2024-2025学年北京市海淀区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区高三(上)月考数学试卷(10月份)

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合"=｛2爪一1,根一3｝,若一3CM,则实数爪=()

A.0B.-1C.0或—1D.0或1

2.记S”为等差数列｛a“｝的前几项和.已知54=0,a5=5,则()

22

A.an=2n—5B.an=3n-10C.Sn=2n—8nD.Sn=-n—2n

1503

3.已知a=0.3-,b—log150.3,c=1.5,贝!J()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

4.设(IT)z=2(l+i),则|z|=()

A.专B.1C.A/2D.2

5.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,+8)上的增函数的是()

13X—3-x

A.y=亚B

-y=X2C.y=lg|x|D.y=?

6.已知向量五=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<3,c>=<b,c>,则t=()

A.-6B.-5C.5D.6

7.函数f(x)=cos(%+a)+sin(%+b),则()

7T

A.若a+b=0,则/(>)为奇函数B.右a+b=2，则/(%)为偶函数

TT

C.若b-a=5，则/'(X)为偶函数D.若a-b=7T,则/(%)为奇函数

8.已知函数/'(X)=｛丫:;二，若对任意的x<1有"％+2m)+f(x)>0恒成立，则实数小的取值范

围是()

A.(-oo,—1)B.(—oo,—1]C.(—8,—2)D.(-00,-2]

9.已知五，b9"是平面向量，"是单位向量.若非零向量五与"的夹角为会向量石满足石之一41另+3=0,则|之

-勿的最小值是()

A.1B.+1C.2D.2—^\/3

10.已知函数/(%)=W+1+匕若存在区间回句，使得函数/(%)在区间[a网上的值域为[a+1力+1],

则实数k的取值范围为()

A.(-1,+8)B.(-1,0]C.(一，8)D.(-i0]

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知角a的终边与单位圆％2+y2=1交于点p(]y),则sin(5+a)=.

12.记％为数列｛斯｝的前几项和，若以=2册+1,则S6=.

13.若命题“对任意》GR,ax2+2%+a>0为假命题的a的取值范围是.

14.若函数/(%)=Acosx-sinx(A>0)的最大值为2,则/=,/(%)的一个对称中心为.

15.对于函数y=/(%),若在其定义域内存在久o，使得%o/(%o)=1成立，则称函数/(%)具有性质尸.

(1)下列函数中具有性质P的有.

①/(%)=-2%+2根；

②/(%)=sinx(x6[0,2TT])；

③/(x)=x+p(久e(0,+co))；

(4)/(x)=ln(x+1).

(2)若函数/'(x)=a)x具有性质P,则实数a的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题13分)

在△48C中，sinA-yj^-sinB,b=裾.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,

使△ABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：

(I)求角8的大小；

(II)求△力BC的面积.

条件①：c=4；

条件②：b2-a2=c2-V^ac；

条件③：acosB—bsinA.

17.(本小题14分)

已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，S5=an=20,数列｛0｝是公比大于1的等比数列，且留=%，久-岳

=12.

(I)求数列｛峭和｛4｝的通项公式;

(II)设4=沪，求使/取得最大值时门的值.

18.(本小题14分)

已知函数f(%)=Gcosxsin(x—^)+1.

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(1)求/(X)的最小正周期和单调增区间；

(2)若函数y=f(久)-a在xe哈居］存在零点，求实数a的取值范围.

J•乙

19.(本小题14分)

已知函数/'(X)="""一1,a20.

①讨论函数/(久)的单调性；

(II)当a>0时，求证：函数f(久)在区间(0,1)上有且仅有一个零点.

20.(本小题15分)

已知函数/'(x)=exsinx—2x.

①求曲线在点(0/(0))处的切线方程；

(II)求/(久)在区间［-1,1］上的最大值；

(IH)设实数a使得人乃+x〉ae”对久GR恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.

21.(本小题15分)

已知数列｛斯｝记集合T=｛S(iJ)|S(iJ)=at+ai+1+...+叩1<i<j,i,jeN*｝.

①对于数列｛an｝：1,2,3,列出集合T的所有元素；

(11)若。„=2n是否存在。/6%*,使得5(仃)=1024?若存在，求出一组符合条件的i,/；若不存在，说

明理由；

(III)若a“=2n-2把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：必，b2,bm,2020,

求小的最大值.

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参考答案

l.c

2.2

3.5

4.D

5.C

6.C

7.5

8.4

9.A

10.D

ll.|

12.-63

13.{a|a<1]

14.避60)(答案不唯一)

15.①②④；。>0或。工一？

16.解：(I)sinA=y/2sinB,b=也，

•••a="b=2,

若选①：c=4,此时a+b<c,三角形无解,

若选②：尼_。2_合一避砒,

・••a2+c2—b2=@ac,

由余弦定理得，cosB=口芋*=娶=乎,

2ac2ac2

7T

又，：BE(0,7r),AB=z，

若选③：acosB=bsinA,

贝！JsinAcosB=sinBsinA,

又由TL4>0,・,.cosB=sinB,

即tanB—1,

7T

又•・・8£(0,71),B=不

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(II)由(I)可知B=1a=2,b=",

由正弦定理得，焉b

sinB

..2x乎1

・•・sinA=-=1,.A--

V2•・H—2,

:•c=b=",

1

4BC的面积为'be=^Xy/2xy/2=1,

17.解：①设等差数列的公差为d,由S5=Qu=20,可得5al+10d=%+10d=20,

解得。1=0,d=2,贝必九=2（九一1）；

由数列也｝是公比q大于1的等比数列,且据=b6,b4-b2=12,

可得(Zhq2)2=瓦勺5,biq3一比q=i2,解得bi=Q=2,

则%=2%

(11)%=费=比-2(n—1)_九(九一1)

2n2n

九（九+1）n（九一1）_3九一九2

cc

n+l~n=2n+l2n2九+1

当九=1,2时，C3>C2>Clf

当71=3时，C3=C4,

当九>4时，Cn+1—Cn<0,即有C4>^5>...>Cn,

则当九=3或4时，c九的值最大.

TTQ

18.解：（1）因为函数/（%）=6cos%s讥。一5）+5

=6cosx(^-sinx-cosx)+1

3A/3.Q0、，1+cos2x.3

=^-Sin2x—3X---------------1--

=3(^-sin2x-cos2xy)

2，

71

—3sin(2x—~^),

故它的最小正周期为T=：="，

7TITITTTIT

令2/CTT—5W2%—q<2ATT+5,求得/CTT—<k7i+^,fcGZ,

TTTT

故/（久）的单调递增区间为：［而―不时+同，keZ.

（2）因为函数y=/（x）—a在％e成,I刍存在零点，即sin（2%T）=会在曲|争上有解.

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当XG南舒2X-^G［0,争，sin(2x*e［0,1］,

所以汪［。,1］，

所以ae［0,3］.

19.1?:(I)由已知得「㈤=一收+(j;T)支+2=-g

①当a=0时，f(x):三由f'(x)>0得刀<2,f(x)<0得久>2,

故此时f(x)的单调递减区间为(2,+8),单调递增区间为(-8,2)；

②当a>0时，令g(x)——a(x+\)Q—2)=0得，x=—，<0,或x=2,

由g(x)<0得x<-十,或x>2,此时((X)<0,

由g(x)>0得-，<x<2,此时/'(X)>0,

故此时f(x)的单调递增区间为一,2),单调递减区间为(—8,-》，(2,+8),

综上可知：当a=0时，八乃的单调递减区间为(2,+8),单调递增区间为(—8,2)；当a>0时，/(均的单

调递增区间为(一9)，单调递减区间为(一8,-6，(2,+8).

(II)证明：由①可知f(x)在(-§2)上单调递增，则f(x)在［0,1］上单调递增，

又f(0)=-1<0,/(I)=?>0,f(0)f(l)<0,故f(x)在(0,1)上存在唯一零点.

20.解:(I)f'(x)=ex(sinx+cosx)—2,f'(0)=—1,f(0)=0.

即曲线y=〃>)在点(0/(0))处的切线方程为x+y=0；

(II)令g(x)=f'(x)=ex(sinx+cosx)—2,

g'(x)—2excosx,

当％e时，g'。)>0,g(x)在［-1,1］上单调递增.

因为g(0)=—1<0,g(l)=e(sinl+cosl)—2>0,

所以mx()e(0,1),使得g(%o)=0.

所以当xe(-1两)时，f'(x)<0,fO)单调递减,

当％e(久0,1)时，f(%)>0,/(久)单调递增.

且/(l)=esinl-2<e-2<1,/(-l)=2-字>1,

所以人%)3=/(-1)=2-誓.

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(in)满足条件的a的最大整数值为-2.

理由如下：

不等式/(%)+%>ae'恒成立等价于a<sin=-彘恒成立.

令0(%)=sinx—^,

JC

当久40时，一彘之0,所以9(%)>—1恒成立.

当x>0时，令h(x)=—a，/i(x)<0,=三，〃㈤与九⑺的情况如下:

X(0,1)1(1,+8)

h'(x)—+

1

h(x)7

e

可得力(久)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

所以做幻机讥=h(l)=

当久趋近于正无穷大时，%