2025年高考数学一轮复习三角函数（章节突破）（19题新题型）（解析版）

第06讲第四章三角函数（章节突破）（19题新题型）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（23-24高一下•江西赣州•期中）把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的

角为（）

A.--B.-C.--D.-

3366

【答案】B

【分析】手表分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为一

圈的1

6

【详解】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的

六分之一，

1TT

所以该手表分针转过的角为：）x2兀=£

63

故选：B.

2.（23-24高一下•河南洛阳・期末）已知角。的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴

上，点尸（-6,-8）为角。终边上一点，贝ljcosa=（）

A.1B.-1C.』D.-3

5555

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义可求cosa的值.

,、63

【详解】因为点尸（-6,-8）为角a终边上，故cosa=-而寿

故选：D.

3.（23-24高一下•江苏淮安■阶段练习）化简sinl67-cosl70+sinl03°sinl63°=（）

A.B.4C.sin4°D.cos4°

22

【答案】B

【分析】根据诱导公式结合两角和差公式公式运算求解.

【详解】因为sin167°=sin（180°-13°）=sin13°,sinl03°=sin（900+13°）=cos130,

sin163°=sin（180°-17°）=sin17°,

所以sin167°cos17°+sin103°sin163°=sin13°cos17°+cos13°sin17°

故选：B.

4.（2024•江苏无锡・模拟预测）将函数/"）=剑]的+名（0>0）的图象向右平移;个

单位后，所得图象关于y轴对称则。的最小值为（）

A.2B-C.WD.以

3333

【答案】C

【分析】根据函数1=4疝（5+夕）的图像变换规律得到y=sin[0x-：0+g],由正弦函

数的对称性可得j-^=|+far,从而求得。的最小值.

717r71210

则5T=万+板…丁4MZ,又因为0>0,则当左=-1时，0ml"十

故选：C

71-，则(71

5.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）已知cosasin2a+%)=()

~~6

AcTD

-4B-i-1

【答案】A

jrjr

【分析】因为2a+£=7-2结合诱导公式以及倍角公式运算求解.

62

JTTT

【详解】因为2a+z=7-2

o2

71

所以sin（2cr+《=sin--2=cos22cos21=

244

故选：A.

6⑵-24高一下・四川•期末）要得至呵数-矍°s"的图象’只需将函数

y=cos2%-sin2%的图象（）

5兀

A,向左平移一个单位长度B.向右平移亍个单位长度

60

5兀

C.向左平移25兀个单位长度D.向右平移二个单位长度

【答案】D

【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移

规则判断即可.

【详解】因为yfn2x-日

cos2x=sin2x~~,

I3j

71

y=cos2x-sin2x=cos2x=sin2x+—,

2

5兀

所以将y=cos2x-sm2x向右平移,个单位长度得到

5兀71

y=sin2x+—=sin2f,故D正确;

122

若将y=cos2x-sin2x向左平移57?r个单位长度得到

0

y=sin|21尤+着］+、71=sin［2x+《71］,故A错误;

26

若将y=cos2x-sin2x向右平移兰个单位长度得到

O

5兀71

=sin2x+工=sin，故B错误;

26

若将y=cos2x-sin2x向左平移三个单位长度得到

y=sin2（尤+]=$也（2无+与），故C错误;

故选：D

7.（23-24高一下•贵州六盘水•期末）己知

cos（a+'）=g,cos（a-£）=ew（0,曰，则tana+tan£的值为（）

A.—B.亚C.还D.4A/6

333

【答案】B

【分析】利用余弦的两角和差公式和切化弦思想，即可求出结果.

【详解】由已知得：cos(a+/7)=gncosacosy0-sinesin/?=g；

cos(a-£)='|=>cosacos尸+sinasin〃=-1；

3

两式相加得：COS6ZCOS/?=—,

cos呜，上呜,

sin（6z+/?）=^1-cos2（6Z+/?）=

2A/6

*2八sinasin/?sin（a+⑶54A后

cos6Zcos/?coscrcos/?3

10

故选：B.

8.（23-24高三上•江苏南京•期中）已知函数〃x）=sin[2x+£）,g（x）=dx+：）,若

对任意的a,6«兀一加,问,当时，f(。)-f(,<g(a)-g(6)恒成立,则实数小的取值范

77119兀7兀17K

C.五'五D.五'五

【答案】B

【分析】将问题转化为对任意的［兀-加,何，当时a>〃时，/(«)-/(/?)<g(a)-g(Z?)

恒成立，不妨设2x-1=r,将问题转化为/i«)=sin/在单调递减，再结合利用正弦函数的性

质求出的取值范围.

【详解】g(x)=/(x+3=sin[2x+]+胃Kos'x+'j,

所以/(a)-70)<g(a)—g。)得

sin(2a+聿]-sin(26+<cos(2a+^J-cos126+0.

进而sin(2a+0-cos(2a+《J<sin(2b+0-cos(26+《J,

故后sin12a+<应sin(2b+£-：]nsin(2a-1]<sin(26一1],

由于对任意的。力€[兀-m,77?],当〃>万时，

/(a)-/e)<g(a)-g㈤恒成立,

23KCC兀

2x-*e-------2m,2m------

1212

瓦--2九2加-行■)单调递减,

不妨设2x-『方，则问题转化成/i")=sim在/£

23万_7i_.

-----2m2—卜2ki

122

2根—二(四+2%〃其中左cZ,—.

所以

122224

2吁工〉也-2加

1212

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（23-24高一下•辽宁葫芦岛•期末）设a£（0,兀），已知sina,cosa是方程3/一工一加=（）

的两根，则下列等式正确的是（）

A.一B.sin«-cos«=^

33

7

C.tana=—D.COS26Z-sin26Z=-

139

【答案】BD

,1

sina+cosa=-

3

【分析】由韦达定理有,由

.m

sina-COS6T=----

3

(sintz+coscz)2=sin2a+2sinacosa+cos2a,求出加的值判断选项A；由

(sincif-cosa)2=sin26Z-2sin6r-cosa+cos2cr,计算判断选项B；由sina,cosa的值，计算tana

判断选项C；由cos2l-sin2a=（cosa+sin0（cosa—sina）计算结果判断选项D.

,1

sma+cos。=—

3

【详解】sina,cosa是方程3/一无一机=。的两根，则有，

.m

sina・cosa=----

3

由(sina+coscjf)2=sin2a+2sina-cose+cos2a,

得：=1-?，解得，"=1,A选项错误;

m4

a£(0,兀)，有sina>0,由sino-cosa=一--<0,有cosavO,

3

(sina-cosaY=sin2cr-2sincr•coscr+cos26Z=1+—=—

v799

由sina—cose>0,所以sina-cosa=-----，B选项正确;

3

.11+屈

sma+cosa=—S1H6Z

3-6sin。9+717

由・r—得《,—，tana--------=C选项错误;

,V171-V17COS6Z8

sin。-cos。=---

1316

cos2a-sin2tz=(cosa+sina)(cosaD选项正确.

故选：BD.

10.(23-24高一下•江苏盐城•期末)若函数〃尤)=cos2x+|sinx|,则()

A.函数“X)的一个周期为兀B.函数“X)的图象关于>轴对称

C.函数/(”在区间(弓段］上单调递减D.函数/(月的最大值为2,最小值为0

【答案】ABC

【分析】A选项，根据〃》+兀)=/(£)作出判断；B选项，根据函数奇偶性的定义作出

判断；C选项，当xe(*3时，.V化简得到“力=一2、1!无一；［+|,由复

合函数同增异减得到函数的单调性；D选项，先求出xe时，/(无)=一2卜in尤-;J+：,

得到最值，结合函数的周期性和奇偶性得到答案.

【详解】A选项，/(x+7C)=cos(2x+27i)+|sin(x+7c)|=cos2x+|sinx|=/(x),

故/(%)的一个周期为兀，A正确；

B选项，/(x)=cos2x+binx|定义域为R,

f(-x)=cos(-2x)+|sin(-x)|=cos2x+卜in,

故函数八X)的图象关于y轴对称，B正确；

C选项，当时，sinx£(g,l］,y=sin尤在上单调递增，

1丫9

故/(%)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2smx——+一，

4J8

由于y=-£|2+：在fe,J上单调递减，

由同增异减，可知/(X)在区间上单调递减，C正确；

TT时，sinxG[0,1],/(%)=-2卜in%-；1+(,

D选项，当xe0,-

iQ

当sinx=(时，/(x)取得最大值，最大值为:，

当sin尤=1时，/(x)取得最小值，最小值为0,

又的图象关于,轴对称，“X)的一个周期为无，

故/(X)在R上的最大值为3,最小值为0,D错误.

故选：ABC

11.(23-24高一下•辽宁・期末)已知函数/■(x)=sin(s+e)，＞0,附〈鼻的最小正周

期为4,在-gj”eR)上单调递增，且/卜£|=-1()

【答案】BC

【分析】根据最小正周期求出。，再由求出。，即可得到函数解析式，从

而判断A、B；由x的范围求出］的范围，结合正弦函数的性质求出r的范围，即可判

断C,最后求出，j、f(6),从而判断D.

【详解】因为函数仆)=5亩3+山＞0,阉＜今)的最小正周期为4,

所以丁二」=4,解得。=?，故A错误；

G)2

所以/(x)=sin(5x+9j,X/^-1^=sin|^-^+^=-l,

所以一四+9=-二+2防1,keZ,则0=一百+2far,keZ,又悯＜,71

623

所以。=-1，故B正确；

所以〃x)=singx-T,

_1_.7L兀7T7U7T._,._/\,.1

又xe，则不入一弓£,因为/(%)在一,，f(reR)上单调递增,

-

所以7:3?，解得1一5故C正确;

t>——3)

I3

=sin工=3/(6)=sinx6-gj=sin1=乎，

因为了

32

所以/f(6),故D错误.

故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.(23-24高二上・江苏南京•阶段练习)求值：sm46°-73cos74°=

cos16°

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦公式计算即得.

［详解］「"式2sin460-y/3sin16°2sin(16°+30°)->/3sin16°cos16°1

cos16°cos16°cos16°

故答案为：1

13.(23-24高一下•湖南衡阳•期末)若函数/(无)=AsinM+e)(A>O,0>O,O<e音)的

部分图象如图所示，则函数的解析式/(》)=

【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式.

【详解】由图象知，4=2,函数Ax)的周期7=%3)=无，因止匕。=攀=2,

X/(—)=2,贝!|2'6+9=:+2配水eZ,而于是％=0,°=[,

所以函数的解析式/(%)=2sin(2x+g).

jr

故答案为：2sin(2x+—)

14.(23-24高一下•辽宁葫芦岛•期末)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标

如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角

三角形的两锐角分别为d"，大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,则

cos(a-,)=.

图1图2

24

【答案】—/0.96

25

【分析】根据给定的图形，利用直角三角形边角关系得

5cosa-5cos£=l,5sin£-5sina=l,再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得.

【详解】依题意，大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,

结合图形知，5cosa-5cos尸=l,5sin£-5sina=l,即cose-cos夕=",sinA-sina=(,

两式平方相加得(cosa-cos£)2+(sin£-sina)2=f+g，

224

即2-2(cosacos力+sinasin/3)=—,所以cos(c-£)=—.

24

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)(23-24高一上•云南昆明・期末)如图，圆。与x轴的正半轴的

(卡2J5}

交点为A,点CB在圆。上，且点C位于第一象限，点B的坐标为七，七,ZAOC^a,

5

I5>

△BOC为正三角形.

sin(兀-cr)sin(^-+(7Isin^-a

（2）化简2，并求值.

COS(2K-a)cos(n+a)

【答案】

26-岳

(2)sina；

10

zy<-zyzy171

【分析】（1）利用三角恒等变换得到cos?'-逐sin,cos5-]=cosoc~,数形结

合，由三角函数的定义求出答案;

sin(7i-a)sin[T+0卜in

（2）利用诱导公式化简得到sina，凑角法，结合

cos(2兀-a)cos(兀+a)

71乎得到答案.

cos6Z+-,sinl6Z+—

一5

l+coscrv3.1

【详解】(1)cos2--^sin-cos---------------------sma——

2222222

1V3

=—coscr-s-i-n--a-=cosa+—,

22I3j

由图知：角a+三TT对应的终边为。8,因为点3的坐标为

71

所以圆。为单位圆，由三角函数定义得cos6Z+-

一5

..7T.3兀

/、sin(7i-a)sin(—+a)sin(---a)./、

(2)22_sincr-cosa•(-cosa)_s^na.

COS(2K-a)cos(7i+a)cosa•(—cosa)

71717171.71

其中sina=sina-\--=--s-i-n[a+三cos——cosa+—sin—,

33333

25/5

由（1）知:cosa+—5,sina+—

I35I35

所以sina=述」一旦且=拽一岳

525210

16.（本题满分15分）（23-24高一下•内蒙古通辽・期末）已知函数丁=4皿（5+9）

A>O,0>O,O<O<]的图象如图所示.

(1)求这个函数的解析式;

JTJT

(2)求函数在区间「历上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值.

【答案】(l)y=2sin12x+W

(2»=唱时，函数取得最大值0；x=q时，函数取得最小值为-2.

7T

【分析】(1)由图象观察可知A,由图可得函数的周期，由周期可求出。，由点(二,2)

6

在函数图象上，结合"的范围求出。的值，即可求解;

715兀

(2)由己知可求2x+：e--,0,利用正弦函数的图象与性质即可求解.

6O

【详解】(1)由图象知，函数的最大值为2,最小值为-2,

rT兀兀

.*2,Xv-=-41

2兀

---=7T

T=71,l®lG=2.

函数的解析式为y=2sin(2x+°).

,•・函数的图象经过点GJT，2),

6

二.2sin(：+0)=2,

sin[夕+]=1,

又T7,,•c0＜夕＜7兀，:.＜p=-兀

2o

故函数的解析式为y=2sin(2x+“J.

兀71

(2)1,1尤e

212

,7157r

2x+—G一石‘°•

6

于是，当2X+F=0,即方-匚时，函数取得最大值0；

612

当2无+夕=-，即--9寸，函数取得最小值为-2.

623

17.(本题满分15分)(23-24高一下•河北张家口•期末)己知函数

/(x)=cos4cox-2sin(wxcosa)x-sin4a>x(a>>0)的最小正周期T=n.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)当xe［0,争5兀时，讨论方程/(X)+1=加根的个数.

O

5冗JT

【答案】(1)［—■—+kit,——+lai］(kGZ)；

oo

(2)答案见解析.

【分析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数”x),求出。，进而求出单调递

增区间.

5兀

(2)探讨函数〃力在［0,9］上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线y=与

O

5兀

函数y=在［0,—］上的图象交点情况即可.

O

【详解】(1)依题意，

/(x)=cos2cox-sin2&x—2sinGXCOSCDX=cos2a)x-sin2a)x=^2COS(2GX+-),

4

由7=——，T=7t,得0=1,/(X)=72COS(2X+-),

2a)4

7157171

由一7i+2kit<2xH—W2kii,kwZ,-----Fku«%«---1-kit,左£Z,

488

57r7T

所以函数/(X)的单调递增区间为［-丁+析厂石+版］伏eZ).

OO

(2)当xeL0,当时，2x+?eJ为，余弦函数y=cosx在。,同上单调递减，在比刍

844242

上单调递增，

47r3TTSir

则函数/⑺在［0,由上单调递减，函数值从1减小到-血；在上单调递增，函

OOO

数值从-0增大到0,

方程/(X)+1=rno/(x)=m-l,

因此方程f(x)+l=加的根即直线y=%-1与函数>=/(尤)在［0,59兀］上的图象交点的横

O

坐标，

在同一坐标系内作出直线>=机-1与函数y=/(x)在［0,59兀］上的图象，

O

观察图象知，当加-1<-忘或即机<1-应或心2时，直线y=，"T与函数

>=/(尤)在［。,95兀］上的图象无交点；

O

当〃?-1=-e或0<7九一141，即加=1-后或1<Y2时，直线y=mT与函数y=/(无)

在［0,59兀］上的图象有1个交点；

O

__57r

当一0〈根一"0,即1-夜<加VI时，直线丫=相-1与函数y=/(x)在。上的图象

O

有2个交点，

所以当机<1-夜或加>2时，方程根的个数为0；

当机=1-应或1<"*2时，方程根的个数为1；

当1-亚<山41时，方程根的个数为2.

18.(本题满分17分)(23-24高一上•天津•期末)已知

/⑻=sin26-(2-”2)(sin，-cos6*)+8.

⑴当机=1时，求的值;

(2)若/⑻的最小值为7-3应，求实数机的值；

(3)对任意的公径兀］,不等式.ML-“8)恒成立.求加的取值范围.

<4)sin，-cos，

【答案】(1J7+收

2

(2)根=5或机=-1

(3)/+2,+8

I6)

【分析】(1)利用辅助角公式，化简函数，再代入求/［展)；

(2)首先设f=sin8-cos。，利用三角恒等变换，将函数表示成关于f的二次函数，讨

论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解加；

(3)根据(2)的结果，不等式参变分离为“一2>'+g］,在小(0,忘］恒成立，转

t

化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解加的取值范围.

【详解】(1)/(e)=sin2e-(2-m)(sine-cose)+8=sin2e-A/^(2-Msin，一：1+8,

当机=1时，/^^=sin^-A/2sin^-^+8=1--72sin^-^+8

」+昌巴+8二^g

262

(2)设％=sin8-cos8=V^sin/—a)，贝lj，£,2sin^cos^=—t2+1,

=2(0=~t2-(2-m)r+9,/e［-AV2］,其对称轴为+

当一l+葭20,即机22时，的最小值为。卜0)=7+20-血血=7-30，贝ij祖=5；

当—1+£<0,即机<2时，/蚪)的最小值为Q(0)=7—20+血相=7—30；贝1］根=—1；

综上，根=5或机=-1；

(3)由.8：T6>/⑻,对所有Me但力都成立.

SH1夕一COS。<4)

设/=sinS—cos。=V5sin,—：］,则/£仅，拒］,

所；16>一产一(2—根"+9,♦£仅,31恒成立,

..・8—产〉0,•••加—2，+田］，在/£(0,收］恒成立，

t

_L

当代倒，行］时，g一递减，则'+瓦］在(o,拒］递增，

：.t=4i时'+环取得最大值逑

7T6

TYI—2>—yf2,,「.相>—^2,+2

66

(75\

所以存在符合