2024-2025学年高考数学一轮复习专题1.2全称量词与存在量词充要条件知识点讲解含解析

专题1.2全称量词与存在量词、充要条件【考纲解读与核心素养】1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能推断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培育学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象实力.【学问清单】1.充分条件与必要条件（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；（3）若peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；（5）若peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．2.全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“全部的”“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M中随意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对随意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．（3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【典例剖析】高频考点一充要条件的判定例1.（2024年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满意，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.例2.（2024年浙江卷）已知平面α，直线m，n满意mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以依据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任始终线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件推断方法有三种.本题难度较小，依据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m平行于平面内任始终线，即必要性不成立．例3．（2024·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2•>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.【规律方法】充要关系的几种推断方法(1)定义法：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合关系法：从集合的观点理解，即若满意命题p的集合为M，满意命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【变式探究】1.（2024年高考天津理）设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.2.（2024·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，,为偶函数；为偶函数时，对随意的恒成立，，得对随意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.3．（2024·浙江省高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件，选C．高频考点二：充分条件与必要条件的应用例4.（江西省新八校2025届高三其次次联考）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，故答案为.【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需留意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要留意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)精确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)留意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，假如是其次种形式，要先转化为第一种形式，再推断；(3)敏捷利用各种方法推断两个条件之间的关系，充分、必要条件的推断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的推断，当较难推断时，可借助两个集合之间的关系来推断．【变式探究】（安徽省江南片2025届高三开学联考）设：实数满意，：实数满意．（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）当时，：，：或.因为为真，所以，中至少有一个真命题.所以或或，所以或，所以实数的取值范围是.（Ⅱ）当时，：，由得：：或，所以：，因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.【特殊警示】依据充要条件求解参数范围的方法及留意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)留意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号确定端点值的取舍，处理不当简单出现漏解或增解的错误．高频考点三：全称量词与存在量词例5.（2024贵州凯里一中模拟）命题：，，则为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】依据特称命题的否定，易知原命题的否定为：，故选A．例6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对随意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．例7.有下列四个命题，其中真命题是（）．A.， B.，，C.，， D.，【答案】B【解析】对于选项A，令，则，故A错；对于选项B，令，则，明显成立，故B正确；对于选项C，令，则明显无解，故C错；对于选项D，令，则明显不成立，故D错.故选：B【规律方法】1．全称命题真假的推断方法（1）要推断一个全称命题是真命题，必需对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要推断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成马上可．2．特称命题真假的推断方法要推断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可，否则这一特称命题就是假命题．3.全称命题与特称命题真假的推断方法汇总命题名称真假推断方法一推断方法二全称命题真全部对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假全部对象使命题假否定为真4．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对随意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假【变式探究】1．（2015·全国高考真题（理））设命题，则的否定为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应当为，即本题的正确选项为C.2.（2024·江苏省如东高级中学高三月考）命题“”的否定是________.【答案】【解析】全称量词改存在，再否定结论，即“”的否定是：故答案为：3．给出下列命题：（1），；（2），；（3），，使得．其中真命题的个数为______．【答案】1【解析】对于（1），当时，，所以（1）是假命题；对于（2），，所以（2）是假命题；对于（3），当，时，，所以（3）是真命题．所