全国统考2024高考数学一轮复习课时规范练60古典概型与几何概型理含解析北师大版

课时规范练60古典概型与几何概型基础巩固组1.(2024广东佛山综合实力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们宠爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A.37 B.47 C.572.(2024四川巴中高三模拟)2013年华人数学家张益唐证明白孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数,这两个素数组成孪生素数对的概率为()A.115 B.215 C.153.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.1213 B.1314 C.21294.(2024宁夏吴忠高三模拟)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其表面均已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为()A.125216 B.827 C.495.(2024全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p36.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再在这4个档中随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于200的概率为()A.38 B.1C.23 D.7.已知圆柱OO'的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO'及其内部,区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为()A.13 B.23 C.568.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为(A.1-π8 B.1-πC.1-π2 D.1-9.(2024重庆八中月考)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中的得分(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为.

10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.嘉奖规则如下:①若xy≤3,则嘉奖玩具一个;②若xy≥8,则嘉奖水杯一个;③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称,四个区域划分匀称,小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.综合提升组11.(2024湖南常德高三一模)河图是上古时代神话传闻中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的视察,画出的“八卦”,而龙马身上的图案就叫作“河图”.把一到非常成五组,如图,其口诀:一六共宗,为水居北;二七同道,为火居南;三八为朋,为木居东;四九为友,为金居西;五十同途,为土居中.“河图”将一到非常成五行属性分别为金,木,水,火,土的五组,在五行的五种属性中,五行相克的规律为:金克木,木克土,土克水,水克火,火克金;五行相生的规律为:木生火,火生土,土生金,金生水,水生木.现从这十个数中随机抽取3个数,在这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率为()A.110 B.15 C.2512.(2024河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为()A.m+2nmC.2m+4n13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2km处,B地在O地正北方向2km处,某测绘队员在A,B之间的直线马路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不精确,则该测绘队员能够得到精确数据的概率是()A.1-22 B.2C.1-32 D.14.已知数列{an}满意a1=2,an+1=-2an(n∈N+).若从数列{an}的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是.

15.已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是.

16.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[log2x]创新应用组17.(2024江西宜春高三检测)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教化体系,详细包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余爱好活动中开展了“六艺”学问讲座,每艺支配一节,连排六节,则满意“数”必需排在前两节,“礼”和“乐”必需相邻支配的概率为()A.710 B.760 C.276018.已知实数a,b满意0<a<1,-1<b<1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为.参考答案课时规范练60古典概型与几何概型1.D窗花的面积为122-4×1=140,其中小正方形的面积为5×4×12=20,所以所求概率1402.C不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,共6个,则从不超过15的素数中任取两个素数共有C62=15种取法,依据孪生素数的定义,由不超过15的素数组成的孪生素数为(3,5),(5,7),(11,13),共有3对,3.C由题意知BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=AB'=x+2,在Rt△ACB'中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为P=xx+2=4.C有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作216个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×16=96(块),所以从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为965.A设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-16.D依题意得所拨数字共有C41C42=24种可能.要使所拨数字大于200,则:若上珠拨的是千位档或百位档,则所拨数字肯定大于200,有C21C42=12种;若上珠拨的是个位档或十位档,则下珠肯定要拨千位,再从个、十、百里选一个下珠,7.C由题意,易知圆柱OO'的体积为V=π×12×6=6π.因为区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,所以区域N表示圆柱OO'内的一个小圆柱(与圆柱OO'共上底面),且小圆柱的体积为V1=π×12×(6-1)=5π.依据几何概型,得所投入的点落在区域N中的概率为P=V1V=58.B在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外,且在以2π为边长的正方形内,所以OA·OB≥4π2的概率为P=49.15由茎叶图可得甲的5则甲的平均得分为15×(18+19+20+21+22)=20,设污损数字为则乙的5场得分分别为15,16,18,28,(20+x),则乙的平均成果为15×(15+16+18+28+20+x)=19.4+∵0≤x≤9,x∈Z,当x=1或x=2时,甲的平均得分高于乙的平均得分,∴甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为210.解(1)用数对(x,y)表示小亮参与活动先后记录的数,则基本领件构成的集合是S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本领件总数n=16.记“xy≤3”为事务A,则事务A包含的基本领件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为(2)记“xy≥8”为事务B,“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=6事务C包含的基本领件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=5因为38>511.C由题意得数字4,9属性为金,3,8属性为木,1,6属性为水,2,7属性为火,5,10属性为土,从这十个数中随机抽取3个数,这3个数字的属性互不相克,包含的基本领件个数n=C51(C21C22+C22C21)=20,在这3个数字的属性互不相克的条件下12.C依题有0<x<1,0<y<1,试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形学问得x2+y13.A由题意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OE⊥AB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到精确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-14.25由题意可知an=2·(-2)n-1,故前10项中,不小于8的只有8,32,128,512,共4项,15.13依据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2π,线段AB是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为12×43π16.23若x∈18,12,则log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]为偶数,则log2x∈[-2,-1).17.B由题意知基本领件总数n=A66=720,“数”必需排在前两节,“礼”和“乐”必需相邻可以分两类支配:①“数”排在第一位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则礼、乐相邻的位置有4个,考虑两者的依次,有2种状况,剩下的3个全排列,支配在其他三个位置,有A33=6种状况,故有4×2×6=48种状况;②“数”排其次位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则礼,乐相邻的位置有3个,考虑两者的依次,有2种状况,剩下的3个全排列,支配在其他三个位置,有A33=6