人教版高中数学复习：三角函数的诱导公式（二）

第一章三角函数

§1.3三角函数的诱导公式(-)

J

【学习目标】1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题2

对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数

学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解

决问题的能力.

n问题导学

知识点一诱导公式五

完成下表，并由此总结角a,角胃一a的三角函数值间的关系.

八、.兀1711.兀兀

(l)siiig=2，cosg=2，sin^=cos^；

•兀正兀巫.兀71

cos=sin^cos^；

(2)smz=2，42'

⑶si导坐，遍子,.兀71

S1丐=cos4.

由此可得

诱导公式五

sin(—―a)=cosa,

/兀\•

cos(---a)=sma.

知识点二诱导公式六

思考能否利用已有公式得出3+a的正弦、余弦与角a的正弦、余弦之间的关系？

答案以一a代替公式五中的a得到

.(I兀、

sin(a十立尸cos(—a),

cos(a十］尸sin(la).

由此可得

诱导公式六

sin（6Z+'）=cosa,

.兀、

cos®H——）=-sina.

知识点三诱导公式的推广与规律

33

1.sin(］兀~a)=~cosa,COS与TI-a)=~sina,

33

sin卬i+a)=~cosa,cos+a)=sina.

2.诱导公式记忆规律：

公式一~四归纳：a+2E(%£Z),~a,兀士。的三角函数值，等于角a的同名三角函数值，前

面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.

公式五〜六归纳：5土a的正弦(余弦)函数值，分别等于a的余弦(正弦)函数值，前面加上一个

把a看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变

正、符号象限定”.

六组诱导公式可以统一概括为'*T±a(%eZ)”的诱导公式.

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指左红a/GZ)中k的奇偶性，当k

为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当上为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导

公式中，把a看成锐角时原函数值的符号，而不是a函数值的符号.

2题型探究

类型一利用诱导公式求值

例1⑴已知cos（兀+a）=—。为第一象限角，求cose+a）的值.

（2）已知cose一a）=g,求cos借+a）sin信一a）的值.

解（1）*.*cos（7i+a）=—cosa=—

cosa=T，又a为第一象限角,

则cos6+a}=—sma=-^/l—cos2oc

反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如尹a与亲+a,j+a

与聿一a,a与号+a等互余，冷+0与中一。，彳+0与竽一0等互补，遇到此类问题，不妨考

虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.

跟踪训练1已知sin《+a）=坐，求cos停一a）的值.

缶刀••兀II兀兀

用牛・4十a十g—a=],

类型二利用诱导公式证明三角恒等式

—丁tan（2兀­oc）sin（—2兀一a）cos（6兀­a）

例2求证：（0（O=—tana.

sm（a十ZIcoslI

证明•・•左边=

tan(—a)-sin(—a)-cos(—a)

(—tan«)•(—sina>cosa

sin2a

一cosasinacosa

—tana=右边.

原等式成立.

反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：

(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.

(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即

化异为同.

cosl

叶

跟踪训练2求证:ST

1—2sin2（7t+0）

tan（9兀+6）+1

tan（兀+。）一1•

—^j-（—sin3）—1

证明因为左边=

l-2sin26>

2sin兀+6一sin0—1

1—2sin20

—2sin停—0）sin6—1__2cos6sinOT

l-2sin26>—cos28+sin2e—2sin2。

（sin/+cos夕产sin8+cos°

sin20—cos2^sincosO'

,.tan。+1sin6+cose

右边=7~Z-T

tan0—1sincosff

所以左边=右边，故原等式成立.

类型三诱导公式在三角形中的应用

例3在△ABC中，sin—―=sin—产，试判断△ABC的形状

解VA+B+C=7t,

Z.A+B—C=7i—2C,A—B+C=7c—2B.

A+B-C.A-B+C

Vsin-----------=sin,

.71-2C.71—2B

sin_2-=sin--

7171

sin（2—C）—sin（2-B）,

即cosC=cosB.

又♦：B,。为△ABC的内角，AC=B,

.♦.△ABC为等腰三角形.

反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A+B+C=n,结

A+BC

合诱导公式得到以下的一些常用等式:sin(A+3)=sinC,cos(A+B)=—cosC,sin———cosy,

A+BC

cos_2—=sin,.

跟踪训练3在△ABC中，给出下列四个式子：

①sin(A+8)+sinC；

②cos(A+B)+cosC；

③sin(2A+25)+sin2C；

@cos(2A+2B)+cos2C.

其中为常数的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

答案B

解析①sin(A+B)+sinC=2sinC；

②cos(A+3)+cosC=~cosC+cosC=0；

(3)sin(2A+IB)+sin2C

=sin[2(/4+B)]+sin2C

=sin[2(n—Q]+sin2C

=sin(27i—2Q+sin2C

=—sin2C+sin2C=0；

@cos(2A+IB)+cos2C

=cos[2(A+B)]+cos2C

=cos[2(n—Q]+cos2C

=COS(2TI—2C)+cos2C

=cos2C+cos2C=2cos2C.

故选B.

类型四诱导公式的综合应用

JI

sin(兀—ot)cos(-o)sin(]+a)

例4已知仙尸一©os(无+小诅—a)—'

(1)化简/a)；

3

(2)若角A是△ABC的内角，且兀4)=亍求tanA—sinA的值.

&力…〜、sinacosacosa

用牛(1)/(«)=7：；=cosa.

八—cosa(—sina)

3

(2)因为兀4)=cosA=5，

又A为△ABC的内角，

所以由平方关系，得sinA=A/1—COS2A=予

七…4sinA4

所以tanA=—T=T,

LUSZ1J

448

---

3-5

15

反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角

三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.

跟踪训练4已知sin。是方程5A2—7x—6=0的根，a是第三象限角，求

3

解方程5A2—7x—6=0的两根为％i=—孕尬=2,

4

,3-

由。是第三象限角，得sina=—§,则cosa=5

cosa(—sina)

•tan2a

sinacosa

__sin2a9

=.tan2a

cos2a16'

3当堂训练

则cos（a+§的值为（）

R”

B.3

D.—T

答案D

2.若cos（2兀一a）=3，则sin（g—a）等于（）

A-一害B.-|

C当D呼

答案A

..亚

角军•COS（2TI——（Z）—cos（（%）~~cosa=3，

•・网、—小

..sin（^~一a）一—cosa一—.

兀

sin（］+。）—COS（K—6）

3.已知tan8=2,则----------------等于（）

sin（2—8）一sin（7i一。）

A.2B.-2

D.|

C.0

答案B

兀

sine+0）—cos（%—6）cos6+cos0

解析

./兀八、./八、cossin6

sin（2—"）-sin（7t—”）

22

----------7=------=—2

1—tan01~2

71

4.已知cosl]+a）=2sin（a

sirP（兀一Q）+cos（a+7i）

求的值.

解,.,COSQ'4

—sina——

sin«=2cosa,即tana=2.

sin3（7i—a）+cos（a+兀）

___________sin%—cosa

5cos(2兀+卷-a)+3sin(4兀一冷一a

_______sin%—cosa_____

一m\.r兀i、

5cos(g-aI—3sinl2।J

si/a—cosasin^z-tana-1

5sina-3cosa5tana~3

2sin2a-12sin2a—1

=10-3=7

2sin2a-(sin2a+CO/Q)

7(sin2a+cos2ot)

sin2a-cos2atan2a—1

7(sin2a+cos2a)7(tan2a+1)

4-13

=7X(4+1)=而

3兀

tan(2兀­o()cos('2_—a)cos(6兀­a)

5.求证：豆豆=—tana.

sin(a+g)cos(a+旬

3兀

tan(2?i—a)cos(~^~—a)cos(6兀­a)

证明因为左边:-----------端-------端-----

sin(ot+^~)cos(ot+-y)

tan(—a)(—sina)cosa

-cosotsina

—tanasmoccosa,一

-：=—tand=右边,

cosasma

所以原等式成立.

规律与方法」

1.诱导公式的分类及其记忆方式

(1)诱导公式分为两大类：

①a+左，2兀，—a,a+(2左+1)兀(女£Z)的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一

个把a看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象

限”.

7Tjr

②a+],—a+]的三角函数值，等于a的异名三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原

函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.

TT

(2)以上两类公式可以归纳为：k'+a/dZ)的三南函数值，当左为偶数时，得a的同名函数

值；当上为奇数时，得a的异名函数值，然后在前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符

_号_

2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转

化成（0,分7T内的三角函数值”这种方式求解.

JT

用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到冷之间的角的三角函数的基本步骤：

课时作业

一、选择题

5兀]

1.已知sin(为~+a)=m，那么cosa等于()

A.-|B-1

C.|D.|

答案C

5兀1

解析sin(~2~+a)=cosa,故cos故选C.

3兀3

2.已知cos(»~+a)=—5，且a是第四象限角，则cos(—37i+a)等于()

人4-4

A.§B.—

43

C.±5D.g

答案B

3兀3

角星析Vcos(-+a)=sina,sina=一『

_------------4

又a为第四象限角，cos。=勺1—sin2a=g,

cos(—37i+o()—cos(7i-a)=—cosa=—亍故选B.

3.若角A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()

A.cos(A+B)=cosCB.sin(A+B)=—sinC

A+C.D屈臂一擀

C.cos;-―2-=sinB

答案D

解析VA+B+C=7i,.*.A+B=7i—C,

.'.cos(A+B)=—cosC,sin(A+3)=sinC,故A,B项不正确;

A+C兀-B

・・・・・

•A+C=7i—5,22

A+C故项不正确;

・・-=cos(^—^)=sin-1,C

cos2

•・・5+C=7i—A,

B-\~C7iAA,,.

sin—2—-sin(2—^)=cos^,故D项正确.

4.已知锐角a终边上一点尸的坐标是(2sin2,-2cos2),则a等于()

A.2B.-2

C.2-^D,^-2

答案C

2sin2

解析cosa—sin2,

-\/(2sin2)2+(—2cos2)2

TT

,:a为锐角，*.a=2—y

5.已知/(sinx)=cos3x,则/(cos10。)的值为()

A.-gC.一坐

答案A

角星析/(cos10o)=y(sin80。)=cos240°

)

答案C

解析*.*sin(7i+a)+cos^+=_sina—sina

m

—一m,・・・.sina_一g.

；@兀-兀—

故cos|a)+2sin(2a)=­sina—2sina

3m

—3sina

二、填空题

7.若cosa=g，且a是第四象限角，则cos(a+?=.

宏安

1=1木5

解析Vcos«=|,且a是第四象限角,

sina=~^/l—cos2a=—

cos（a+习=-sina

8.sin2l°+sin22°H---Fsin288°+sin289°=.

答案学

解析原式=（sin210+sin289°）+（sin220+sin288°）4——卜（sin244°+sin246°）+sin245°

…189

=44+1=g.

9.已知tan（3兀+a）=2,则

sin（a-37i）+cos（兀-a）+sin^ja）—2cos仔+a

—sin（—a）+cos（7i+a）

答案2

解析因为tan（3兀+a）=tan（兀+a）=tana=2,

〃zh上sinatana2

所以原式=~="7=Z7=2.

sincosatana—12—1

10.在△ABC中，y[3sin^-AJ=3sin（7i—A）,且cosA=一小cos（兀-3）,贝!JC=

宏案-

口木2

解析由题意得小cosA=3sinA,

cosA=d§cosBf②

由①得tanA**•

71

COST1

由②得cosB—2>•*»B=y

三、解答题

11.已知角a的终边经过点P(—4,3),求

71

cos(]+(z)sin(~7i—a)

的值.

,1171、./9兀,、

C0S(-^--a)sm(5-十a)

解•・•角a的终边经过点尸(一4,3),

・••tanaJ=T，

cos仿+a)sin(—n—a)

cos(-^--a)sin(^~+a)

—sinasina

=tana

—sinacosa

3

~~4'

AA5KA60f-,7i7i,土

12.已矢口sinl-2—al-cosl-a且不1<5，求|vsina与cosa的值.

.._60

..sinoc-cosot=Ygg,

120_

pmp2sina-cos①

又〈sin2a+cos2oc=1,②

289

①+②得(sina+cosa)2=y^,

49

②一①得(sina-cos

(兀琮

X4,2)9・・sina>cosa>0,

即sina+cosa>0,sina—cosa>0,

17

sinot+cosa=F，③

sina—cos1=看④

125

③+④得sina=百，③一④得cosa=y^.

13.已知sin（7i+a）=—g.计算:

⑴cos。-苧）；（2）sin醛+a）；（3）tan（5兀一a）.

解sin（K+a）=—sina=-^,sinQ=g.

a）=-sinT

（l）cosl0（

cos2a=l-sin2a=l-1=|.

（2）sincosoc,

，a为第一或第二象限角.

71_2^2

①当a为第一象限角时,sin彳+a—cosa—3.

2

2y[2

②当a为第二象限角时,cosa

3-

（3）tan（57i-a）=tan（7i—a）=—tana,

Vsi