人教 九下 数学 第28章《解直角三角形》课件

28.2解直角三角形及其应用第二十八章锐角三角函数28.2.1解直角三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2解直角三角形解直角三角形的类型与解法知识点解直角三角形知1－讲11.解直角三角形的定义一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.知1－讲特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元

素，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知1－讲深度理解1.已知两个角不能解直角三角形.若只有角的条件，则三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.2.已知一角一边时，角必须为锐角，若已知的角是直角，则不能求解.知1－讲2.解直角三角形的常用关系式元素关系图示三边之间的关系a2＋b2＝c2(勾股定理)两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°边、角之间的关系知1－练例1根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和

斜边.A.②③

B.②④

C.只有②

D.②④⑤知1－练解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.解：①③④⑤能够求解，②不能求解.答案：C知1－练1－1.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种：(1)已知两条边：一_______边和一________；两_______.(2)已知一条边和一个锐角：一_______和一_______；________和一_______.直角斜边直角边直角边锐角斜边锐角知2－讲知识点解直角三角形的类型与解法2图形已知条件解法Rt△ABC两边两直角边斜边、一直角边(如c，a)知2－讲图形已知条件解法Rt△ABC一边和一锐角一直角边和一锐角一锐角与邻边(如∠A，b)一锐角与对边(如∠A，a)一锐角与斜边(如∠A，c)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA续表知2－讲注意解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算.知2－讲活学巧记口诀记忆法：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.知2－练

例2思路引导：知2－练

知2－练

思路引导：知2－练

知2－练

知2－练知2－练根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝30°，b＝12；思路引导：例3知2－练

知2－练(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝60°，c＝6.思路引导：知2－练

知2－练思路点拨：紧扣以下两种思路去求解(1)求边时，一般用未知边比已知边(或用已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数(或用90°减去已知锐角的度数).知2－练3－1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝20，∠A＝45°；(2)a＝8，∠A＝60°．知2－练知2－练

例4解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.知2－练

知2－练教你一招:构造直角三角形解非直角三角形的方法通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解.知2－练4－1.如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则sin∠ACB＝_______，BD＝_______．知2－练4－2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，则△ABC的周长为_____________.解直角三角形定义条件解直角三角形依据三边关系两锐角关系边角关系题型利用解直角三角形求线段的长1

例5

思路引导：

解题通法解非直角三角形的方法：运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高，构造直角三角形，然后利用已知条件分别解这两个直角三角形，即可得出要求的值.题型利用解直角三角形求角的度数2

例6解题秘方：将求正方形旋转的度数问题转化为求直角三角形中角的度数问题.

知识储备图形旋转的性质：旋转过程中，对应点到旋转中心的距离都相等；图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度，任意两组对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心在图形上时，它是唯一不动的点.特别解读本题把求旋转角的度数问题转化为求Rt△CBE中角的度数问题，进而根据解直角三角形的相关知识求解，体现了转化思想的应用.题型利用解直角三角形求面积3[中考·日照]如图28.2－4，□ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．例7解题秘方：连接平行四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题进行求解．(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．

技巧点拨作辅助线的技巧：解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时注意：1.尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角；2.尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解.题型利用解直角三角形解决与圆有关的问题4

例8解题秘方：利用圆的切线的判定和解直角三角形解题．(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠BOD＋

∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD⊥

AB．又∵

OD是⊙

O的半径，∴直线AB与⊙

O相切．

技巧点拨证明切线的方法通常是“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”，本题利用了“连半径，证垂直”，比较常规．本题第(2)问中求线段的长充分发挥了解直角三角形的优势，对于求AC的长，也可以利用相似三角形的性质，但稍微繁琐一点．如图28.2－6，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，斜边AB＝1.若OC∥

BA，∠AOC＝36°，则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°例9易错点弄错直角三角形中各元素的对应关系而致错1错解：D正解：在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，即BO⊥AO，∴点B到AO的距离就是BO的长.∵

OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝∠AOC＝36°.∴根据锐角三角函数的定义得BO＝AB·sin36°＝sin36°，故A，B选项错误.如图28.2－6，过A作AD⊥OC于点D，则AD的长就是点A到OC的距离.∵∠BOA＝90°，∠BAO＝36°，∴∠ABO＝54°.根据锐角三角函数的定义得AD＝AO·sin36°，AO＝AB·sin54°＝sin54°，∴

AD＝sin36°·sin54°.答案：C诊误区：在直角三角形中，所用的锐角不同，则同一条边的表示方法也不同.错解没有找准合适的三角函数，弄错了各元素的对应关系.在解决此类问题时，一定要找准对应关系，再列式求解.

易错点当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错2例10

诊误区：在解非直角三角形问题时，若已知两边及一边的对角(锐角)，但题目中没有给出图形，我们要进行分类讨论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了钝角三角形的情况.本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况.错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ABC为钝角三角形的情况.[中考·浙江]如图28.2－9，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．考法利用解直角三角形求线段的长1例11试题评析：本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键.(1)求BC的长；

(2)求sin∠DAE的值．

考法利用解直角三角形解反比例函数问题2例12试题评析：本题考查反比例函数和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于中考常考题型.

[中考·宜宾]如图28.2－11，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥

BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD．考法利用解直角三角形求圆中的线段长3例13试题评析：本题主要考查了切线的判定、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键.(1)求证：AE是⊙O的切线；证明：如图28.2－11，连接AO并延长交BC于点F，连接OC，则OB＝OC.∵

AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∴∠FOB＝∠FOC，∴

OF⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵

AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，即AE⊥

OA.又∵

OA是⊙O的半径，∴

AE是⊙O的切线．

B

C

C

B

5