河南省郑州市某中学2024-2025学年高二年级上册9月月考 数学试题（含答案）

2024—2025学年郑州市宇华实验学校高二(上)9月月考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位

号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

-L+.L

1.已知。>°、b>0,。+26=4,则a+12,的最小值为()

24

A.2B.4C.5D.5

log1(a-l)<log1(ft-l)

2.已知§3,则下列说法一定成立的是()

i>i

A.abB.12022J12021J

C.ln(a-b)>0D.若就万，则点C在线段4s上

i23

f(x)=----+——+-----1(0<a<b<c)

3.定义函数x-ax-bx-c,设区间(外刀的长度为“一",

则不等式/(“)>°解集区间的长度总和为()

A.5B.6C.a+b+c+5D.a+b+c+6

4.口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个

球，事件A表示“取到的是红球”，事件8表示“取到的是白球”，事件C表示

“取到的是黄球”，则()

AP(AuB)=lB.事件48，C可能同时发生

C.7与否互斥D.事件N与事件8不相互独立

71

5.已知二面角"-/一尸的大小为2,其棱/上有43两点，NG30分别在这个二面

角的两个半平面小夕内，且都与垂直，已知4B=1,AC=6,BD=2,贝汁

CD=（）

A.2B.&C.^3D,

f（x）=cosfnjf-—（weN,

6.若函数.I4八，在188」上单调递减，则满足条件的〃的个数

为（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知在O8C中，满足点。在/c边上，且此平分//灰?,

6=26,则8。的最大值为（）

A.3B.1C.V3D.4

8.复数Z=i+2i2+3i3+xxx+2024i2°24的虚部是（）

A.1012B.1011C.TO"D.T012

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2

个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.下列选项正确的是（）

A.命题“女>0,x'+x+GO”的否定是Vx<°,x2+x+l<0

B.满足｛1仁”［｛123｝的集合〃的个数为4

C.已知工=吆3,V=lg5,贝！jlg45=2x+y

D.已知指数函数/6）=优（。>0且"1）的图象过点（2"）,则log”收=1

/（x）=sin2x+—g（x）=cos2x+—

10.已知函数I3九I6Jt则下列说法正确的是（）

A.V=/（x）的图象关于点［12'0］对称

715兀

B.g«）在区间L5'6」上单调递增

71

C.将g（x）图象上的所有点向右平移％个单位长度即可得到/（龙）的图象

D.函数"x）="x）+g（x）的最大值为出

f（x）=sin+—+sincox--+coss（0>0）

11.已知函数I6JI6J,则下列结论正确的有

A.将函数y=2sin@x的图象向左平移石个单位长度，总能得到、=/（x）的图象

B.若。=3,则当「9」时，/CO的取值范围为[，2]

C.若"龙）在区间（°2兀）上恰有3个极大值点，则6＜（°~6

D.若“龙）在区间13'12）上单调递减，贝u-0-y

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

以2

12.已知幕函数＞=/1）的图像过点（4J,且当xe[l,+oo）时，恒有3/（》）＜加_2》

则实数a的取值范围为.

13.已知直四棱柱46'-//功02的棱长均为2,/物氏60°.以〃为球心，括为

半径的球面与侧面67的为的交线长为________.

14.如图，两个正方形ABCD,CDEF的边长都是2,且二面角/一。。一£的大小

为60。，M,N分别为对角线/C和尸。上的动点，且满足AM=FN,则线段MN

的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

f（x^=x+--—a（aeR）

15.（13分）已知函数x2'＜

⑴若,（X）在（°，+8）上的最小值为-2,求4的值；

（2）若函数恰有3个零点，求。的取值范围.

16.（15分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介

于口5,25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下

图所示.

上频率/组距

0.075----

%51719212325高福/切

(1)求。的值；

⑵若从高度在口517)和口7,19)中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株,

记高度在口517)内的株数为才，求X的分布列及数学期望E(X)；

(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在

[21,25]的概率.

17.（15分）在中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,

.B+C75,._75.

csin---=——osm2C+——csinCrcosBD

242

(1)求sin/的值；

7?

/T/ABD=—

⑵如图，”6J5,点。为边/c上一点，且2DC=5D8,2,求

“8C的面积.

18.(17分)如图，已知四棱台/8CZ)-的上、下底面分别是边长为2和

4的正方形，平面山刀人,平面46切，4"=2。=，过，点?是棱的中点,

点。在棱BCh.

⑴若BQ=3QC,证明：PQ〃平面/期4；

（2）若二面角尸一纱一”的正切值为5,求60的长.

/（x）=/sin（0x+0）/>0,口〉0,附〈女

19.（17分）函数I2J的部分图象如图所示.

（1）求函数/（X）的解析式；

71

（2）将函数/（X）的图象先向右平移了个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的

1G兀兀

2（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在112'%」上的最大值和最

小值；

71兀

（3）若关于x的方程gOO一加二°在L12'%」上有两个不等实根，求实数机的取值

范围.

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】因为。>°、b>0,“+26=4,所以S+l)+26=5,

---------1------

所以a+12bQ+12b

6/+12b6Z+12b4

=-2+---------1---------

52ba+1,2bQ+15

a+12b3

当且仅当2ba+124时取等号,

-------十一

所以0+12b的最小值为5.

故选D.

2.【答案】B

6Z—1>0

6-1>0

log(a-l)<log(Z>-l)

11即

【解析】因为330>b>i.

一<丁

所以“b,故A错误；

因为(20221在R上单调递减，且所以12022)U022；；

又b>l,所以y=在(0，+°°)单调递增，所以(2022J<[2021),

所以-(2022JU021JT,故B正确；

因为a>b>l,所以a-6>0,当0<0-6<1时，ln(a-6)<0,

当°-6>1时，ln("6)>0,故c错误；

又a>b>l,所以仍>1,由就=必前可得点。在48延长线上，故D错误;

故选B.

3.【答案】B

【解析】

画出/（x）的图象，记/（X）的三个零点为再，迎外，

贝|J/（*）＞0解集区间的长度总和为a_〃）+（工2-b）+（毛—°）=（再+%+%3）—（〃+"。）,

(、(x-b^(x—c)+2(x-a^(x-c)+3(x—a^(x-(x—a^(x—b^(x-c)

通分得(x-«)(x-ft)(x-c)

,己P(%)=(x_b)(x_C)+2(X—Q)(X-c)+3(x-tz)(x-Z))-(x—a)(x-6)(x一0)①

〃(x)的三个零点为五,移3则。(X)=-(X-X|)(X-X2)(X-X3；^,

对比①②两式中i的系数得，l+2+3+(a+6+c)=x1+x2+x3；

所以区间长度总和(X|+X2+X3)-(a+6+c)=6.

故选B.

4.【答案】D

尸⑷=1号尸⑻=1="©=:尸(/8)=0

【解析】由己知可得

（（）（）（）

PIAVJB'\=P—A+P—B'-PIAB'=2-+-3-G=-6,A选项错误；

因为P（/8）=Q所以尸（加）=°,事件4员C不可能同时发生，B选项错误；

事件彳表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件豆表示“取到

的不是白球”即“取到的是黄球或红球”，

事件48可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，C选项错误；

P（/3）=0,尸⑷[/（BA:,因为P（AB）P（A\P（B'\

23,不等于尸⑷尸⑺，所以事件/与事件8不相

互独立，D选项正确.

故选D.

5.【答案】D

【解析】如下图所示，以HB、8。为邻边作平行四边形ABDE,连接CE,

因为8D_L48,AEHBD,则/E_LN8,

TT

，一行。,z,NCAE=-

又因为ZC,NB,ACca,/Eu£,故二面角a-/一/的平面角为2,

因为四边形N8DE为平行四边形，则AE=BD=2,DE=AB=1,

因为4C=/，故△ZCE为直角三角形，则CE=+2?=V6

因为DE/1AB,则。E_LNE,DE上AC,因为NCn/E=/,故。£1,平面/CE,

因为CEu平面/CE,则血CE,故。"=〃炉+"炉=J（@+F=g.

故选D

6.【答案】C

【解析】若〃=

兀，r兀，7兀

-<x<—0<2x--<-—W3x----<—<兀

若"=2或"=3,则对88有42,或848

所以"•'一々,""］,根据复合函数单调性知/（X）在8」上单调递减，满足条件;

弁型］=-1〈-也=力型］

若〃=4,则U6J218人所以/（x）不满足条件；

3n-2n-2n、n-2.3n-2

--------=—>1---<k<--------

若"25,则由884可知，存在正整数发满足88

左+左+

兀4左+13兀41141（）A

—<-------71<一-------71=cosfai=-1

此时84〃8,4及）44J

713兀

从而,（X）在8，-8"

上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件

综上，满足条件的有〃=2和"=3.

故选C.

7.【答案】A

【解析】因为ctan8=（2a-c）tanC,

sinCsinB_（2sin-sinC）sinC

由正弦定理，得cosBcosC,

由sinC>0,得sin6cosC=2sinAcosB-sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsmC=2sinAcosB,即sin（8+C）=2sin/cos8

因为5+。+4=兀，所以sin4=2sin4cosB,又sin4>0,

1兀

cosB=—B=—

所以2,因为0<5<兀，所以3.

B

由S&ABD+ScBD~S4ABe,

17rlJT1jr

—ABxBDxsin—+—BCxBDxsin—=—ABxBCxsin—

得262623,

BC^ABxBC

所以一AB+BC,在“BC中，由余弦定理得/笈+&?2_/外8。=12,

(AB+BCi-n(AB+BCi

ABxBC=-------L----<--------L

所以34

从而N8+BC44月，当且仅当N3=8C=2百取等号.

厂(AB+BCy-n

BD=--------=—(AB+BC)——<3

、-7

则AB+BC3'AB+BC,

当且仅当N8=8C=2G取等号，则AD长的最大值为3.

故选A.

8.【答案】D

【解析】Z=i+2i2+3i3+xxx+2O24i2024,

Zxi=i2+2i3+3i4+xxx+2O24i2025,

,024\

Zx(l-i)=i+i2+i3+xxx+i2024-2024泮25=X——I-2O24i2025

所以''>i，①

因为r=1,所以产4=户°6=1,i2025=i4'5°6+1=i,

-2024i-2024i'(1+i)-2024i+2024

=——1八=1012-1012i

所以化简①可得—(j)("i)2

所以虚部为T°12.

故选D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2

个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.【答案】BC

【解析】对于A,存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，

所以命题“太x2+x+l>0-的否定是V无>0,X2+JC+1<0,

故选项A错误；

对于B,满足｛1｝=Ml,2,3｝的集合〃的个数为23T=4,

故选项B正确；

对于c,x=lg3,y=lg5,所以Ig45=lg5+lg9=lg5+21g3=2x+y,

故选项c正确;

对于D,已知指数函数"x)=/(。＞0且"1)的图象过点G，4),

2.clog,5/2=一

所以a=4,a=2,所以2,故选项D错误.

故选BC.

10.【答案】BCD

兀.兀兀.7711

_71sin2x--1■一=sin—=1

【解析】对于A选项：将“一行代入，(无)，得121232

故V=/(x)的图象不关于点

对称，故选项A错误;

g(x)=cos2x+—c兀

I6t=2xH—

对于B选项：在，令6,贝°V=cos£,

715兀_兀7兀1171

xe2'6」，所以t=2xH--G

因为666

7兀1171

根据余弦函数图象可知＞=cost在166」单调递增，故选项B正确;

兀

对于C选项：将g(x)图象上的所有点向右平移％个单位长度,

可得到

g"7171兀c兀=sinf2x+jj=/(x)

cos2x+—=cos2x--=cos——+2x+一

6I623

故选项C正确;

71

〃(x)=/(x)+g(x)=sin2x+—+cos2x+—

对于D选项：36

.兀、(c兀)1.c也rV3_1..

所以力。)sm2x+—+cos2x+—sm2x+——cos2x+——cos2x——sin2xV3COS2X

362222

结合余弦函数的性质可知："X)=8COS2X"6,故选项

D正确.

故选BCD.

1L【答案】BC

兀兀

f(x)=sin6yxH—+sin—+coscox

【解析】由题可得66

V3.1V3.1

=——sincox-—coscox+——sina)x+—coscox+coscox=2sina)x+—

2222=V3sincox+coscoxI6

71

y=2sin力卜+看2sinCOX+—G)

对于A,V=2sinGx向左平移5个单位长度为I6.

,故

不一定能得到＞=/(x)的图象，A错误;

c兀71571

xe0,—3xH---Gsin3x+—G

L9」，则6'T[6J

对于B,0=3,6-，所以

B正确；

n717i71i

COXH---G—,兀H----

对C,由xe(0,2兀)可得6(666

9兀Ji13兀[1319

由了3在区间92兀)上恰有3个极大值点可得2<0，-2

C正

确；

兀5兀兀(DH715(07171

XG(OX+-&——+—,-----+—

对于D,3'12,则636126

因为/(x)单调递减,

5①71713兀…

-----+—<—+2H

1262

am兀、兀…T5TI兀717171

-----F—>—+2fai—之---------------—>——

所以362，左eZ,且212312即。12

\+6k<a)<~+—k

解得55左eZ,且°<。412,

a>e1,­]

当上=0时，L5」，当k=[时，。电r町，D错误

故选：BC.

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】(色+8)

口2」

【解析】因为幕函数尸/⑴的图像过点I4A所以4,解得：a=-2,所

以〃x)=x，

32

2q〉_____|---

所以3/(X)<G_2x在xe[l,+s)上恒成立可化为：/x在xe[l,+W)上恒成立.

32

gW=^+-,xe[l,+oo)>㈤

令XX，只需/max.

,Zx_122_zx32

；T

因为g(%)=X----x-g(%)，=~所"I以Ir'iX\x在[I,+8)上单减，

所以g(x)M=g(l)=3+2=5.

所以”>5.

所以实数a的取值范围为O-00).

故答案为：0'+°°).

V2

------71

13.【答案】2.

【解析】如图：

取8G的中点为E,'用的中点为尸，CG的中点为G,

因为/胡。=60°,直四棱柱力8c片GA的棱长均为2,所以△2jSG为等边

三角形，所以*=百，

又四棱柱NBC。-为直四棱柱，所以BB、1平面AXBXCXDX,所以^4,4G,

因为PI8G=耳，所以D.E1侧面BgCB,

设尸为侧面与球面的交线上的点，贝UDELEP,

因为球的半径为⑹*=6,所以=v^=血,

所以侧面4GC2与球面的交线上的点到E的距离为亚，

因为|斯HEG|=也，所以侧面4c08与球面的交线是扇形瓦7G的弧前，

ITTT

/B]EF=/C]EG=—ZFEG=-

因为4,所以2,

FG=-x42=—7r

所以根据弧长公式可得22.

V2

——71

故答案为：2.

2vg

14.【答案】方

【解析】由题意知，四边形ABCD,CDE厂都是正方形，

贝IJ5.DALDC,DELDC,

所以即为二面角/—CD—£的平面角，即N/DE=60。.

因为/〃=尸N,AC=DF,设/M=/UC,OOS1,

则DN=D下一五N=(1—QD尸，且4"=/14C,DN^^-^DF,

—>T—>—>

则MN=M4+AD+DN

=-^AC-DA-\-Q-X)DF

TT—>T—>

=%ZM—QC—£M+(1—QOC+(IT)DE

—>—>—>

=(-1)04—(24—1)DC—U—])DE,

则MN2=[Q—1)04-(24—i)0C-("I).DE]2

—»——>—>—»—»

=(2—1)2042+(22—1)282+("I)2OF2-2-(2-iyDA.DE

1

=4(2-1)2+4(22—l)2+4(2-1)2-2X4X2(2-1)2

=2（U2-24/1+8=20（'-$2+5,

3T4

当2=s时，MN2有最小值司

T2.

所以|MN|N可.

述

所以线段MN的最小值为亏.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.（13分）【答案】⑴。=4；（2）（°-°°）

【解析】（1）当时，"x）在（0,+8）上单调递增，所以/（x）不存在最小值；

「/、a3_I~a3_3

=

/（x।xH--------ci24/x--------a=2、a—a

当。〉0时，x2vx22,

所以2"一5”-2,解得”=一§（舍去）或6=2,故0=4；

即*/一|（0+1）忙―1|+”0忙-1卜0

3

人|2-1占,,?2--（«+1>+«=0（/>0）

令।।,则万程化为2,

画出"B'T的图象如图所示，

3

（\/_二（。+1）'+a=0（,#0）t

因为耿PY町恰有3个零点，所以2、有两个根L仇且

0<^<1</2

3

〃（/）=〃—+1），+a

记2,

A（0）=a>0

,11

/z（l）=——a——<0

贝IJ122，解得。>0,

综上，。的取值范围是（°，+8）.

e1

16.（15分）【答案】（1）。=°125；（2）分布列见解析，5.（3）2

【解析】（1）依题意可得（°,05+0-075+a+0.15+0.1）x2=l,解得。=0.125；

（2）由（1）可得高度在心⑺和［17,19）的频率分别为01和015,

所以分层抽取的5株中，高度在U，17）和［17,19）的株数分别为2和3,

所以x可取o,1,2,

C3i

P（X=O）=T=—

所以'/c；io,

2

C；C_3x2_3P（X=2）=r,3x13

p（x=l）=

1051010

所以X的分布列为:

X012

133

P

10510

E（X）=O

所以105105.

（3）从所有花卉中随机抽取3株,

记至少有2株高度在121,25］为事件M,

32

£

P（M）=X=

则I22Il

4

17.（15分）【答案】⑴5；（2）18

csm^^=—bsm2C+—csmCcosB

【解析】（1）因为242

sinCsin史三=—sin^sin2C+—sin2CcosB

由正弦定理可得242

sinCsinsinBsinCcosC+sin2CcosB

则222

sin=—sin5cosC+—sinCcosB

注意到。€（0,兀）,贝l]sinC>0,可得222

B+CitA

且八3+。=兀，则222,

71A

sin=（sinBcosC+sinCcosB）=sin（2+C）=sin（兀一/）

可得22

Ay/~5.rz.AA

cos一二——smZ=sm-cos一

则2222,

A

又因为/«°，无），则cos->0

,可知2

.AV5A

sin——=——cos—=

可得25,225

sin^=2sin-cos-=-

所以225

COS/1=2COS2--1=-

（2）由（1）可得:25，

冗AB54

ZABD=-AD=----=-cDB=AD-sinA=-c

因为2,在RtZ\4BO中，可得cosA3,3,

DC^-DB=~c

又因为20c=5D8,可得23,

贝ljb=/C=4D+OC=5c,

在“8C中，由余弦定理a2=/+c2-26ccos/,

gp180=25c2+c2-6c2=20c2,解得c=3,可知6=5c=15,

114

S.=—besin^=—xl5x3x—=18

所以2BC的面积ARC225

18.（17分）【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】（1）取“4的中点〃，连接版，MB,如图,

小A

在四棱台4sCA中，四边形4/。口是梯形，4〃=2,AD=4,

Mp=4。+"D=3

又点〃，户分别是棱44。”的中点，所以〃/。，且2.

在正方形/宛2?中，BC//AD2c=4,又30=3。。，所以8。=3.

从而MV/8Q且MP=8Q,所以四边形加0是平行四边形，所以PQ〃MB

又因为班u平面ABBA,P。仁平面/网4,所以PQH平面4BB\A\；