导数解答题综合训练（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第17讲新高考新结构

命题下的导数解答题综合训练

(11类核心考点精练)

I传.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。导数版块作

为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，

易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，导数版块也可能被置于第18、19题这样的压轴题中，此时的分

值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,

以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、利用导数研究具体函数的单调性

1.（2024•湖南邵阳•三模）已知函数/（x）=-gx3+x2+i.

⑴求函数的单调递增区间；

（2）若函数8（月=〃》）-左（左€1＜）有且仅有三个零点，求后的取值范围.

2.（2024・浙江•三模）已知函数〃x）=e＜

⑴求函数〃x）的单调区间；

（2）若曲线J=/（x）在点（0,0）处的切线与二次曲线＞=^2+（2。+5k-2只有一个公共点，求实数0的值.

3.（2024•湖南邵阳•三模）已知函数/仁）=生/土jaeR）

(1)若〃=2,求〃x)的单调区间.

⑵若对Vxe(O,+s),/(x)4xe，恒成立，求实数。的取值范围

4.(2024•陕西渭南•二模)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=^^-x+l.

XX

⑴求函数g(x)的单调区间；

(2)若当x>0时，加x2-e"4"/(x)恒成立，求实数a的取值范围.

5.(2024・湖南衡阳・模拟预测)函数〃x)=(亦+l)lnx-ax+21nq.

⑴当a=2时，讨论〃x)的单调性；

⑵在(。,+司上单调递增，求。的取值范围.

6.(2024・广东佛山・二模)已知/■(x)=-：e"+4e*-ax-5.

⑴当a=3时，求/(X)的单调区间；

⑵若/(X)有两个极值点X1,%2,证明：f(xl)+f(x2)+xl+x2<0.

7.(2024・河北保定•二模)已知函数/(x)=(x-2e2)lnx-ax-2e2(aeR).

(1)若a=1,讨论〃x)的单调性；

(2)己知存在使得了5”/国)在(0,+功上恒成立，若方程/(*=-卢。-2e?心有解，求实数上

的取值范围.

8.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=e2<5F+?(weR).

⑴若加=2e?,求〃x)的单调区间;

(2)若m=。，/(x)的最小值为〃Xo),求证：4<"。)<6.

%

9.(2024・浙江•模拟预测)已知函数"x)=a(e'+sinx)-X-1.

⑴当a=g时，求/(x)的单调区间；

(2)当”=1时，判断〃x)的零点个数.

10.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃x)=e2x-“lna+l).

⑴若a=2,讨论〃x)的单调性.

(2)若x>0,a>1,求证：—

考点二、利用导数研究含参函数的单调性

2

1.(2024•广东汕头•三模)己知函数73=11«-q名3=/,0#0.

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)若〃x)4g(x)恒成立，求。的最小值.

2.(2024・陕西榆林•模拟预测)已知函数〃x)=e，+("l)x-l,其中aeR.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)当a=2时，证明：/(x)>xlmc-cosx.

3.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(x)=hw+ax+l,aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当时，证明：<e2j.

4.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(X)=Q(X+1『—x—lnx(QER).

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵当。时，求证：f(x)>2^z——bl.

5.(2024•山西吕梁•三模)已知函数/(x)=x2-2x+alnx,(a£R).

⑴讨论函数的单调性；

⑵若对任意的西,乙武0,+8)4产乙，使”」(%)-*/伍)>0恒成立,则实数。的取值范围.

玉-x2

6.(2024•广东东莞・模拟预测)已知函数/'(x)+(1-a)x-alnx(aeR).

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)当。>0时，求函数/lx)在区间［Le］上的最大值.

3

7.(2024•宁夏吴忠•模拟预测)已知函数/(x)=ae-x-5(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)证明：当。〉0时，f(x)>2\na-a2.

8.(2024•山东青岛•二模)已知函数f(x)=lnx+ax2-x+a+l.

⑴证明曲线>=/(x)在x=1处的切线过原点；

⑵讨论/(X)的单调性；

9.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)已知函数/(x)=2e'+W-(a-2)x-4(aeR).

⑴求函数/(x)的单调区间;

(2)若ae(-s,2e),求函数/(x)在区间xe(-8,2］上的零点个数.

10.(2024・新疆•三模)已知函数/(同=(》-1)砂一］/+。.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若/(x)有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

考点三、利用导数求极值与最值

1.(2024•广东东莞•模拟预测)已知函数/(X)=gx?+(l-a)x-alnx(aeR).

⑴求函数/'(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数/(x)在区间［l,e］上的最大值.

2

2.(2024•江苏南京•二模)已知函数/(x)=x+",其中aeR.

ex

⑴当〃=0时,求曲线歹=/(x)在(1,7(1))处的切线方程;

(2)当。>0时，若/'&)在区间［0,a］上的最小值为工，求。的值.

e

3.(2024•河南•模拟预测)已知函数〃x)=?^(awO,aeR).

⑴求/(x)的极大值；

(2)若。=1,求g(x)=/(x)-cosx在区间2024无上的零点个数.

4.(2024•湖南长沙•三模)已知函数/(x)=x+ln(")+］打工(a<0).

⑴求函数的极值；

⑵若集合-1)有且只有一个元素，求a的值.

5.(2024•河北保定•三模)已知函数/(x)=--ax+lnx,x=1为/(》)的极值点.

⑴求a；

(2)证明：/(X)<2X2-4X.

6.(2024・北京顺义•三模)已知函数/(x)=xln(2x+l)-办二

⑴求曲线V=“X)在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)当a<0时，求证：函数/(x)存在极小值；

⑶求函数〃无)的零点个数.

7.(2024・广西贵港•模拟预测)已知函数/(x)=aeQ-lnx+ln“+l.

X

(1)当。=1时，请判断，(x)的极值点的个数并说明理由；

(2)若>2az-a恒成立，求实数a的取值范围.

8.(2024・吉林•模拟预测)己知函数=

⑴当a=0时，求函数〃x)的极值；

⑵求证：当0<a<l,x>0时，/(X)>—^―.

a-1

9.(2024•四川攀枝花•三模)已知函数〃x)=lnx+q-l(aeR).

⑴求函数/(X)的极值；

(2)设函数Ax)的导函数为/(X),若/'(再)=/'(马)证明：/(玉)+/(%)+->1.

10.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数〃(x)=2/+3--12x+机(机eR)的一个极值为-2.

⑴求实数加的值；

「3-

(2)若函数〃(x)在区间k,-上的最大值为18,求实数人与〃7的值.

考点四、利用导数证明不等式

L(2024•广西•模拟预测)设函数/(x)=lnx+办+6,曲线了=/(x)在点(1J。))处的切线方程为

>=6x-3.

⑴求a,6的值；

2

(2)证明:/(x)>---1.

2.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数〃x)=lm:+ax+l,awR.

⑴讨论)(x)的单调性;

(2)当aW2时，证明：^-^<e2x.

3.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数/(x)=lnx-ln(x-l)-

X

⑴求/(X)的值域;

(2)求证：当几wN*时，Zsin----；<In2.

i=\n+1

4.(2024・河北•三模)已知函数/(x)=xlnx—〃x2+(2Q—1)X—Q+1(QER).

(1)若/(“<0在［1,+s)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：-^―++^—+++—>ln2.

77+1n+2几+3n+n4n

5.(2024・四川内江•三模)已知函数/(%)=1111+区-凡〃〉0.

x

⑴若/(X)的图象不在X轴的下方，求。的取值集合；

(2)证明：sin———Fsin--——F…+sin——-——<In2024(neN*1.

n+\n+22024〃1)

6.(2024•河北•模拟预测)已知函数/⑺=x.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当〃〉0时，-1.

13

7.(2024•重庆九龙坡・三模)已知函数/(xhlnx+if-G+i，(a>0).

⑴当xe[l,+。)时，函数/(x)20恒成立，求实数。的最大值；

(2)当a=2时，若/(再)+/(々)=0,且再3乙，求证：XX+X2>2-

⑶求证：对任意“eN*,都有21n(〃+l)+4U>n.

8.(2024•陕西•模拟预测)已知函数/(x)=alnx—x+l(QER),g(x)=sinx-x.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)证明：+J<0(几eN*);

(3)liE明：In2>sin----Fsin-----1-sin----F,••+sin—(〃wN*).

n+1n+2n+32n

9.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(x)=e，-；x2-x.

⑴求函数〃工)在x=l处的切线方程.

⑵证明：Vxe[0,+co),/(x)>sinx.

(3177-4-32m?+syyj_i_q

10.(2024・山东•模拟预测)已知函数/(x)=e『x2-----x+m,,其中mwO.

ImmJ

(1)求曲线J=/(X)在点(2,〃2))处切线的倾斜角；

(2)若函数/(x)的极小值小于0,求实数加的取值范围；

(3)'UE明：2e“-2(x+1)Inx-x〉0.

考点五、利用导数解决恒成立与能成立有解问题

1.(2024•湖北•模拟预测)己知函数/(x)=hu,g(x)=f-l其中。为常数.

⑴过原点作f(x)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若玉e(0,+动，使/(x)Wg(x)成立,求。的最小值.

2.(2024.广东茂名.模拟预测)已知函数=—.

⑴求曲线了=/(x)在点(ej(e))处的切线方程；

(2)当X21时，xf(x)<a(x2-l),求°的取值范围.

3.(2024•山东济南•三模)已知函数不>)=优+2'-2,其中a>0且awl.

⑴若/(x)是偶函数，求a的值；

(2)若x>0时，〃x)>0,求。的取值范围.

4.(23-24高三上广东深圳•阶段练习)已知/(x)=ax-lnx,aeR.

⑴讨论〃x)的单调性和极值；

(2)若xe(O,e］时，/(x)W3有解，求。的取值范围.

5.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=x2-2alnx-2(aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若不等式/(x)V2(ln"+x2-2x在区间(1,+co)上有解，求实数。的取值范围.

6.(2024・四川雅安•三模)已知函数〃x)=e*-axcosx,g(x)=sinx-l.

⑴当。=1时，求函数/(x)在''。，曰上的值域；

(2)若关于x的不等式/(x)+g(x)“在xe［o,j］上恒成立，求实数a的取值范围.

7.(2024•浙江绍兴•二模)已知函数/(x)=、-x+asinx.

(1)当a=2时，求曲线>=/(x)在点(0J(O))处的切线方程；

(2)当xe(O,冷时，/(x)>0,求实数。的取值范围.

8.(2024・浙江温州•模拟预测)函数/(x)=e-，sinx

(1)求/(x)的单调区间.

(2)若/(x)Wax+/在x20时恒成立，求a的取值范围.

9.(2024・山东二模)已知函数/(x)=mx-hix,xe(l,+ao).

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)若/川小/卜”--工恒成立，求实数小的取值范围.

10.(2024•河北•二模)已知函数f(x)=e"

(1)求曲线y=/(x)在x=o处的切线/与坐标轴围成的三角形的周长；

(2)若函数〃X)的图象上任意一点尸关于直线X=1的对称点。都在函数g(x)的图象上，且存在xe［o,l),使

/(x)-2exNw+g(x)成立，求实数加的取值范围.

考点六、利用导数研究函数的零点与方程的根

13

L(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数〃力=］淤血-丁

7

(1)证明：当xe［0,可时，e1-x-->/(x)；

(2)求在区间［0,可上的零点个数.

2.(2024•广东汕头三模)已知函数/(x)=x(e*-/).

⑴若曲线y=/(x)在X=-1处的切线与了轴垂直，求y=/(X)的极值.

⑵若/(X)在(0,+8)只有一个零点，求a.

3.(2024・安徽芜湖•模拟预测)已知函数〃x)=e=lnx+x2-ax(aeR).

⑴当。=0时，求函数/⑴在x=l处的切线方程；

⑵若函数至多一个零点，求。的取值范围.

4.(2024•青海海西•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+3-3.

X

(1)讨论函数〃X)的单调性；

(2)若函数/(x)有且仅有两个零点，求实数。的取值范围.

5.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(力=口-1)/-如2,aeR

⑴当。=］时，求的单调区间；

⑵若方程/(x)+a=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

6.(2024•浙江温州•一模)已知=(x>0).

⑴求导函数/''(X)的最值；

⑵试讨论关于x的方程/卜)=丘(4>0)的根的个数，并说明理由.

7.(2024・全国•模拟预测)已知函数=的图象在点(0J(0))处的切线方程为2x+y+l=0.

ax+b

⑴求a,方的值;

(2)若/(乃二—有两个不同的实数根，求实数加的取值范围.

2x-l

8.(2024・山东烟台•三模)已知函数/'(x)=x+ae*(aeR).

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)当。=3时，若方程，/、\=加+1有三个不等的实根,求实数小的取值范围.

9.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数/(x)=x3-ox+2,aeR.

⑴若％=-2是函数/(x)的极值点，求。的值，并求其单调区间；

⑵若函数/(x)在1,3上仅有2个零点，求。的取值范围.

10.(2024•福建宁德三模)已知函数/(x)=acosx-eZ(aeR)的图象在x=0处的切线过点(-1,2).

⑴求/(X)在［0,可上的最小值;

⑵判断一(X)在,o］内零点的个数，并说明理由.

考点七、利用导数研究双变量问题

1.(22-23高二下•四川凉山•期末)已知函数/(x)=lnx-4%-6.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(x)W0恒成立，求2的取值范围.

a

2.(2024IWJ二•全国,专题练习)已知函数/(x)=-QX?+ax-lnx(aeR).

⑴求函数/'(x)的单调区间；

(2)若函数有两个极值点再，三(演<三),求证：+31n2.

3.(2024・四川德阳•二模)已知函数/(无)=lnx+无2-2ax,aeR,

⑴当a>0时，讨论〃x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点玉尼(玉<七)，求2/(占)-/(%)的最小值.

4.(23-24高三上•河南周口•期末)已知函数〃x)=cosx-加/(加eR).

⑴若〃x)在，，，上单调递减，求加的取值范围；

1JT

(2)若加=——,求证：/(%)>-；

714

⑶在(2)的条件下，若方程〃x)=《x>0)两个不同的实数根分别为多，花，求证：。</'(芭+%)<2.

5.(23-24高三上•福建福州•期中)已知函数〃尤)=。山工-云-：(工>0,"0),J'(x)为“X)的导函数.

⑴当a=1时，讨论函数〃x)的单调性

(2)己知X],X2e(0,+co)(x产/)，若存在beR,使得次(石)=/(3)成立,求证：f'(x^+f'(x2)>0.

6.(23-24高三下•北京•开学考试)已知/(司=5+1)/,左片0.

⑴若左=1,求“X)在(0,〃0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；

(3)求证:当％>0时，Vm,ne(0,+oo),/(m+«)+l>/(m)+/(«).

7.(2024•安徽阜阳•一模)已知函数〃无)=3hw-亦.

⑴讨论/(x)的单调性.

⑵已知外,三是函数〃x)的两个零点(占.

(i)求实数。的取值范围.

(ii)是的导函数.证明：r[2x,+(l-2)x2]<0.

8.(2023•浙江嘉兴•二模)已知/(x)=e',g(x)=hw.

⑴若存在实数。，使得不等式/(x)-g(x)N〃a)-g(a)对任意xe(0,+8)恒成立,求/⑷遭⑷的值;

占-x2

①存在尤0«尤”马)，使得g=x(re'°成立;

〃再)+/(xJ

②片一后2<

9.(2023・全国•模拟预测)已知函数/(无)=匕詈.

⑴设函数g(x)=卢-」化>0),若/(x)Wg(x)恒成立，求上的最小值；

KX

(2)若方程/(x)=m有两个不相等的实根不、%2,求证：土+选一(In，").

x2司m

10.(2023•天津河西•模拟预测)已知函数〃x)=Hnx+e(左eR).

⑴若函数V=/(x)为增函数，求上的取值范围;

(2)已知0＜再＜%.

(ii)若之=孕=左，证明：

考点八、利用导数解决隐零点问题

1.(2024・浙江丽水二模)设函数〃x)=eX-ln(x+o),aeR.

⑴当°=1时，求函数/(x)的单调区间；

(2)若对定义域内任意的实数x,恒有求实数。的取值范围.(其中e^2.71828是自然对数的底数)

2.(22-23高三上•天津•期末)设函数〃x)=lnx-ga%2,8(无)=/一/，a,beR,已知曲线y=/(x)在点

(1J(D)处的切线与直线x-y+l=0垂直.

⑴求a的值；

(2)求g(x)的单调区间；

⑶若仔(x)+6x4xg(x)对於e(0,W)成立，求6的取值范围.

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)e，-

⑴讨论函数〃x)的极值点个数；

(2)当•>()时，若实数4三满足/(xJ=〃X2),证明：

4.(2023•江西•模拟预测)已知函数〃x)=6/+x-Hnx-l,且曲线丁=〃x)在点x=1处的切线的斜率为

12.

⑴求“X)的单调区间；

(2)证明：Vx>0,有/'(x)+x>4/恒成立.

5.(2024•山东枣庄•一模)已知〃x)=Inx+go/+x,aeR.

(1)讨论)(x)的单调性；

(2)若Vxe(0,+ooj,/,(x)+ax+\<+—ax+\^,求a的取值范围.

6.(2024・北京朝阳•一模)已知函数/(无)=(l-*e'SeR).

⑴讨论f(x)的单调性;

(2)若关于x的不等式>a(l-x)无整数解，求a的取值范围.

7.(2024・海南•模拟预测)已知函数/(x)=2e*-2",aeR.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若不等式/(x)>x2+a2对任意x6(0,+8)恒成立，求a的取值范围.

8.(2024•山东•二模)已知函数/(x)=a2xe*-x-lnx.

⑴当。=七时，求〃x)的单调区间；

(2)当a>0时，f(x)>2-a,求。的取值范围.

9.(2024・辽宁抚顺•一模)已知函数/(x)=xe*M-办2-2G.

⑴当a=g时，判断/(x)的单调性；

⑵若xe(O,+w)时，/'(xT)21+lnx-x恒成立，求实数。的取值范围.

10.(2024・辽宁・一模)已知函数〃x)=blnx,g(x)=x2+ax(其中a,b为实数,且b>0)

⑴当a=-l时，〃x)4g(x)恒成立，求6；

⑵当6=2时，函数G(x)=〃x)-g(x)有两个不同的零点，求。的最大整数值.(参考数据：In；亡0.223)

考点九、利用导数解决极值点偏移问题

115e

L(2024高三•全国•专题练习)设函数/(x)=e=]ex2-§(》-1)3+万户€[0,+8).

⑴判断函数/(x)的单调性；

(2)若再*々，且/(xj+/(x2)=6e,求证：再+%<2.

2.(22-23高三上•辽宁丹东■期末)已知函数/(无)=e*-xlnx+尤2-冰.

⑴证明：若aWe+1,则/(x)20；

(2)证明：若/(x)有两个零点X1,%2,则网》2<1.

3.(23-24高二下•云南•期中)已知函数〃x)=31nx+G2-4x(a>0).

⑴当a=1时，讨论〃x)的单调性；

(2)当a时，若方程/(无)=6有三个不相等的实数根X”%，%,且再<々<当，证明：W一再<4.

4.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数"x)=2xlnx-x2+l.

⑴证明：/(%)<1；

(2)若0<玉<%,且/(占)+/(%2)=0，证明：再+无2>2.

5.(22-23高三上・江西吉安,期末)已知函数/'(x)=3ahix-(a-3)x,aeR.

⑴当”=1时，求曲线g(x)=〃x)-31iu-siiu在xg处的切线方程；

(2)设不&是〃(x)=/(x)-(3a-2)lnx-3x的两个不同零点，证明：a(x1+x2)>4.

6.(22-23高三上•山西•阶段练习)已知函数〃x)=ax2+(a-2)x-lnx(aeR).

(1)讨论“X)的单调性；

2

(2)若/(x)有两个零点X1,三,证明：xt+x2>-.

a

7.(23-24高三上•河南•阶段练习)已知函数/(x)=(x-2乂e'-ax)(aeR).

⑴若。=2,讨论“X)的单调性.

(2)已知关于x的方程/(x)=(x-3)e，+2"恰有2个不同的正实数根不用.

(i)求。的取值范围；

(ii)求证：玉+%2>4.

8.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数(aeR).

⑴求g(x)的单调区间;

(2)若函数〃x)=g(x)+(a+l)x2-2x,%,%(0<玉<%)是函数/仁)的两个零点，证明：/'［七三］<。.

9.(23-24高三上•天津和平•阶段练习)已知函数=a为实数.

2

⑴当时，求函数在x=l处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间；

⑶若函数〃X)在x=e处取得极值，/'(X)是函数〃尤)的导函数,且津(再)=/'(切,再<赴，证明：

2<x1+x2<e.

10.(2023•辽宁阜新•模拟预测)已知函数/(x)=e*+办

⑴若a=-2时,求的最值；

(2)若函数g(x)=/(x)-g尤②，且三,三为g(x)的两个极值点，证明：g(^)+g(x2)>2

考点十、导数与其他知识点杂糅问题

1.(2024・河北•三模)现随机对N件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的

概率均为0(0<0<1).

⑴当N=20时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为/(p),求/(P)的最大值点4；

(2)若这N件产品中恰好有M(OWMWN)件不合格，以(1)中确定的为作为〃的值，则当M=45时，若以

使得尸(M=45)最大的N值作为N的估计值，求N的估计值.

2.(高二•全国•课后作业)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一

种名为“刍薨"的五面体."刍薨"字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上

部屋顶和下部主体两部分组成.如图2,屋顶五面体为刍薨"，其中前后两坡屋面尸E和CZ）即是全等的

等腰梯形，左右两坡屋面区4。和E8C是全等的三角形，点尸在平面NBCD和8C上射影分别为〃，M,己

知//M=5m,SC=10m,梯形N8FE的面积是AFBC面积的2.2倍.设NFMH=Q*

（1）求屋顶面积S关于。的函数关系式.

（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为上小＞0）,下部主体造价与其高度成正比，比例系

数为16h现欲造一栋总高度为6m的别墅，试问：当。为何值时，总造价最低？

3.（2023•浙江•一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略,

混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的

人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为目前，

我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数/（X）=2+G,这里X指该组样本N个人中患病毒的人

数.

⑴证明：E[f（X^＞24p-N；

（2）若0＜0＜1。7,10WKW20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人

为阳性.

4.（2023・河北•模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练

第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练

上一次是传给某运动员，则这次有《的概率再传给该运动员，有彳的概率传给另一位运动员.已知教练第一

次传给了甲运动员，且教练第"次传球传给甲运动员的概率为P,.

⑴求02，。3；

（2）求外的表达式；

⑶设/证明：Z（qH「G）（sins+]-sin0）＜3.

i=\'

22

5.（2024•福建福州•模拟预测）点尸是椭圆E：0+4=1（a＞匕＞0）上（左、右端点除外）的一个动

ab

点，片（-c,o）,B（c,0）分别是£的左、右焦点.

（1）设点尸到直线/：尤=式的距离为d,证明啕为定值，并求出这个定值；

cd

(2)△尸耳玛的重心与内心(内切圆的圆心)分别为G,I,已知直线/G垂直于x轴.

(i)求椭圆E的离心率；

(ii)若椭圆E的长轴长为6,求△代工被直线/G分成两个部分的图形面积之比的取值范围.

6.(2024・湖南岳阳•三模)已知。8C的三个角42,C的对边分别为且c=26,点。在边8c上，AD

是/9C的角平分线，设AD=kAC(其中人为正实数).

⑴求实数上的取值范围；

⑵设函数/(x)=gax3-g/+cx-g

①当上=侦时，求函数，(x)的极小值；

3

②设%是/(x)的最大零点，试比较％与1的大小.

7.(2024・全国•二模)如图，过点。(1,6)的动直线/交抛物线C:/=2"(p>0)于42两点.

(1)若。8。求C的方程；

(2)当直线/变动时，若/不过坐标原点。，过点48分别作(1)中C的切线，且两条切线相交于点“，问:

是否存在唯一的直线/,使得乙4MD=/BMD?并说明理由.

8.(2024•山东青岛•三模)已知O为坐标原点，曲线/(x)=diu在点尸(1,0)处的切线与曲线

g(x)=ex+b在点。(0,1+6)处的切线平行，且两切线间的距离为亚，其中b>0.

⑴求实数a,b的值；

(2)若点M,N分别在曲线y=f(x),y=g(x)上，求ZONP与ZOMQ之和的最大值；

⑶若点4B在曲线y=/(x)上，点C,D在曲线y=g(x)上，四边形ABCD为正方形，其面积为

s,证明:S>21G£|

附:In2=0.693.

9.(2024•福建泉州•模拟预测)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每

个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉

下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块.....第〃块,

将前迨=1,2,3,…,n)块铁块视为整体，若这部分的重心在第i+1块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的

上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第〃块比第〃+1块向桌缘外多伸出的部分的最

大长度为则根据力学原理，可得且｛,｝为等差数列.

a

4n

1第1块

a?\,甲第3..块

a\力第4块

3词二3^5块

俾九块

［第”+1块

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵记数列｛风｝的前〃项和为

①比较S”与fn("+l)的大小；

②对于无穷数列｛尤“｝,如果存在常数A,对任意的正数£,总存在正整数乂，使得氏-/|<£,

则称数列打“｝收敛于A,也称数列｛七｝的极限为A,记为J亶匕="；反之，则称｛%｝不收敛.请根据数列

收敛的定义判断｛5｝是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题.

丫3

10.(2024•重庆渝中•模拟预测)(1)证明：当x>0时，x---<sinx<x；

6

(2)已知正项数列｛4｝满足%+I=%-华(〃eN*).

(i)证明：数列｛"%｝为递增数列；

r-3al

(ii)证明：若0<%<g,则对任意正整数"，都有"对<一？.

3-a1

考点十一、利用导数研究函数新定义问题

1.(2024•山西•三模)微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具,

其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：

如果函数/(x)在闭区间上连续，在开区间(。))可导，导数为/(X),那么在开区间(。,方)内至少存在一

点。，使得/'(c)=/(?一"")，其中c叫做/(刈在上的"拉格朗日中值点".已知函数

b-a

/(%)=("丁2Inx+/(x-4)e*:/+1勺斗/.

(1)若a=-l,b=0,求函数/⑴在［1,7］上的"拉格朗日中值点"看；

(2)若。=-1*=1,求证:函数/⑴在区间(0,+8)图象上任意两点A,8连线的斜率不大于18-e-6;

(3)若a=l,6=T,Vxi，X2，X3e(J,l],且无]<工2<^，求证:，02)/(%)>、(三)'伍).

14)x2-Xjx3-x2

2.(2024,广东•二模)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数/'(x)在闭区间

上的图象连续不断，在开区间内的导数为了'(X),那么在区间6)内存在点。，使得

/伍)一〃a)=〃c)伍-0)成立.设〃x)=e，+x-4,其中e为自然对数的底数，e»2.71828.易知,f(x)

在实数集R上有唯一零点「，且re(l,|).

⑴证明：当xe(r/+g)时，0</(%)<1;

⑵从图形上看，函数/(x)=e、+x-4的零点就是函数/(x)的图