函数的单调性、奇偶性、对称性的应用（4大压轴考法）解析版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题15函数的单调性、奇偶性、对称性的应用

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、函数的单调性.........................................................2

题型二、函数的奇偶性.........................................................7

题型三、函数的对称性........................................................10

题型四、函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用.........................13

压轴能力测评(12题)..............................................17

X解题知识必备”

一、函数的单调性

(1)增函数：若对于定义域/内的某个区间。(。1/)上的任意两个自变量占、x2,当西<々时，都有

/(%)</(9)，那么就说函数/(%)在区间。上是增函数；

(2)减函数：若对于定义域/内的某个区间。(。1/)上的任意两个自变量占、x2,当西<々时，都有

/(%1)>/(x2),那么就说函数/(九)在区间。上是减函数.

二、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有/(-%)=/(X)，

偶函数关于y轴对称

那么函数了(%)就叫做偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=-f(x),

奇函数关于原点对称

那么函数/(%)就叫做奇函数

三、函数的对称性

(1)若函数y=/(叶。)为偶函数，则函数y=/(x)关于％对称.

(2)若函数y=f(尸Hz)为奇函数，则函数y=/(%)关于点伍，0)对称.

(3)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于％=a对称.

(4)若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数/(x)关于点(a，b)对称.

【常用结论】

1.奇偶性技巧

(1)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有『(0)=0；

(2)对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

2.对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(a+x)=f(a-尤).

(2)若函数了=/(尤)关于点(a,8)对称，贝！I/(a+x)+y(a-x)=2Z?.

(3)函数y=f(a+x)与y=f(a—x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=—/(a—x)关于原点对称.

”压轴题型讲练”

【题型一函数的单调性】

一、单选题

1.(23-24高一下•湖南•期中)定义在R上的函数”尤)满足对任意实数无,V都有/(x+y)=〃x)+/(y)-1,

若x>0时，/(x)>l,则〃x)()

A.先单调通减后单调递增B.在R上单调递增

C.在R上单调通减D.单调性不确定

【答案】B

【分析】利用函数单调性的定义即可判断.

【详解】任取西〈尤2，令x=%-玉,>=占，

则/(%)—/(%)=/(苍一看+再)一了(%)

=/(七一占)+/(%)一1一"占)=/(々-占)—1,

因为兀2-％1>。,

所以网)>1,

所以/(%)-

所以/(X)在R上单调递增.

故选：B.

2.(23-24高一上•天津•期中)若函数是定义域为R,且对V%,超eR，且％<尤?，有/(西)-/(々)<当-％1,

不等式〃尤)-〃2-x)+2x>2的解集为()

A.(-l,+oo)B.(0,+(»)C.(1,+co)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】读懂题意，能把7（%）-〃々）＜赴-玉变形为〃芯）+%＜/伍）+々，得出〃（x）=/（x）+x为单调递

增函数，再利用函数的单调性求解.

【详解】函数“尤）是定义域为R,且对％,%wR，且不＜々，有/（占）-〃%）。?-不，

即/（玉）+玉＜/（工2）+々，

.»（x）=/（x）+x为单调递增函数，

/（x）-/（2-x）+2x＞2,

整理得到：+x＞〃2—%）+2—x,

〃（x）=y（x）+*为单调递增函数，

:.x＞2—x

解得：X＞19

故选：C.

3.（23-24高一上.江苏常州•期中）已知函数〃元）=1+—；—，若对于任意都有

x-1+a

则。的取值范围是（）

玉一无2

A.（-oo,-l]u[0,+oo）B.[0,+oo）

C.（-1,0）D.（一8,-1）

【答案】A

【分析】根据函数单调性的定义，可判断了（司=1+^^在（1,2）单调递减，

再根据反比例函数的性质即可得到l-aW1或22,从而求出a的取值范围.

【详解】由任意1＜不＜%＜2,都有了（*）«红）＜0,知〃x）=l+—J—在（L2）单调递减，

xx—x2x-1+a

要使『（力=1+至先在（L2）单调递减，则1-或-2,即心。或aV-1.

故选:A.

4.（23-24高一下•河北石家庄•开学考试）定义在（0,+"）上的函数/（%）满足：对V4%2£（0，+8），且％=%，

都有优-尤2）匡〃百）f"当）]＞。成立，且"4）=2,则不等式上的解集为（）

-x2

A.（4,-KC）B.（0,4）C.（0,2）D.（2,+⑹

【答案】A

【分析】构造函数g（x）=£?,由单调性的定义可判断得g（x）在（0,+8）上单调递增，再将题设不等式转

化为g（x）＞g（4）,利用g（元）的单调性即可求解.

【详解】令g(x)=2O,

因为对％、x,G(0,+oc>),且占二马，都有(3-%)[%〃3)-%〃9)]〉。，即占尤2、0成立，

xl-x2

不妨设0〈玉〈尤2,则须一马<。，故为了(%)一玉/(々)<0,则丛义<£^,

石x2

即gq)<g(X2),所以g(元)在(0,+8)上单调递增，又因为“4)=2,所以g(4)=牛=1,

J_g(x)>gg(x)

故/皿>可化为⑷，所以由的单调性可得x>4，

x2

即不等式/区>-的解集为(4,+。).

x2

故选：A.

5.(2024.陕西西安.模拟预测)已知函数〃尤)的定义域为R,对任意实数x,y都有/(%+y)=+,

当尤>0时，/(%)>I,且/(2)=5,则关于x的不等式“x)+/(4-3尤)<6的解集为()

A.。收)B.(2,-H»)C.(fl)D.(9,2)

【答案】A

【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.

【详解】任取不<马，

从而于0)--(尤1)=7(尤2-玉+号)-/(项)

=/(工2一%)-1,

因为尤2-尤1>。，所以/(%-尤1)>1，

所以/(%)-/(占)>0,

则“X)在R上单调递增.

不等式于(x)+/(4-3%)<6等价于不等式

/(x)+/(4-3x)-l<5,

BPf(x+4-3x)<f(2).

因为/(x)在R上单调递增，

所以4-2%<2,解得尤>1.

故选:A.

6.(23-24高一下•黑龙江大庆•开学考试)定义在(0,+s)上的函数>=/(幻满足：%,%w(0，+8),且

2

x尸元2，“"")一”"。)<0成立，且/(4)=12,则不等式〃x)>3x的解集为()

石~X2

A.(12,+oo)B.(0,12)C.(0,4)D.(4,+oo)

【答案】C

【分析】令g(x)=X2,根据单调性的定义得到g(x)=父在(0,+8)上单调递减，结合g(4)=C父=3,

xx4

利用函数的单调性求解即可.

【详解】因为对任意的玉,马«0,+8),且玉片々，都有无2〃%)一芯

尤"xj"尤2)

即对任意两个不相等的正实数再,马，不妨设。<再<%,都有占々_为一々

所以有工⑷>如口，设函数gQ)=S,

石马X

则函数g(x)=一在(。也)上单调递减，且g(4)=午=3.

当x>0时，不等式〃尤)>3x等价于0>3,即g(x)>g(4),解得0<x<4,

X

所以不等式/«>3x的解集为(0,4).

故选：C

7.(23-24高一上.上海长宁・期末)已知函数y=/(x)的定义域为R.

4：y=/(x)是R上的严格增函数;

Pi：任意士,尤26R,都有/(%+%)=/(%)+/(%),且当x>0时,恒有〃x)>0；

A：当/(X)</(马)时，都有占<%;

下列关于4的充分条件的判断中，正确的是()

A.口通都是B.P1是，。2不是

C.Pi不是，必是D.P“2都不是

【答案】B

【分析】根据题意，对于化：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得乃是的充分条件;

对于P2,利用单调性的定义，据反例可得必不是的充分条件；综合可得答案.

【详解】根据题意，对于化：任意毛，无26R，都有/&+%)=〃占)+/(%)，

令再=%=0,则有/(工1)=/(工2)=。，

再令西=一X2，有了(。)=/&)+/(-%),变形可得/(±)=-/(f),

则函数/5)为奇函数；

设玉>々，有玉一马，

贝！I有/Ui-x2)=/(Xj)+f(-x,)=f(xI)-f(x2)>0,

必有/&)-/(%)>0,

故函数y=fM是R上的严格增函数，

则Pi是4的充分条件；

对于P2，例如/(尤)=/,当玉4-1,0］,赴满足/(%)<〃电)时,都有玉<々；但于幻="不是单

调递增函数，故P2不是4的充分条件；

故选：B.

8.(23-24高一下•上海•期中)已知二次函数/(x)=ox2-4ax+c,a>0,ceR,若玉<2<%且/(不)>)(9),

则下列说法正确的是()

A.对任实数4二-1,。,1,均有号］〈《早半］

B.对任意满足°<|川<1实数4,均有艺詈)

c.对任意满足囚>i的实数人均有午竽］

D.存在实数几NT,0,1,使得/(毛等］=/(浮学］

【答案】B

【分析】由题意可知玉+%<4,化简得口(再一%)(%+%-4).冷，根据

d小学］与dW］的大小关系确定x的范围判断各个选项•

［1+2)I1+2)

【详解】v/(x)对称轴为x=2,不芯)>/(尤?),

-2)>(x2-2),.'.2-%,>x,-2,/.%1+%2<4,

令X=%+几―*二9+招

1-

1+2，2-1+2，

贝！I乂+2=/+%+3+苫2)—-

1+A

区…———，

2

/(X1)-/(X2)=a(X1-X^)-4«(X1-X2)

=a(X「Xj(X|+X「4)

=«(%1-X2)(X1+x2-4)-^―y,

1+A

>0,项v%，玉+々v4,

_尤2)(玉+x2-4)>。,

1+X

.•.3正确，C错误，

i_;

对A：〃Xjv/(X2)<=>；<0=X£(―8,—l)u(l,+co),故A错误，

1+A

对D:〃Xj="X,)=34=O,故不存在实数人TO」，使得年华］力伍冲］，D错误.

1+Z\1+XJ\1+ZJ

故选：B.

【题型二函数的奇偶性】

、单选题

1.(2024•山西・一模)已知函数〃x)是定义在3x#0｝上不恒为零的函数，若〃xy)=*hg,则()

A./(1)=1/(-1)=1

C./⑴为偶函数f(x)为奇函数

【答案】C

【分析】根据题意，令x、y取特殊值逐一验证四个选项即可.

【详解】令》=y=i,则〃1)=2〃1),故/⑴=0,A选项错误；

令x=y=-l,贝!)"1)=2"-1),故"-1)=0,B选项错误；

令y=T,贝旷(-%)=/(尤)+牛。=/6),故"X)为偶函数，c选项正确；

因为/(尤)为偶函数，又函数/■(*)是定义在｛xUxO｝上不恒为零的函数，D选项错误.

故选：C

2.(23-24高一下•内蒙古赤峰•期末)已知函数〃尤)的定义域为R,且

2〃力〃)0=〃》+>)+〃苫7),〃1)=3有下列四个结论：

①/⑼=2

②为偶函数

③〃x)=/(x+6)

④〃元)在区间［。，4］上单调递减

其中所有正确结论的序号为()

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】B

【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】令x=l,y=O,则2/⑴〃0)=/⑴+〃1),则2xgx〃0)=ln〃0)=l,故①错误；

令x=0,则2f(O)/(y)=〃y)+/(—y)n2f(y)=〃y)+/(_y)n/(y)=/(_y),所以/(x)为偶函数,

故②正确；

令y=l,ljl!|2/(x)/(l)-/(x+l)+/(x-l),即/(x)=〃x+l)+/(x-l),

则/(x+l)=/(x+2)+〃x),®-/(x-l)=/(x+2),

贝！l/(x)=—〃x+3),故〃x+6)=-〃x+3)=/(x),故③正确；

由为偶函数,可知〃x)的图像关于x=0对称，由/(x+6)=/(x)=/(-x),可知〃x)的图像关于x=3

对称，故f(x)在区间［0,4］上不单调，故④错误；

故选：B

二、多选题

3.(23-24高一上•湖北襄阳・期末)已知定义在。上的函数f(x)满足/(久一1)为奇函数且/(-2)=-1,以下

说法一定正确的是()

A.=-/(-%-1)

B.VX-1GD,都有-x+leO,M/(x-l)=-/(-x+l)

C.f(O)=-l

D./(O)=l

【答案】AD

【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解.

【详解】对于选项A,因为f(x-l)为奇函数，所以/(尤-1)=-/(-彳-1),则A正确，B错误；

由/(%-1)=一/(一X-1)可知，令x=l,贝！1/(。)=一/(-2)=1,则D正确，C错误；

故选：AD.

【点睛】结论点睛：若/(x+a)是奇函数,则/(-x+a)=-f(x+a),若/(x+a)是偶函数,则

f{-x+a)=f(x+a).

4.(23-24高一上•辽宁葫芦岛•期中)已知函数〃尤)的定义域为R,〃孙六射了⑺+/八村则()

A./(0)=0B./(-1)=-1

C.〃尤)为奇函数D.〃2)=64/(-1

【答案】AC

【分析】抽象函数问题借助赋值法即可得.

【详解】令x=y=o,则〃o)=o,A正确；

令x=y=l,则〃1)=/(1)+〃1),即〃1)=0,

令x=y=-l,贝1]〃1)=一〃-1)一〃-1)=一2〃-1),即〃-1)=0,B错误；

令y=T,则〃一%)=-/(x)+=-/⑺，

又因为〃尤)的定义域为R,所以为奇函数，C正确；

令x=2,y=—,得〃-1)=-"2)+32小；1=0,

乙D乙I乙)

贝！|"2)=1024/1一小D错误.

故选：AC.

三、填空题

5.(23-24高一上•湖北•期中)我们知道，函数丁=/(无)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是

函数y=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点网。⑼成中心对称图形的

充要条件是函数y=f(x+a)-6为奇函数.则求出函数的图象的对称中心为；类比上述

推广结论，写出“函数y=/(%)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=/(%)为偶函数”的一个推

广结论是.

【答案】(-1,2)y=〃x)的图像关于x=a对称的充要条件是产为偶函数

【分析】根据函数y=/(x+a)-A为奇函数，即可求解a,3根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解

推广结论.

【详解】/(x+a)-Z?=(x+a)3+3(x+a『_匕=/+(3。+3)*2+(3/+6。卜+/+3/一。为奇函数，所以

3。+3=0且a?+34一6=o

所以。=-1,6=2,

所以函数尤)的图象的对称中心为(-1,2)；

若函数y=/(x)关于x=。对称，贝!Jy=/(x+a)为偶函数，

因为若y=〃x+a)为偶函数，则/'(一x+a)=/(x+a),即函数y=/(x)关于x=。对称，

反过来若函数y=/(x)关于x=a对称，贝!]〃T+a)=〃x+a),即y=f(x+a)为偶函数，

综上可知，命题的推广结论为“y=f(x)的图像关于x=。对称的充要条件是y^f(x+a)为偶函数”.

故答案为：(T2)；y=〃x)的图像关于x=。对称的充要条件是y=〃x+a)为偶函数

6.(23-24高一上.内蒙古赤峰.期末)已知定义在R上的函数/(x)在(e,2］上单调递增，若函数〃x+2)为

偶函数，且"3)=0,则不等式对'(x)>0的解集为—.

【答案】(e,0)U(l,3)

【分析】先根据题意得出函数/(x)的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解.

【详解】由函数/(x+2)为偶函数，可知函数/(x)关于x=2对称，

又函数于(玲在S，2］上单调递增，知函数/(%)在(2,+功上单调递减，

由f⑶=0,知f⑴=0,作出函数/'(X)的大致图象，如下：

由图可知，当x<0时，/(x)<0,则对3>0；

当0<x<l时，f(x)<0,则泣》)<0；

当1cx<3时，/(%)>0,则V(尤)>0；

当x>3时，/(%)<0,则40)<0；

所以不等式W)>0的解集为(f0)u(l,3).

故答案为：(3,0)。(1,3)

【题型三函数的对称性】

一、单选题

1.(23-24高一上•北京大兴•期中)定义在R上的函数f(尤)在(—,2)上是增函数，且f(x+2)=/(2-尤)对

任意尤eR恒成立，贝!J()

A./(-1)</(3)B./(-1)>/(3)

C./(-l)=f(3)D./(0)=/(3)

【答案】A

【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.

【详解】因为/(%+2)=/(2-%)对任意xeR恒成立，

所以函数关于x=2对称，

所以〃1)=〃3),

又因为函数“X)在(9,2)上是增函数，

所以〃山守⑼守⑴，

所以/(—1)W(O)W(3).

故选：A

2.(23-24高二下•浙江丽水・期末)已知函数〃x)的定义域为R,〃尤)的图象关于。,0)中心对称，〃2x+2)

是偶函数，则()

A./(0)=0B.=0C."2)=0D./(3)=0

【答案】D

【分析】根据对称性定义，再加赋值可解.

【详解】的图象关于(1,0)中心对称，则〃力=-/(-x+2)(*)；

f(2x+2)是偶函数，则/•(2x+2)=f(-2尤+2),

则的图象关于x=2轴对称，贝！］/(x)=/(-x+4)(**)；

令x=l代入(*)得，/(1)=一/(1),解得f(l)=0,代入(**)得到/。)=/(3)=0.

故选：D.

3.(23-24高二下・黑龙江牡丹江・期末)设函数〃耳=%3+依2+陵+2,且〃1+司+〃1一同=2,则必=()

A.—1B.2C.—3D.4

【答案】c

【分析】由已知条件易知函数"X)关于点(1,1)中心对称，结合奇偶性及平移变换列方程组分别求得,

从而得到油的值.

【详解】因为〃l+x)+〃l—力=2,

所以函数/(x)=x3+依2+陵+2的图象关于点(1,1)对称，

因为函数y=Ry=x为奇函数，即关于(0,0)对称，

所以根据平移变换得

=(x-l)3+A：(x-l)+l=x3-3x2+(3+k^x-k,

所以a=—3,b-3+k,—k=2,

解得a-1,

所以=-3.

故选：C.

4.(23-24高三下•安徽黄山•阶段练习)设函数/(无)的定义域为R,且/(x+2)为奇函数，/(2尤+1)为偶函

数，则()

A./(-D=0B./(-j)=0C.")=0D./(0)=0

【答案】D

【分析】由f(x+2)为奇函数可得〃x+2)=-"r+2),即可得"2)=0,由〃2x+l)为偶函数，则有

/(x+l)=/(-x+l),即可得〃x)=-〃x+2),即有〃0)=—"2)=0.

【详解】由/(x+2)为奇函数，则有〃x+2)=-〃-x+2),

则/⑵=一〃2),即"2)=0,

由尤+1)为偶函数，则有〃2x+l)=/(-2x+l),即〃尤+1)=/(-尤+1),

贝！|/(x+2)=〃f)=—〃-x+2),BP/(x)=-/(x+2),

即/(0)=-/(2)=0,故D正确；

A、B、C都不能得到，故A、B、C错误.

故选：D.

二、填空题

5.(23-24高二下.山东青岛.期末)定义在R上的两个函数“X)和g(x),已知〃x)+g(lr)=3,

g(x)+f(x-3)=3.若y=g(x)图象关于点(1,0)对称,则/(0)=.

【答案】3

【分析】因为y=g(x)图象关于点(1,0)对称，所以g(x)+g(2—x)=0,所以g(l)=0,再利用

/(x)+g(l—x)=3求出/⑼即可.

【详解】函数g(x)的定义域为R,且y=g(x)图象关于点(1,0)对称,所以g(x)+g(2-力=0,所以g(l)=0,

又f(x)+g(I)=3,当x=0时，〃0)+g(l)=3,所以"0)=3.

故答案为：3.

6.(24-25高一上•全国•课后作业)已知定义在R上的函数y=〃尤)满足以下三个条件：

①对于任意的xdR,都有"x+l)=-/(无)；

②函数>=/(尤)的图象关于直线X=1对称；

③对于任意的和”[0,1],且"—㈤>0.则/'(-I),/(2)的大小顺序是—.(用“<”连接)

x2-xi

【答案】/(-1)</(|]</(2)

【分析】由条件②可得/(-1)=/(3),结合条件①可得;'(-1)=/(1)；由条件③可得/(尤)在[0』单调递减,

结合条件②可得/(%)在[1,2]上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序.

【详解】由条件②函数y=/(x)的图象关于直线x=i对称，所以/(-1)=/(3),

由①/(x+1)=-f(x),可得f(3)=/(2+1)=-/(2),

因为〃2)=/(1+1)=—〃1),即—〃2)=/⑴，

所以〃3)=〃1),所以D"(l),

由③知〃为)一"无2)<o,所以函数/(元)在［0,1］上单调递减，

xi-x2

由条件②函数y=/(x)的图象关于直线x=i对称，

所以“X)在［1,2］单调递增，

所以"2)>>/(1),即“2)>/(I)>/(-1).

故答案为：/(2)>/f|L/(-l)

【题型四函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用】

一、单选题

1.(24-25高三上•江苏扬州•开学考试)已知函数/(元)在［1,位)上单调递减且对任意xeR满足

/(x)=/(2-x),则不等式C(2x-3)>f(x)的解集是()

A.B.C.1一0°，/1D.(3,-KO)

【答案】B

【分析】由对任意xeR满足，(x)=F(2-x)得出〃尤)的对称轴为直线x=l,结合函数/(x)在口用)上单

调递减得出“X)在(-8,1)上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可.

【详解】因为对任意尤eR满足/(x)=/(2r),所以/⑺的对称轴为直线x=l,

又函数/(x)在［l,4w)上单调递减，所以/(%)在(e,l)上单调递增，

所以〃2》一3)>〃尤)o(2x-3-l)2<(XT?,解得xe

故选:B.

2.(2024.陕西西安.三模)已知定义在R上的奇函数/(X)满足/(x)+/(2-x)=2,贝|

/(1)+/(2)+...+/(20)=()

A.0B.105C.210D.225

【答案】C

【分析】根据题意，由奇函数的性质以及/(x)+/(2-x)=2,分析可得/(x+2)-〃x)=2,求出〃0)=0,

，(1)=1,即可求解.

【详解】因为“X）是奇函数，所以〃x）+〃r）=O.由/（x）+F（2—x）=2,可得/（x+2）+/（—x）=2,

则/（x+2）-〃x）=2.

因为是奇函数,所以〃0）=0,则/（2）=2,/（4）=4,L,/（20）=20,又“1）=1,则/（3）=3,/（5）=5,

L,"19）=19,

所以〃1）+〃2）+…+/（20）=1+2+…+20=210.

故选：C

3.（24-25高三上•北京•开学考试）已知函数，（尤）满足了（—2-*=/（-2+力，对任意为,马«3，-2］,且

x产马，都有成立，且〃°）=0,贝叶（另>0的解集是（）

A.（―oo,—2）u（2,+8）B.（—2,2）

C.（F,T）U（0,y）D.（-4,0）

【答案】D

【分析】由已知条件得到“X）的图象关于片-2对称，从而可知〃x）在（-*-2］上为增函数，在（-2,+欠）

上为减函数，且〃T）=0,再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.

【详解】因为数“X）满足"-2-尤）=〃-2+x）.

所以“X）的图象关于x=-2对称.

因为函数〃尤）对任意不且百片々，都有o成立,

Xx—X2

所以“X）在（-8,-2］上为增函数.

又因为〃尤）的图象关于x=-2对称，/（0）=0,

所以“X）在（-2,+8）为减函数，且〃T）=0.

用折线图表示函数〃x）的单调性，如图所示：

由图知：/（尤）>0=>T<x<0.

故选：D.

二、多选题

4.(22-23高二下•浙江温州•期末)己知连续函数〃x)满足：@Vx,jeR,则有〃x+y)=〃x)+〃y)-l,

②当x>0时，/(x)>l,③/⑴=2,则以下说法中正确的是()

A.“X)的图象关于(0,1)对称

B.r(x)<o

C.”尤)在［-3,3］上的最小值是一2

D.不等式/(2/)-〃司<〃2引+1的解集为“卜;<x<2,

【答案】ACD

【分析】对于A,取x=y=0求得〃0)=1,再取y=T,推出”x)+/(-x)=2,即得结论；对于B,利

用函数单调性定义，借助于条件，即可推出f(x)是R上的增函数，排除选项；对于C,利用函数单调性求

出八-3)的值即得；对于D,不断运用题设等式，将其转化成/(2d)</(3x+2),利用函数单调性即可求

解.

【详解】对于A,因V尤,yeR,则有/(x+y)=〃x)+〃y)-1,

令元=y=0,则得，/(0)=2/(0)-1,即得了(0)=1,

令丫=一尤，则/(O)=/(X)+/(T)—1,即〃X)+〃T)=2,

故”力的图象关于(0,1)对称，即A正确；

对于B,\/现,％eR,^<%,则％-再>0,由②可得，/(^2-%1)>1,

而由①，〃无2-占)=/(无2)+=A%)+因-/(%1)］-1=/(x2)-/(%1)+1,

故得/(々)-/(&)>。，即/(%)>/(尤3故是R上的增函数，即f'(x)20,故B错误；

对于C,由B可得,〃于在［-由3］上为增函数,

故/(无篇=/(-3)=2-/(3)=2-［/(1)+/(2)-l］=3-/(1)-［2/(1)-1］=4-3/(1)=-2,即C正确；

对于D,由/(2/)一〃尤)</(2x)+1可得/(2x2)</(x)+/(2x)-1+2,

即/(2尤2)<〃3X)+/(1)(*),

因〃3x)+〃l)=『(3x+l)+l=_f(3x+l)+2-1=，(3%+1)+01)-1=/(3x+2),

代入(*)式，可得，f(2x2)<f(3x+2),

由B知，是R上的增函数，故得2d<3x+2,解得，-g<x<2,故D正确.

故选：ACD.

5.(25-26高一上•全国・单元测试)对于定义在R上的函数/'(X),若〃x+l)是奇函数，〃x+2)是偶函数，

且在［1,2］上单调递减，则()

A./⑶=0B./(0)=/(4)

C.=D.在［3,4］上单调递减

【答案】ABC

【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可.

【详解】令g(x)=〃x+l),因为〃x+l)是奇函数，

所以g(一元)=/(―X+1)=—g(X)=一/(尤+1),

即/(-x+l)=—/(x+l),〃x)的图象关于点(1,0)对称.

令〃(x)=/(x+2),因为f(x+2)是偶函数，

所以/z(-X)=/(-%+2)=A(x)=/(x+2),

即/'(T+ZLAX+Z),/")的图象关于直线x=2对称.

A选项，由+1)-1),令x=0,可得==

由/(—x+2)=V(x+2),令X=1,可得〃1)=〃3)=0,故A正确.

B选项,由〃一x+2)=f(无+2),令x=2,可得〃0)=〃4),故B正确.

C选项，由/(—x+l)=—/(x+1),令》=；,可得=故C正确.

D选项，由外可在［1,2］上单调递减，结合“X)的图象关于点(1,0)对称，可知〃x)在［0』上单调递减，

由/⑴=0可知”力在［0,2］上单调递减，又〃x)的图象关于直线x=2对称，则〃x)在［2,4］上单调递增,

故D错误.

故选:ABC.

三、填空题

6.(24-25高三上•福建龙岩•开学考试)已知函数〃力=竺二史在其定义域内为偶函数，且则

x+12

+/⑴+〃2)+…+/(2024)=

4047

【答案】

2

【分析】由偶函数的性质和〃1)=；可得b=0,a=l,可求出〃x),计算“X)-=求解即可.

【详解】因为=的定义域为R,且为偶函数,

所以f(一无)=/(x),即/二处=父土史，即匕=0・

x2+lx2+l

所以"x)=gr

又因为〃1)=二"=彳1，即。=1,所以〃x)=4y~.

22x+1

所人焉)+“急)+…++/⑴+/⑵+…+/(2024)=

人焉)+八2024)]++/(2023)]+…+J/(1)+/(2)1+/(I)=2023+：=坪

♦♦压轴能力测评“

一、单选题

1.(23-24高一上.安徽淮北•期中)已知函数/。)=加+6是定义在5,。+2］上的偶函数，又g(x)=/(尤-2),

则g(-2),g(3),g(2)的大小关系为()

A.联一2)>8闭>8(2)B.g⑶>g(2)>g(-2)

C.且⑵川口八8⑶D.8⑵*⑶会⑴)

【答案】D

【分析】根据题意，先求出。的值，由二次函数的性质分析/(x)的单调性，进而分析g(x)的对称性和单调

性，由此分析可得答案.

【详解】根据题意，数/(尤)=办2+》是定义在团,4+2］上的偶函数，

贝！I有。+。+2=0,解可得a=-1,

则函数Ax)是开口向下的二次函数，在区间［0,+8)上为减函数，

又g(x)=/(x-2),函数g。)的对称轴为x=2,且在(2,内)上为减函数，

则有g(2)>g(3)>g(6)=g(-2),

BPg(2)>g(3)>g(-2).

故选：D.

2.(23-24高一下.云南普洱.期末)已知定义在R上的函数满足〃2-x)="x),且当无2>玉21时，恒

有〃：)二(%)<。,则不等式/(X—l)>〃2x+l)的解集为()

A.(-2,0)B.[C.(f-2川号+(»]D.(^»,-2)u(O,-H»)

【答案】C

【分析】先根据/(2-力=/(力得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.

【详解】由"2-x)=〃x)得，“X)的图象关于直线x=l对称，

令g(x)=〃x+l),则g(无)是偶函数，又当马>为21时，恒有"斗)[”不)<0,

故"X)在[1,内)上单调递减，所以g⑺在[0,+8)上单调递减，

则/(x-l)>〃2x+l)=>g(x-2)>g(2x)=|x-2|<|2X,

即得(x—2)，4尤2,3/+4尤一4)0,(3x—2)(尤+2)>0

2

解得x<-2或

故选：C.

3.(23-24高一上.江苏南通•阶段练习)若定义在R上的奇函数〃x)在(0,+向上单调递减，且/'(-2)=0,

则满足对'(x-1)20的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3，HB.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]u[l,^x>)D.[-l,0]U[l,3]

【答案】D

【分析】根据题意，得到的单调性及/(2)=〃-2)=〃0)=0,再结合不等式，分类讨论，即可得出

答案.

【详解】因为在R上的奇函数〃x)在(0,+")上单调递减，且〃-2)=0,

所以“X)在(-8,0)上也是单调递减，且〃0)=0"⑵=-了(-2)=0,

所以当xe(-s,-2)U(O,2)时，/(x)>0,

当xe(—2,0)U(2,M)时，f(x)<0.

f^<0fx>0

所以由#(x—1)2。可得:1一24元一14。或］。4尤一142或x=°，

解得-lVx<0或1W3或x=0,即—KW0或14x43.

所以满足#(X-1)2。的X的取值范围是

故选：D.

4.(24-25高三上•河北秦皇岛•开学考试)已知为R上的减函数，设函数8口)x<0'则满足

不等式g(4-"?)>g(〃7)的机的取值范围是()

A.(1,+co)B.(2,-HO)C.(-OO,1)U(1,+°°)D.(-CO,2)U(2,-K»)

【答案】B

【分析】先判断出g(x)的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解.

【详解】解：由题意知：g(x)的定义域为R,关于原点对称，

当x>0时，-x<0,g(x)=/(x),

贝Ug(-x)=/(-㈠))=/⑺=g(x),

当x=0,g(O)=/(O),

当尤<0时，-x>0,g(x)=/(-x),

贝！Jg(-x)=/(-x)=g(x),

故g(x)为偶函数，

又f(x)为R上的减函数，

g(X)在[o,+8)上单调递减，在(fo,o)上单调递增,

g(4-m)>g(m),

...g(|4—同)>g(同),即|4一叫<|%|,解得:m>2.

故选：B.

5.(24-25高三上•江苏南通・开学考试)函数/(%)=3尤3-炉+办，对任意且为力%，都有

"%)一"％)>1,贝u“的范围是()

xx-x2

A.(1,+co)B.[1,+℃)

C.(2,+co)D.[2,+co)

【答案】D

【分析】首先设任意和福目1,2],且玉<%,构造函数g(x)=/(x)-x得到y=g(x)在[1,2]为增函数，从

而得至Uxe[l,2],”±-尤2+2尤+1恒成立，即可得到答案。

【详解】设任意可,超41,2],不妨令占<%，都有"王)一"二)>1,

等价于任意小％e[1,2],且占＜多,都有〃玉)-/{%2)＜不一十2，

等价于任意%,%©[1，2],且西＜々，都有/(可)-为＜/®)-/，

设g(x)=〃x)-x=；x3-x2+g-i)尤，xe[l,2],则函数y=g(x)在[1,2]为增函数，

则无e[l,2],g'(尤)=/-2x+a-120恒成立。

等价于xe[l,2],q1f+2x+i恒成立。

因为、=一/+2了+1在[1,2]为减函数，所以a2—12+2+l=2,即。22.

故选：D

6.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知定义在R上的函数〃x)满足/(x)+〃-x)=f,%入目0收)

均有『(下)一/(%)＞生/(x尸弱),则不等式〃尤)一〃17)＞》一:的解集为()

A-卜臼B-[*8)C.%]D.[-p°]

【答案】B

【分析】设g(x)=〃x)由题设可得该函数为R上的增函数且为奇函数，而原不等式可化为

g(x)＞g(l-x),故可求不等式的解.

【详解】设g(x)=〃x)-gx2,贝|Jg(-x)+g(x)=〃