圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 2025年高考数学基础专项复习

第八章平面解析几何2025年高考数学专项复习第三节圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系目录圆的方程壹直线与圆的位置关系贰圆与圆的位置关系叁与圆有关的最值问题肆圆的方程壹教材知识萃取1.圆的定义与方程教材知识萃取

教材知识萃取

教材知识萃取方法技巧求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.待定系数法教材知识萃取方法技巧求与圆有关的轨迹问题的4种方法1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.3.几何法：利用圆的几何性质列方程.4.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.教材素材变式

A

B

B

C

直线与圆的位置关系贰教材知识萃取

位置关系相离相切相交图形

教材知识萃取位置关系相离相切相交公共点个数012判定方法代数法几何法①______②______③______

续表教材知识萃取常用结论与圆的切线有关的结论

教材知识萃取方法技巧直线与圆的位置关系的判断方法几何法代数法点与圆的位置关系法若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.注意

在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.教材知识萃取方法技巧求解圆的弦长问题的方法几何法代数法教材知识萃取

教材知识萃取

几何法代数法注意

在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．教材知识萃取

教材素材变式

ABD

D

几何法代数法

A

3

D

ABC

圆与圆的位置关系叁教材知识萃取

位置关系外离外切相交内切内含图形

公共点个数01210教材知识萃取位置关系外离外切相交内切内含④__________⑤_________________公切线条数⑥___⑦___⑧___10

432续表教材知识萃取

教材知识萃取方法技巧两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.教材知识萃取规律总结圆系方程同心圆系方程教材知识萃取方法技巧两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.教材素材变式

C

DA.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解题关键

破解此题的关键：一是定位置，即能判断两圆的位置关系，一般先把两圆的圆心距求出，再与两圆的半径和、差进行比较，即可判断两圆的位置关系；二是会用几何法，即会利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程；三是“草图不草”，在作圆时，若用尺规作图，就能很快找到解题的通路.

A

A

A

与圆有关的最值问题肆教材知识萃取方法技巧与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略1.利用几何性质求最值借助几何性质求与圆有关的最值问题时，常根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.（1）最小圆（圆的面积最小）问题，转化为求半径最小值问题；（2）圆上的点到圆外的点（直线）的距离的最值，应先求圆心到圆外的点（直线）的距离，再加上半径或减去半径求得最值；教材知识萃取

教材知识萃取2.建立函数关系求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.

教材素材变式

B