直线与圆的最值问题-2024-2025学年高二年级上册数学常考题专练

专题2-3直线与圆的16类最值问题全归纳

求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求

几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问

题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，今天我们一起来学习一下直线与圆相关最值问题的

所有题型！

【题型1】点到含参直线距离最值.................................................2

【题型2】过定点的弦长最短......................................................3

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围.......................................5

【题型4】点圆型最值问题........................................................7

【题型5】斜率型最值问题........................................................8

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）...................12

【题型7】与基本不等式结合求最值..............................................18

【题型8】隐圆型最值问题.......................................................23

【题型9】阿氏圆...............................................................27

【题型10】与切点弦有关的最值问题.............................................34

【题型11］过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值............................40

【题型12］半圆与直线交点问题.................................................45

【题型13］三角换元求最值......................................................49

【题型14］圆的轨迹类问题......................................................51

【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题...................................55

【题型16］张角最大问题........................................................62

【题型1】点到含参直线距离最值

基础知识

点尸到含参直线/距离最大值即尸点到定点A的距离

如图，直线/绕定点A旋转，易知PHWR4

1.点(0,-D到直线y=-x+l)距离的最大值为()

A.1B.72C.73D.2

【解答】解：方法一：因为点(0,-1)到直线y=+1)距离d=上色=卜9+1=Ji+

VF+1V^+1V匕+1

要求距离的最大值，故需左＞0;

•.,F+L.ZZ,当且仅当左=1时等号成立，

可得/,»+竺=应，当左=1时等号成立.

V2k

方法二：由y=笈(x+l)可知，直线，=左(％+1)过定点B(-LO),

记A(0,-l),则点A(0,-l)到直线y=P(x+1)距离d„|AB|=72

/“巩固练习/

【巩固练习】已知直线/方程为(2+加)龙+(1-2川)丁+4-3相=0,那根为时，点。(3,4)到直线/

的距离最大，最大值为

4

【答案】-y2岳

【分析】求出直线/过定点尸的坐标，当。尸时，|。。|为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求

得加值.

［详解］直线Z:（2+m）x+（l_2m）y+4_3机=0化为（％_2y_3）机=_2%_y_4,

fx—2y—3=0fx=—1

由1_2x_y_4=0，^［y=-2，

...直线/必过定点（-L-2）.

当点。（3,4）到直线/的距离最大时，0P垂直于已知的直线/,

即点Q与定点P（T-2）的连线长就是所求最大值,

此时直线PQ与直线（2+机）x+（l—2机）y+4-3加=0垂直,

-2-43.2+m_24

解得m=—亍,

-1-3

此时，点。（3,4）到直线的最大距离是J（3+1）?+（4+2）2=2JR.

综上所述，机=-g时，点Q（3,4）到直线的距离最大，最大值为2，1^.

4,—

故答案为：-,；25.

【题型2】过定点的弦长最短

核心•技巧

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为差径，最短的弦为与过该点的差径

垂垂直的弦弦长为

/"典型例题/

2.已知直线/：加7-几+1=0和圆C:/+y2-4y=0交于A,3两点，则仙叫的最小值为（）

A.2B.V2C.4D.272

【答案】D

【分析】求出直线/过定点（1』），再利用弦长公式即可得到最小值.

【详解】/：Mx-l）-y+l=0,令x=l,则y=l,所以直线/过定点（1,1）,

当x=l,y=l得12+i2-4xl=—2<0,则（1」）在圆内，则直线/与圆必有两交点，

因为圆心（0,2）到直线/的距离1w^（1-0）2+（1-2）2=72,所以|AB|=2,22-6/2>272.

【巩固练习1】过点（1,1）的直线/与圆C：/一4x+/=0相交于A、B两点，则|钿|的最小值是.

【答案】2拒

【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可.

【详解】因为圆C:x2—4x+y2=0o（x—2y+y2=4,圆心C（2,0）,半径R=2

所以当过点尸（1,1）的直线/垂直于PC时，弦长|A邳取最小值，

即［明=21R2-PC?=2A/4-2=272.

【巩固练习2】（24-25高三上•江苏苏州•开学考试）已知直线/:（2左+l）x-外一1=0（其中左为常数），

圆。:/+;/=8,直线/与圆。相交于A,B两点，则AB长度最小值为.

【答案】2g

【分析】求出直线/过的定点，求出圆。的圆心和半径，连接0尸，当直线/与OP垂直时弦长A3最

小，求出AB长度最小值.

【详解】由题意得直线/：（2左+1）%一。—1=。过定点尸（1,2）,

圆。：/+/=8圆心为0（0,0）,半径为厂=2近，

连接。尸，当直线/与OP垂直时弦长A3最小，

此时|0尸|=」付+22=JJ

所以AB长度最小值为26-1OP『=2>/3.

【巩固练习3】（23-24高二下•广东茂名.阶段练习）己知圆C:（x-3）2+（y-4）2=9,直线

/:（〃z+3）x-（机+2）y+〃z=0.则直线/被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2币B.回C.20D.新

【答案】A

【分析】先求出直线/所过的定点尸（2,3）,数形结合得到当CP时，直线/被圆C截得的弦长最小，

再由垂径定理得到最小值.

【详解】直线/:（m+3）%—+2）y+根=加（%—丁+1）+3%—2y=。，

fx—y+l=0fx=2/、

令。CC,解得。，所以直线/恒过定点尸2,3）,

［3%-2y=0［）=3

圆。：（*一3）2+（、-4）2=9的圆心为。（3,4）,半径为r=3,

且|PC「=0-3）2+（3-4）2=2<9,即尸在圆内，

当CP_U时，圆心C到直线/的距离最大为d=|PC|=J5,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2^^=25.

X

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围

核心•技巧

在圆的一般方程中，判断点Z圆的位置卖系

已知点/(%,%)和圆的一般式方程OC：X2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0),

则点M(不，%)与圆的位置关系：

①点M(%,%)在。。外+%~+Dx0+Ey0+F>0

②点M在。。上x~+%?+XEy+F=0

(x0,%)0DQ+0

③点M在0(J内x~+为XEy+F<0

(x0,%)U>02+DQ+0

注意：做题时不要漏掉。2+石2一4尸>o这个不等式

/“典型例题/

3.若点(。+1,。一1)在圆丁+丁-2冲-4=0的内部，则a的取值范围是().

A.a>1B.0<a<lC.—1<a<D.a<1

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径升=，4+4,所以aeR,把点(a+1,。—1)代入方程，

则(a+l)2+(a-l)2-2a(a-l)-4<0,解得a<1,所以故a的取值范围是a<1.

/“巩固练习/

【巩固练习。若点4(2,1)在圆丁+丁一2如一2y+5=0(加为常数)外，贝U实数机的取值范围为()

A.(-co,2)B.(2,+co)C.(-00,-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得加<2,再由圆的一般方程中。2+石2_4b>0可得根<-2,

最后求交集即可.

【详解】由题意知22+f—4m-2+5>0,

故机<2,

又由圆的一般方程/+产+6+或+F二。，

2

可得。2+石2_4尸>o,即(-2m)+(—2)2—4x5>0,

即机<一2或加〉2,

所以实数加的范围为用<-2.

【巩固练习2】若点(0,1)在圆f+y2_2ax-2y+a+l=0外，则实数。的取值范围为.

【答案】a>\

【分析】根据圆心到点(0,1)的距离大于半径即可列不等式求解.

【详解】圆的标准方程为(x-a)~+(y-l)2=a2-a,

由于点(0,1)在圆外，

.(0—G)+(1—1)>a~~a.

所以"j','',解得a>l

a—a>0

【巩固练习3】过点尸(LI)可以向圆Y+y2+2x-4y+"2=0引两条切线，则人的范围

【答案】(2,7)

【分析】根据方程表示圆和点尸在圆外可得不等式，由此可解得％的范围.

【详解】由x2+；/+2x-4y+k-2=0表示圆可得：4+16—4(左一2)>0,解得：k<l;

•.,过尸可作圆的两条切线，在圆外，.•.12+12+2一4+左一2>0,解得:k>2；

综上所述：左的范围为(2,7).

【题型4】点圆型最值问题

/核心•技巧/

圆。上的动点P到直线/距离的最大值等于点。到直线/距离的最大值加上半径，最小值等于点C

到直线距离的最小值减去半径

///典型例题/

4.若实数X,〉满足/+丁=1,则J(x-l)2+(y一的最大值是.

【答案】V2+1/1+V2

【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.

［详解］设点P(x,y),由实数X,y满足x2+y2=l可得：

点P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

设点4(1,1),则"(尤—Ip+(y—1)2的几何意义为动点尸到定点劫(LD的距离,

由仔+仔=2>1,则点A在圆f+y2=1夕卜，

结合图形可知，|AP|max=l°叫+1=后+卜

7(%-l)2+(y-l)2的最大值是V2+1.

/“巩固练习/

【巩固练习1】若点P(x,y)在圆/+>2_4、+1=0上，贝|。一1)2+/的最小值为.

【答案】8-2715

【分析】利用(x-1y+y表示点(羽y)与点(1,0)的距离的平方，求出圆心(0,2)与点(1,0)的距离为近,

可求得最小距离，继而可求得所求.

【详解】因为/+/一4>+1=0,化为d+(y-2)2=3,

圆心为(0,2),半径为

又(x-1)?+y2表示点(乂y)与点(1,0)的距离的平方，

圆心(0,2)与点(1,0)的距离为小,

所以点(x,y)与点(1,0)的距离的最小值为75-73,

故(x-+9的最小值为(A/5-A/3)2=8-2715

【巩固练习2】若点尸(x,y)是圆C:/+y2一8x+6y+16=0上一点，则f+,2的最小值为(

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.

【详解】圆C:尤2+y2-8x+6y+16=0可化为(x-4)2+(y+3)2=9.

f+y2表示点尸(x,y)到点0(0,0)的距离的平方，

因为|CO|=，42+(-3)2=5,

所以#+y2的最小值为(5-3)2=4.

【巩固练习3】已知圆。：(％-3)2+0-4)2=1,点4(0,-1)与3(0,1),尸为圆C上动点，

当|PA『+1取最大值时点P坐标是.

【解答】解：设尸(X»),则6/=|丛|2+|设5|2=无2+(丫+])2+%2+(1_1)2=2(炉+/)+2,

次+/的几何意义是P(x,y)到原点的距离，

由已知，圆心C(3,4),半径为1,C到O的距离|CO|=5,

,《x2+的最大值是5+1=6,

：.d的最大值为2x6?+2=74,

4

由直线y=与圆。：(%一3)2+(丁一4尸=1,可得(5%-12)(5X-18)=0,

12W18

X=—或X=—,

55

•••当IPA『+1pg|2取最大值时点p坐标是(竺，.

【题型5】斜率型最值问题

/核心•技巧/

形如M=2心的最值问题，可转化为点(X,y)与定点(。，力的动直线斜率的最值问题

x-a

5.已知实数x,V满足方程(％-2)2+丁=3,求上的最大值和最小值

X

【解答】解:(1)圆(x-2产+.=3,圆心(2,0),半径为「=百,

令上=k,即履-y=0,2的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的左的值，

XX

\2k\rv

I',2=,解得左=±百，，-的最大值为拓，最小值为-JL

6.(24-25高二上•江西上饶•开学考试)已知两点4(-3,2),B(2,l),过点尸(0,-1)的直线/与线段

AB(含端点)有交点，则直线/的斜率的取值范围为()

A.(^»,-l]U[l,-H»)B.[-1,1]C.^-oo,[l,+oo)D.

【答案】A

【分析】求出直线以、尸3的斜率后可求直线/的斜率的范围.

故直线/的取值范围为+8)

7.若点P在曲线C：/+/_2苫-6、+1=0上运动，则一二的最大值为_______.

x+3

【答案】y

【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置

关系应用点到直线距离求解即可.

【详解】曲线C方程化为(x—iy+(y—3)2=9,是以(1,3)为圆心，3为半径的圆，

上表示点P(x,y)与点(—3,0)连线的斜率，不妨设上=左即直线/：kx-y+3k=0,

又尸在圆上运动，故直线与圆。有公共点，则匕3+3』J

收+1

24v74

化简得7/一24440解得0V左V亍，故壬的最大值为日.

/“巩固练习/

【巩固练习1】(22-23高二上•安徽马鞍山•阶段练习)已知直线斜率为3旦一6C手,那么倾

3

斜角a的取值范围是()

2兀

C.U---,71

%3

【答案】C

【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案.

【详解】k=tana在[0,兀)上的图象如图所示，

由图可知，当—百时，

3

兀27r\

倾斜角a的取值范围为.

-63；

故选：C.

【巩固练习2】如果实数x,'满足(x-2y+y2=2,则十的范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-co,-l)u(l,+oo)D.(YO,-1]U[L+<»)

【答案】B

【分析】设:=左，求号的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(％y)的直线中斜率的范围，结

合图象，易得取值范围.

【详解】解：设)=%，则y="表示经过原点的直线，左为直线的斜率.

X

如果实数犬，y满足(x-2)2+y2=2和2=%,即直线y=Ax同时经过原点和圆上的点(x,y).

其中圆心C(2,0),半径一行

从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E

则直线的斜率就是其倾斜角/EOC的正切值，易得|OC|=2,|CE|=r=应，

可由勾股定理求得\OE\=^OC2-CE2=亚,于是可得到％=tanZEOC=母=1为?的最大值;

同理，上的最小值为一1.

则上的范围是[-1』.

X

【巩固练习3】已知两点43,0),B(0.4),动点P(x,y)在线段A5上运动，则旺■的范围是,

x-2

(x+iy+V的范围是.

【答案】f-OO,--1u[l,+oo)^^,17

【分析】根据A,8坐标画出线段AB,可知上丑的几何意义为(羽y)与C(2,-1)连线斜率，(x+Ip+V

的几何意义为(x,y)与£>(-1,0)距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.

【详解】根据题意画出线段AB如下图所示：

直线AB的方程为4x+3y—12=0,

上出的几何意义为(x,y)与C(2,-l)连线斜率，kAC=l,kBC=--,

x-22

所以上口€

-00,u[l,+oo);

%—2

(x+1)2+/的几何意义为(工,丁)与。(一1,0)距离的平方，

1-4-12116I------------------

由点到距离公式可知在歹手=《,DA=4,DB=y/(~l)2+42

所以(尤+1)2+丁€—,17,

故答案为：(-co,-|U[1,4-00)器7

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数(教材原题改编)

/核心•技巧/

教材原题改编：选择性必修第一册第99页

@拓广探索

!13.已知圆f+y=4,直线y=/+b.6为何值时，同上恰有三个点到直线/的距离都等于1?

圆心C到直线1的距离为d,圆C上的动点尸到直线的距离为d,则

(1)直线与圆有公共点时，此时dWr

①当">d+r(dWr)时，点P个数为0

②当"=d+r(dWr)时，点P个数为1

③当r—d<d<r+d3Wr)时，点P个数为2

④当"=r—d(d/r)时，点P个数为3

⑤当0<"<厂一或dsr)时，点P个数为4

(2)当直线与圆无公共点时，止匕时

①当"<d—r(d>r)时，点P个数为0

②当"=d—r(d>r)时，点P个数为1

③当d—Yd<d+r3>r)时，点P个数为2

/“典型例题/

8.已知点尸在圆(x-4>+(y-5)2=16上，点A(4,0),3(0,2).求点尸到直线A3距离的最大值;

【答案】26+4

【分析】首先求出直线的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径

的和求解即可.

【详解】因为A（4,0）,3（0,2）,

所以k=^―|=-；,所以直线的方程为了=一^彳+

ABA32即x+2y—4=0,

圆（x-4）2+（y-5）2=16的圆心为（4,5）,半径厂=4,

圆心（4,5）到直线A8的距离为d='+1尸1=26>4,

故圆与直线48相离，所以圆上的点P到直线A3距离的最大值为2班+4.

9.（多选）在平面直角坐标系xQv中,已知圆炉+「=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=。的

距离为1,则实数c的取值可能是（）

A.14B.-13C.12D.-10

【答案】CD

【分析】分析可知直线12x-5y+c=0平行且与该直线间距离为1的直线的方程为12x-5y+c+13=O、

12%—5丁+。-13=0,由题意可知，直线12x-5y+c+13=0、12x—5y+c—13=0与圆/+y2=4均相

交，可得出关于。的不等式组，解出。的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】设与直线12x-5y+c=。平行且与该直线间距离为1的直线的方程为12%-5）+6=0,

「―一q—

解得祖=c+13或〃?=c-13,

则kF’

所以,直线12x—5y+c+13=0、12x—5y+c—13=0均与圆x2+y。=4相交,

而圆心为原点。，圆的半径长为2,所以，,,,解得-13<c<13

c-13一

10.若圆（>3）2+（y-5）2=r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为5,贝"的取值

范围是.

【答案】4<r<6

【分析】求出圆心尸（3,5）到直线4芯-3、=2的距离等于1,由能求出半径r的取值范围.

/、112-3x5-21

【详解】圆心尸（3,5）到直线4*-3丫=2的距离等于1j]6+9='

圆（x-3）2+（y-5）2=/（「>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为5,

[r-l<5

由圆的几何性质可得〈，

[r+l>5

解得4<r<6,

「•半径一的取值范围是4<r<6,故答案为4<r<6.

11.已知圆CX2+/=4,直线/：x+y+根=0,若圆。上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为

1,则机的取值范围是

【答案】（-3夜，-@U（血，3逝）

【分析】首先结合已知条件，求出当圆C上有1个和3个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到

直线/的距离，进而得到圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线/的距离

的范围，然后结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】当圆C上有且仅有两个点到直线/的距离等于1时，如下图所示.

由于圆C的半径为2,

故当圆C上有1个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线的距离d=2+l=3,

当当圆C上有3个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线的距离d=2-l=l,

从而圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为1时，

则圆心C到直线/的距离d满足|2—力<1,解得l<d<3,

\m\

因为圆心（0,0）到直线/：x+y+m=0的距离d正,

m

所以]<\\

正<3,解得-3忘〈根<-忘或忘<机<3庭,

故m的取值范围是卜3夜,-夜）U（夜,3夜）.

12.（24-25高二上•江苏徐州•开学考试）已知圆C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直线，=6+5上总存在

点尸，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60。，则实数上的取值范围是

Q

【答案】k>0^k<——.

【分析】根据切线夹角分析出1尸口=4,由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得.

【详解】圆C:(x+l『+(y—1)2=4,则圆心为C(—1,1),半径r=2,

设两切点为A8,贝1网=\PB\,因为ZAPB=60。，在RtAT^lC中NAPC=|NAPB=30°,\AC\=r=2,

所以|PC|=4,

因此只要直线/上存在点P,使得|尸。=4即可满足题意.

1-^-1+5|8

圆心C(-l,l),所以圆心到直线的距离d=i=—24,解得左20或ZW--.

收+115

/“巩固练习/

【巩固练习1】(2024•广东珠海・一模)已知点A(T0),3(0,3),点尸是圆(尤-3)2+丁=1上任意一

点，贝葭卫钻面积的最小值为()

A.6B.-C,-D.6--

222

【答案】D

【分析】求出直线A8的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线A8距离的最小

值即可求得最小值.

【详解】两点A(-LO),8(0,3),则|阴=](-1)2+32=阿直线AB方程为y=3x+3,

圆(x-3『+y2=l的圆心C(3,0),半径厂=1,

126回

点C到直线AB:3x-y+3=0的距离d=

5

因此点P到直线A5距离的最小值为=,

5

所以ABIB面积的最小值是1xa5x（5叵-1）=6-巫.

—252

【巩固练习2】已知点P为圆/+产=1上一点，记"为点?到直线xr改一2=。的距离.当m变化时，

d的最大值为.

【答案】3

【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可

得答案.

【详解】由直线方程尤-阳-2=0,则该直线过定点（2,0）,

易知圆尤2+y=1上任意定点到该直线的最大距离就是该点到（2,0）的距离，

由圆的方程/+9=1,则其圆心为（0,0）,半径为1,

点（2,0）到圆/+y=1上点的最大距离为2+1=3.

【巩固练习3】在圆（x-2『+y2=4上有且仅有两个点到直线3x+4y+a=。的距离为1,则。的取值

范围为•

【答案】（-21,71）U（T9）

【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离4=\©；根据

已知可确定5<d<r+l,由此构造方程求得a的取值范围.

【详解】由圆的方程知其圆心为（2,0）,半径厂=2,

设圆心到直线3x+4y+a=。的距离为』，则"；&；

圆上有且仅有两个点到直线3x+4y+a=0的距离为1,则］<“<厂+1,

即1<<3,解得：-21<a<-11或-1<a<9,

二。的取值范围为（-21,-L1）U（-1,9）.

【巩固练习4】若圆（％-1）2+（了+1）2=居上有且仅有两个点到直线4x+3y=ll的距离等于1,则半径

R的取值范围是.

【答案】1<R<3

【分析】根据题意分析出直线与圆的位置关系，再求半径的范围.

【详解】圆心到直线的距离为2,又圆(X-1)2+(y+1)2=夫2上有且仅有两个点到直线4x+3y=ll

4-3-11

的距离等于1,满足R-',o'<1,

V42+32

即：IR-2IV1,解得1VRV3.

故半径R的取值范围是1VRV3(画图)

【巩固练习5】设圆C：(x-l)2+(y+l)2=/(r>o)上有且仅有两个点到直线x-y+2=0的距离等

于V2，则圆半径，的取值范围是.

【答案】(五,3夜)

【分析】

计算圆心到直线的距离为20,根据条件得到|d-r|<VI,解得答案.

【详解】

圆(尤—iy+(y+l)2=/的圆心坐标为(1,-1),半径为r,

圆心(1,-1)到直线x-y+2=0的距离+=2后，

因为圆上恰有相异两点到直线x-y+2=0的距离等于及，

所以

即|2力-厂|<0,所以0<r<3也.

【巩固练习6】已知直线/：y=x+6,圆O:/+y2=4,圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,则

b的取值范围为

【答案】卜亚，夜)

【分析】根据题意可得圆心到直线/的距离小于1,再利用点到直线距离即可求出6的取值范围.

【详解】圆0上恰有4个点到直线/的距离为1,则圆心到直线/的距离小于1,

则公信＜1,

即-0<6<0,

所以6的取值范围为卜几吟.

【题型7】与基本不等式结合求最值

「核心♦技巧;

基本不等式：如果。＞0,匕＞0,那么y/ctb«----,当且仅当〃二/?时，等号成立.（仅限和与积）

常用不等式：若a，beR,则加《剑包当且仅当〃二方时取等号；（从左至右为积,

42

和，平方和）

/“典型例题/

13.若。，万为正实数，直线2尤+（2a-3）y+2=O与直线法+2y-1=0互相垂直，则"的最大值为

【解答】解：由直线2%+（2。-3）丁+2=。与直线区+2丁一1=。互相垂直,

所以2b+2（2〃—3）=0,

即2。+6=3;

又。、b为正实数,所以2a+6..2亚益，

即2",,（幺±2）2=2,当且仅当a=3,6=3时取“=”；

2442

9

所以ab的最大值为一.

8

14.设直线/的方程为（a+l）x+y+2-a=0（xeR）,若/与x轴正半轴的交点为A,与V轴负半轴的

交点为3,求AAOW。为坐标原点）面积的最小值.

【解答】解：,.•/与无轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为5,

a—2

「.A的横坐标>0,5的纵坐标Q-2V0,求得av-l.

Q+1

1Z7-9(1-2)2_[3+(Q+1)]2

求AA05（0为坐标原点）面积的为大------（2-«）=

2Q+1—2a—2—2•(Q+1)

9+(。+1)2-6(〃+1)96?+1.।9a+1_,

--------------------------=-------------1--------F3..2i---------------------F3=6当且仅当a+l=—3时，取等

-2(〃+1)-2(〃+1)-2\-2(a+l)-2

号，故AA03（0为坐标原点）面积的最小值为6.

15.（23-24高二上•贵州铜仁•期中）已知圆工2—4x+y2—2>=5关于直线2ox+y+Z?-3=。（〃，b为

大于0的数）对称，则：的最小值为____,此时直线方程为______

ab

9

【答案］12x+3y-7=0

【分析】空1：由题意得直线2分+，+6-3=0过圆心，从而得到4a+6=2,利用基本不等式“1”的

妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可.

【详解】圆Y-4x+y2-2y=5,整理得（尤—2）2+（y—I）?=10,则其圆心为（2,1）,

由题意得：直线2分+y+Z?-3=0过圆心（2,1）,

所以4a+Z?=2,又。>0,b>0,

所以，+!二|1+I1f.bb4a.]1__b4〃912

b\'—=-4+—+——+1>-x5+2,=5.（当且仅当〃b=-

aba722ab2ab,

时，取"=”).

27

此时直线方程为§x+y_§=0,即2%+3y—7=0.

9

故答案为：-;2%+3y—7=0.

2

16.（2024・安徽•模拟预测）已知。（一2a,0）,。伍,"）（〃>0力>。），动圆（％-+（）一人尸=r（r>0）经

过原点，且圆心在直线1+2y=2上.当直线尸。的斜率取最大值时，r=（）

V2R2收06n

AA.D.------C.D.----

3333

【答案】B

【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.

nh

【详解】由题意可得，a2+b2=r\a+2b=2,直线P。的斜率为怎。=-----.

2a+b

2a+b1211(a+26)=：5+?2b2a2b2a9

因为---------=—।—=—++—|>-5+2.

abab2a1ab21ab2

当且仅当竺="，即。=人=2时，等号成立，所以‘^42,

ab32a+b9

即当直线PQ的斜率取最大值时，a=b=j所以产=1+廿=|,故—半.

17.（23-24高二上•陕西西安•期中）已知圆。的半径为2,过圆。外一点P作圆。的两条切线，切点

为A,B,那么丽.丽的最小值为（）

A.-16+472B,-12+4V2C.-12+8近D.-16+8收

【答案】C

【分析】设根据长度表示出COS/4PB,然后根据向量的数量积计算公式求解丽.而，结

合基本不等式求解出耳.屈的最小值.

设|P0|=",贝"尸川=|尸理=山2—4,

2

因为sinZAPO--,

d

所以cos/APB=l—2］：）=1一0，

所以可.丽=（/-4）11-总=屋+/一1222寂一12=8加一12,

32

当且仅当屋=/，即力=40>4时，等号成立，

故耳•丽的最小值为8a-12

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点A（l,l）的动直线4和过点3（4,5）的动直线Z2交于点尸（点P异于A、8）,且4，4，

贝的最大值是（）

A.述B.525

D.

2i2

【解答】解：因为［，4，则E4LPS,

所以|PA『+|尸5『二|AB|2=25,

则g-出丁=今

22

当且仅当|PA|=|PB|=里时取等号,

2

所以1PAi-|尸3|的最大值为三25.

2

【巩固练习2】过点尸（3,4）的直线/,求/与xj正半轴相交，交点分别是A、氏当AAOB面积最小时

的直线方程.

【答案】4x+3y-24=0.

【解析】设出截距式方程为』+2=1（。>0,6>0）,代入点的坐标，用基本不等式求得而的最小值,

ab

从而得直线方程.

Xv34

【详解】设直线/方程为一+2=1（〃>0/>0）,•・•直线过点P（3,4）,J—+—=1,

abab

34fp-34

1=-+->2A—,当且仅当1=7，即。=6/=8时等号成立，.\^>48,

ab\abab

S^0AB=-ab>^,...△AOB面积最小值为24,此时直线方程为2+2=1,即4x+3y-24=0

268

【巩固练习3】（23-24高二上•江苏无锡・期中）若圆/+）；2+2》-4>+1=0被直线

2依一勿+2=0（a>0力>0）平分，则，+g的最小值为（）

A.-B.9C.4D.-

49

【答案】C

【分析】由题意得圆心（-1,2）在直线2ox—by+2=0（a>0,b>0）上，即得。+6=1,再利用基本不等

式“1”的妙用即可求解.

【详解】由圆尤2+y2+2x-4y+l=0被直线2flx-&y+2=0（«>0,&>0）平分，

得圆心（-1,2）在直线2以一勿+2=0（。>0力>0）上，则一2。一26+2=0,即。+6=1,

而。>0力>0,则工+!=（_1+！）（0+6）=2+0+2\2/2.@+2=4,

ababab\ab

当且仅当2=2,即a=b=工时取等号，所以工+J■的最小值为4.

ab2ab

【巩固练习4】已知圆。的方程为d+y2=i,过第一象限内的点P（a,b）作圆。的两条切线",PB,

切点分别为A8,若丽.而=8，则的最大值为（）

A.2V2B.3C.3&D,6

【答案】C

【分析】根据题意，求得丽2=8，得到|PA「=8,结合圆的切线的性质，得到4+人2