.令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为eq\f(1＋510,2)；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为eq\f(1－510,2).创新猜想13．(多选题)下列关于(a－b)10的说法，正确的是()A．展开式中的二项式系数之和是1024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小〖解析〗由二项式系数的性质知二项式系数之和Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024，故A正确；二项式系数最大的项为Ceq\o\al(