2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的单调性与证明课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一册

PAGE函数的单调性与证明一、复习巩固1．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于随意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.eq\f(x2－x1,fx2－fx1)>0答案：C2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有A．a≥eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2)C．a>－eq\f(1,2) D．a<eq\f(1,2)答案：D3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于()A．－4 B．－8C．8 D．无法确定答案：B4．下列函数中，满意“对随意x1，x2∈(0，＋∞)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0”的是()A．f(x)＝eq\f(2,x) B．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x2－4x＋3解析：∵x1，x2∈(0，＋∞)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)是增函数．答案：C5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上()A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或是减函数D．无法确定单调性答案：D6．假如函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]C．(－∞，5] D．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x＝－eq\f(2a－1,2)＝1－a，要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，需满意1－a≥4，即a≤－3.答案：B7．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是()A．递减 B．递增C．先减后增 D．先增后减解析：y＝|x＋2|的图像是由y＝|x|图像向左平移2个单位得来，由图可知y＝|x＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．答案：C8．函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上()A．递增 B．递减C．先增再减 D．先减再增解析：∵y＝x在(0，＋∞)上递增，y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上也递增，∴f(x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上递增．答案：A9．函数f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案：[1，＋∞)(－∞，1]10．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.解析：f(x)＝2(x－eq\f(m,4))2＋3－eq\f(m2,8)，由题意eq\f(m,4)＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.答案：－3二、综合应用11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]解析：g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案：B12．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是()A．(－∞，1] B．[2，＋∞)C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f(x)＝x|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2,2x－x2，x<2))，作出f(x)简图如图：由图像可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．答案：C13．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－x＋1，x≥1))是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1＋4a≥－1＋1，))得eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3).答案：eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3)14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：由f(x)在[1,2]上单调递减可得a≤1；由g(x)在[1,2]上单调递减可得a＞0，∴a∈(0,1]．答案：(0,1]15．证明函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2).∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．16．若函数f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．解析：f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)＝a－eq\f(a＋1,x＋1).设x1<x2<－1，则f(x1)－f(x2)＝(a－eq\f(a＋1,x1＋1))－(a－eq\f(a＋1,x2＋1))＝eq\f(a＋1,x2＋1)－eq\f(a＋1,x1＋1)