2025年高考数学复习之填空题：幂函数、指数函数、对数函数（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：然函数、指数函数、

对数函数（10题）

一.填空题（共10小题）

115

1.（2024•回忆版）已知〃>1,-------------------=一—，则"=__________.

log8aloga42

2.（2024•浦东新区三模）已知〃=值5,贝!J/g20=（用〃表示）.

2I。。/a1

3.（2024•昔阳县校级模拟）8之+匈2+匈5—22—僦尸=.

4.（2024•莲湖区校级模拟）已知函数/（x）=\lnx\,若0<a<6,且/（a）=f（Z?）,则a+26的取值范围

是.

5.（2024•南岸区模拟）log23-log32—8）-2sg&3+（^）o,s+（舞厂|=.

6.（2024•皇姑区四模）命题任意"底"，3],aW2H2r”为假命题，则实数a的取值范围

是.

7.（2024•杨浦区校级三模）设a>0,已知函数/（x）=ln（?+ar+2）的两个不同的零点羽、X2,满足田

-X2|=l,若将该函数图像向右平移m（加>0）个单位后得到一个偶函数的图像，则m

1

8.（2024•巴宜区校级三模）已知曲线Jy=[与曲线Q：y=log”（〃>0且”W1）交于点尸（xo,yo）,

若xo>2,则〃的取值范围是.

9.（2024•奉贤区三模）若lg2=a,lg^=b,则/g98=.（结果用a,b的代数式表示）

10.（2024•浦东新区三模）已知实数11、%2、以、p2满足淄+yf=Lx1+y：=3,xiy2-X2yi=V2,贝!]pnx2+yiy2|

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：然函数、指数函数、

对数函数（10题）

参考答案与试题解析

一.填空题（共10小题）

115

1.（2024•回忆版）已知。>1,-------------------=—一，则“=64.

log8aloga42

【考点】对数的运算性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解.

11315

【解答】解：因为；------------=-------loga=

2

log8aloga4log2a22

所以（log2a+l）（log2a-6）=0,而。>1,

故log2a=6,解得a=64.

故答案为：64.

【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

2.（2024•浦东新区三模）已知a=/g5,则々20=2-a（用°表示）.

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】2-a.

【分析】利用对数的运算性质求解.

【解答】解：/g20=/g5+/g4=/g5+2/g2=/g5+2（1-/g5）=2-/g5=2-a.

故答案为：2-a.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

2ioSl3o-i1

3.（2024•昔阳县校级模拟）84+仞2+匈5—22—（mF=4.

【考点】对数运算求值；有理数指数累及根式化简运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】4.

【分析】根据已知条件，结合指数、对数的运算法则，即可求解.

【解答】解:原式=23'3+配2><5）=2._（|严一1=4+1—|=「=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题.

4.（2024•莲湖区校级模拟）已知函数/（无）=\lwc\,若0<a<6,且/（a）=f（/?）,则a+26的取值范围

是（3,+8）.

【考点】对数函数的图象.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】（3,+8）.

【分析】根据已知条件，推得再结合对勾函数的性质，即可求解.

【解答】W：v/（x）=|M，f（a）=/（6）,

1.

.'.\lna\=\lnb\,解得Z?=0或Q=Z?（舍去），

9：0<a<b,

：.0<a<l<b,

.2

**.—，

a

2

令f（〃）=〃+£，

由对勾函数的性质知函数/（〃）在（0,1）上为减函数，

7

则八。）>/（1）=1+彳=3,

故〃+2b的取值范围是（3,+8）.

故答案为：（3,+°°）.

【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题.

5.（2024•南岸区模拟）5g23」。仇2—6尸。%3+（第0.5+（舞厂|=-i.

【考点】对数的运算性质；有理数指数累及根式.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-1.

【分析】利用指数幕的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.

【解答】解：原式=1-22胸3+（^）2+（3-3x|

2,7Q

=1-2^43+2_+^=1-3+1=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了指数幕的运算性质，属于基础题.

6.（2024•皇姑区四模）命题任意“衽口，3],”为假命题，则实数a的取值范围是.

【考点】指数函数的图象；全称量词和全称量词命题；命题的真假判断与应用.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】{a|a>|}.

【分析】由已知结合含有量词的命题的真假关系即可求解.

【解答】解：若命题任意3],为假命题，

则命题存在口，3],。>2*+2「为真命题，

因为时，2/2工・8,

令t=2',则2W/W8,

则>=什彳在[2,8]上单调递增，

~汇65

所以3<y<—,

所以a〉9.

故答案为：{a|a>|}.

【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

7.（2024•杨浦区校级三模）设a>0,己知函数/（无）=ln（?+ax+2）的两个不同的零点xi、X2,满足|xi

V5

-X2\=l,若将该函数图像向右平移机（m>0）个单位后得到一个偶函数的图像，则加=丁.

【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；函数的图象与图象的变换；函数的奇偶性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

V5

【答案】y.

【分析】由已知结合方程的根与系数关系可求出a,然后结合函数图象的平移及偶函数的对称性即可求.

【解答】解：因为函数/（x）=ln（/+依+2）的两个不同的零点xi、xi,

所以/+ax+2=l的两根为XI、XI,

则xi+%2=-a,xm=\,

因为阳-X2|=l,

所以1=（X1+X2）2-4X1X2=/-4,

因为〃>0,所以〃=遮，f（x）=ln（/+底+2）,

若将该函数图像向右平移机（m>0）个单位后得到y=/厩"m）2+岳（%-m）+2］为偶函数，

则g（x）=（x-m）2+A/5（x-nr）+2=/+（V5—2m）冗+川-3机+2为偶函数，图象关于y轴对称，

所以m=字.

V5

故答案为：—.

【点评】本题主要考查了函数图象的变换及偶函数对称性的应用，属于中档题.

1

8.（2024•巴宜区校级三模）已知曲线6：y=*与曲线C2：y=\ogax（a>0且aWl）交于点尸（xo,yo）,

若xo>2,则。的取值范围是（4,+8）.

【考点】对数函数及对数型复合函数的图象.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算.

【答案】（4,+8）.

【分析】由已知结合对数函数及反比例函数的图象及性质即可求解.

【解答】解：①当0<。<1时，由曲线Ci和曲线C2的图象可知，O<xo<l,不合题意；

②当时，有一可化为一=----，有

a>1=logaxn,Ina—xolnxo,

x0x0Ina

令/（x）=xlnx（x>2）,则，（x）=lwc+l>ln2+l>0,

故函数了（无）单调递增，可得函数无）的值域为（2历2,+8）,

故历a>2/〃2=历4,可得a>4.

故答案为：（4,+°°）.

【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于中档题.

1

9.（2024•奉贤区三模）若lg2=a,lg^=b,则次98=a-2b.（结果用a,6的代数式表示）

【考点】对数的运算性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】a-2b.

【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解.

【解答】解：若lg2=a,lg3=b,

则lgl=-b,

贝ij/g98=/g2+2/g7=a-2b.

故答案为：a-2b.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

10.(2024•浦东新区三模)已知实数xi、x2、yi、＞2满足诏+yf=Lxj+yf=3,-X2yi=V2,则|%i%2+yiy2|

=1.

【考点】有理数指数累及根式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【答案】1.

【分析】由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解.

【解答】解：:实数xi、Xi、yi、y2满足以+y/=L据+比=3,

,••可令％i=cosa,yi=sina,X2=V3cosP，y2=V3sinP，

贝!Jxiy2-X2^1—cosa,V3sinP-sina*V3cosP=V3sin(0-a)=V2,

可得sin(p-a)=苧，

贝！J|xix2+yiy2|=|cosa・V5cos0+sina・V5sin0|=V3|cos(p-a)|=V3x^/1—sin(/3—a)2=V3x^1—1=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题.

考点卡片

1.全称量词和全称量词命题

【知识点的认识】

全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，

用符号“V”表示.

(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等

词，用符号"于'表示.

全称命题

含有全称量词的命题.“对任意一个xUW,有p(%)成立”简记成a\/xEM,p(x)”.

同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下

命题全称命题VxeM,p(尤)特称命题mxoeM,p(尤o)

表述方①所有的xeM,使p(%)成立①存在无oeM,使p(尤o)成立

法②对一切xCM,使p(%)成立②至少有一个xoeM,使p(xo)成立

③对每一个x&M,使p(x)成立③某些x&M,使p(%)成立

④对任给一个xCAL使p(%)成立④存在某一个尤oeA/,使p(xo)成立

⑤若xeM,则p(无)成立⑤有一个无oeAf,使p(尤o)成立

【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和

一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称

命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示.应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

2.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、4及非p的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非P”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2-2x+l=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若。则/形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,贝IJ“若p

则4”为真；而要确定“若p则必为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

3.函数的图象与图象的变换

【知识点的认识】

函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，

然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）.

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数

的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

图象的变换

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换：

y=f(x)Q>0,右移4个单位(〃<0,左移个单位)ny=/(x-〃)；

y=f(x)b>0,上移/?个单位(/?VO,下移个单位)=>》=/(%)+b.

(2)伸缩变换：

0<4<1,伸长为原来对倍

---------------------r~>

尸/(尤)3,缩短法来叱y=/(3X);

y=/(无)A>1,伸为原来的A倍(O<A<1,缩为原来的A倍)=y=4f(无).

(3)对称变换：

y=f(x)关于x轴对称=y=-f(x)；

y—f(x)关于y轴对称=y=/(-尤)；

>=/(无)关于原点对称ny=-f(-x).

(4)翻折变换：

y=f(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边ny=/(|x|)；

y=f(%)留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|/(x)

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根

据这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响.

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

(1)知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项.

(2)知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

3、(1)利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向

趋势，分析函数的单调性、周期性等.

(2)利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.

【命题方向】

(1)1个易错点--图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则，写出每一次的变换所

得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

(2)3个关键点--正确作出函数图象的三个关键点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、形如y=x+

的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过

程.

(3)3种方法--识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的

信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特

征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

4.函数的奇偶性

【知识点的认识】

①如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/(-X)=-f(X),那么函

数了(尤)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数/(x)的定义域关于原点对称，且

定义域内任意一个x,都有-无)=f(x),那么函数了(无)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用无)=-/(-x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(%)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=4x|+px,xeR是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解:由题设知/(x)的定义域为R,关于原点对称.

因为了(-无)—-x\-x\-px--x\x\-px--f(尤)，

所以了(无)是奇函数.

故选&

【命题方向】

函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

5.有理数指数骞及根式

【知识点的认识】

根式与分数指数累

规定：而=沆(a>0,m,n&i*,n>l)

11*

""=康=耐(。>0,m,«GN,YI>1)

0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数嘉没有意义

有理数指数幕

(1)塞的有关概念：

m___.

①正分数指数幕：an=\Ta^(〃>0,m,nGN,且〃>1)；

②负分数指数塞：a~n=-^=7^==(a>0,m,neN*,且〃>1)；

③0的正分数指数事等于0,0的负分数指数幕无意义.

(2)有理数指数累的性质：

®a''as—a,+s(a>0,r,seQ)；

②(cir)s=ars(a>0,r,sCQ)；

③(ab)r^arbr(a>0,b>0,rGQ).

【解题方法点拨】

例1：下列计算正确的是()

n/尸.1--------(ax)2

A.(-1)°=-1B、VaVa=aC、t/(-3)4=3D、=\;〃4{{x}A{2

az

-2}}$(a>0)

分析：直接由有理指数累的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案.

解：：(-1)0=1,

；.A不正确；

$\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a,{a}^{\frac{l}{2}}}—\sqrt{{cz}A{\/rac{3}{2}}}={a}A[\frac{3}{4}]—

\roof{4}{{a}A{3}}$,

AB不正确；

V$\roof{4}{(-3)A{4}}=\rao?{4}{{3}A{4}}=3$,

AC正确；

V$\/rac{({a}A{x})A{2}}{{tz}A{2}}=\^ac{{a}A{2x}}{{a}A{2}}={a}A{2x-2)$

/.D不正确.

故选：C.

点评：本题考查了根式与分数指数塞的互化，考查了有理指数哥的运算性质，是基础的计算题.

例1：若a>0,且m,n为整数，则下列各式中正确的是()

A、${a?z}+{czA”}={aA{ykac{"z}{"}}}$B,am*an^am'nC、(。"')"=a'""D、

l^an=aOn

分析：先由有理数指数塞的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案.

解:A中，am^-an=amn,故不成立；

mnm+nmn

B中，a-a^a^a',故不成立；

C中,S)n=am'n^am+n,故不成立；

。中，1成立.

故选：D.

点评：本题考查有理数指数累的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质.

6.有理数指数骞及根式化简运算求值

【知识点的认识】

根式与分数指数幕

m__

规定：an=(〃>0,m,,〃>1)

_m11*

a九=f=]——(a>0,m,«GN，n>1)

ann>Jam

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数哥没有意义

有理数指数累

(1)塞的有关概念：

m__.

①正分数指数幕：an=(〃>0,m,neN',且〃>1)；

mii.

②负分数指数幕：。一不=飞=飞新(。>0,m,«eN,且〃>1)；

③0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数毫无意义.

(2)有理数指数累的性质：

①(〃>0,r,seQ)；

②(M)s=ars(。>0,r,sGQ)；

③(ab)r=arbr(tz>0,b>。,rGQ).

【解题方法点拨】

-利用。n——m-nj-yfi(〃>0,m,,且〃>1)进行互化.

-利用指数运算法则，如俨•那=俨+九、(心)〃=心〃进行化简.

-利用根式运算法则，如•VF=VHF、■=J^进行化简.

-验证化简和运算结果的正确性.

【命题方向】

题目通常涉及有理数指数塞及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用.

计算：(23°,5-0.752+6-2X(£)4=

解：(2护”752+6-2x(^)4=[(|)2]°-(1)2+x[(|)3]-1=(1)2X0-5-(1)2+x

23x(-1)_3913_47

卬f3-2-16+36X2-48-

,47

故答案为：一.

48

7.指数函数的图象

【知识点的认识】

1、指数函数y=a”（。>0,且aWl）的图象和性质:

值域（0,+8）

性质过定点（0,1）

当x>0时，J>1；当x>0时，0<y<l；

尤<0时，0<y<lx<0时，y>l

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响:

①在同一坐标系内分别作