第二章-控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型数学模型是描述系统中各变量之间关系的数学表达式。稳态数学模型和动态数学模型

控制系统在稳态工作条件下，描述变量之间关系可用代数方程，称为稳态数学模型。考虑系统暂态研究，描述变量之间关系用微分方程，称为动态数学模型。机理分析法和实验辨识法——建立数学模型的两种方法1.机理分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理、化学及各种科学规律，列写相应的运动方程，例如，力学中的牛顿定律，电学中的基尔霍夫定律等。2.实验辨识法是有目的地对被测系统施加某种测试信号，测出相应的输出数据，再根据输入输出的实验数据，用某种数学方法进行数据处理，拟合出与实际系统比较接近的数学模型。这种方法称为系统辨识。2．1控制系统微分方程的建立

（线性定常系统机理分析法）一、列写微分方程的一般方法

1．明确系统的输入量、输出量，列写的微分方程描述的是系统的输出与输入间关系。

2．由入到出依次按机理建立各元件（环节）的数学关系式。

3．按各元件组合方式，消去中间变量，导出只含有输人变量和输出变量的系统微分方程。

4．整理微分方程，使其规范化，将输出项放到方程左侧，输人项放到方程右侧，各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。2．1控制系统微分方程的建立二、举例例1：已知RLC电路系统如图所示，试列写其输入—输出之间的微分方程。2．1控制系统微分方程的建立例2：带阻尼的弹簧系统(k-m-f)，输入力x,输出位移y

，试列写系统的微分方程。外压力-弹簧拉力-阻尼力

=质量块加速度2．1控制系统微分方程的建立例3：建立他激直流电机运动方程，电机供电如图所示。ua

为电枢两端供电电压；ia

为电枢电流；ω为电机旋转角速度；L、R分别为电枢回路电感和电阻；ed

为电枢两端反电势;M为电机的电磁力矩；ML为折合到电机轴上总的负载转矩;J为电机轴上总的转动惯量；

If为激磁电流，不变；kd为电势常数；km为电机电磁力矩常数。2．1控制系统微分方程的建立——例3解ua为给定输人，ML为干扰输人，ω为输出。据KVL电枢回路方程：据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：当激磁磁通不变时，M与ia

成正比:2．1控制系统微分方程的建立——例3将各式联立，

消去中间变量M、ed、ia可得：Ta

：电磁时间常数Tm：机电时间常数输出转速ω既受ua控制，又受到ML

的影响。相当于具有两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。如果忽略电枢电阻R和电动机转动惯量J，则Tm=0。上式可变为ω=cd

ua此时，电动机转速与电枢电压成正比。2．1控制系统微分方程的建立三、系统的稳态数学模型

由直流电机例分析如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。此时微分方程变成代数方程，即此式称为系统的稳态数学模型。

在平衡状态下，对应的各变量值称为稳态工作点，分别表示为则代数方程可为2．1控制系统微分方程的建立——系统的稳态数学模型四、以平衡状态为基础的微分方程增量表达式增量表达式方程中变量是以平衡状态下相应的工作点为基准变化的。例：可导出习惯上可将△号省掉，而表示为。该系统稳态特性可分别由机械特性曲线（当ua为常数时，ω与ML的关系曲线）和控制特性曲线（当ML

为常数时，ω与ua的关系曲线）来表示。2．1控制系统微分方程的建立五、非线性系统局部线性化处理2．2拉普拉斯变换及其应用（数学基础）拉普拉斯（Laplace

）变换（简称拉氏变换）拉氏变换将时域问题转化为复数域问题。（t）→(s),s是复变量，s=σ+jω。采用拉氏变换的好处：⑴简化运算①将微积分运算转化为代数运算；②大大简化微分方程的求解过程。⑵开辟了研究控制系统的方便途径2．2拉普拉斯变换及其应用一、拉氏变换的定义拉氏变换:通常称F(s)为f(t)象函数，而f(t)为F(s)的原函数。拉氏反变换：2．2拉普拉斯变换及其应用二、几个常用函数的拉氏变换

1．阶跃函数2．单位斜坡函数

2．2拉普拉斯变换及其应用——几个常用函数的拉氏变换

3．等加速度函数4．指数函数e-at2．2拉普拉斯变换及其应用——几个常用函数的拉氏变换

5.正弦函数sinωt

6.余弦函数cosωt2．2拉普拉斯变换及其应用三、拉氏变换的几个重要运算定理1.线性定理2.微分定理

2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理

3.积分定理若f(t)n重积分，各重积分在t=0的值为0时，2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理

4．位移定理⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）该定理又称延迟定理。⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理

5．终值定理6．初值定理7．卷积定理X(s)=L[x(t)]G(s)=

L[g(t)]函数x(t)和g(t)卷积为则它的拉氏变换为卷积定理表明，时域两函数卷积的拉氏变换等于复域象函数的乘积。2．2拉普拉斯变换及其应用四、拉普拉斯变换应用举例函数拉氏变换中积分与反演积分运算很复杂，为方便应用，事先将绝大多数典型函数拉氏变换做成表格，实际使用时，只需查表及运用拉氏变换的几个重要运算定理即可。例：已知函数，求其象函数

2．2拉普拉斯变换及其应用五、拉氏反变换1.思路（方法）这里F(s)是s的有理分式函数，由线性定常系统得到。采用部分分式法分解成部分分式之和，再用公式进行拉氏反变换。（不研究一般意义拉氏反变换）若si不重复，则：2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

2．si

和ci的求法（无重根情况下）可以解方程A(s)=0求出si（若si不重复，即A(s)无重根）2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

举例例1:解：A(s)=0的根s1=-1,s2=-22．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

3.A(s)=0有重根例题2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

一般重根待定系数cm…c1可按下面计算公式求得2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏反变换

单根部分分式的待定系数，可按前式同样求得。2．2拉