2024-2025学年四川省眉山市仁寿一中南校区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省仁寿一中南校区高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={−1,0,1,2}，集合B={x|y=x−1}，则集合A∩B=A.{−1,0,1,2} B.{1} C.{2} D.{1,2}2.平面向量a=(1,2)，b=(m,−2)，若a⊥(a−A.−9 B.9 C.−7 D.73.已知二项式(1+ax)5的展开式中x3的系数是−80，则实数a的值为A.−4 B.4 C.−2 D.24.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为(

)

参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974A.0.13% B.1.3% C.3% D.3.3%5.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x)，f(1)=5，则f(2024)=(

)A.−5 B.5 C.−2024 D.20246.高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：温度x(℃)6810病毒数量y(万个)302220由上表中的数据求得回归方程为y=bx+a，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为(

)A.12 B.10 C.9 D.117.设f(x)=x2−2ax+4(x∈R)，则关于x的不等式f(x)<0有解的一个必要不充分条件是A.−2<a<0 B.a<−2或a>2 C.|a|>4 D.|a|≥28.体积为4的长方体ABCD−A1B1C1A.9π2 B.9π C.11π2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设i为虚数单位，复数z满足z(1−i)=2，则(

)A.z的虚部为1 B.|z|=2

C.z在复平面内的对应点位于第一象限 D.z10.已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x)=f(2−x)，则(

)A.f(0)=0 B.f(x)的图象关于直线x=2对称

C.f(x)=−f(x+2) D.f(x)的一个周期为411.下列结论中，错误的结论有(

)A.y=x(4−3x)取得最大值时x的值为1

B.若x<−1，则x+1x+1的最大值为−2

C.函数f(x)=x2+5x2+4的最小值为2

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x+a(x<0)x−b(x≥0)的零点为−3和1，则a+b=______．13.口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望E(X)=______．14.∀x1，x2∈(0,m)，x1≠四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)证明：BD116.(本小题15分)

已知等差数列{an}的公差d>0，且满足a1=1，a4=4．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)17.(本小题15分)

“十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”(世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都)建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一.已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛.根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与A队比赛：胜的概率为12，平的概率为13，负的概率为16；客场与B队比赛：胜的概率为14，平的概率为12，负的概率为14，且两场比赛结果相互独立．

(1)求成都蓉城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；

(2)用X表示成都蓉城队七月与A队和18.(本小题15分)

已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y都满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(x)≠0.当x>0时，f(x)>1，且f(2)=9．

(1)求f(1)，f(3)的值；

(2)用函数单调性的定义证明f(x)在R上单调递增；

(3)若对任意的x∈R，f(2x2−a19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−ln(x+a)(a∈R)．

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥a−1a恒成立，求a的取值范围；

(3)若数列{an}满足a1=1,an+1=n2参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.4

13.6514.(0,e15.解：(1)证明：连接BD，设AC∩BD=O，连接EO，则O为BD中点，

在△BDD1中，因为E为DD1的中点，所以OE/​/BD1，

又BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，

所以BD1//平面ACE．

(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建系如图：

设正方体的棱长为2，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,0,1)，C1(0,2,2)，

所以AC1=(−2,2,2)，AC=(−2,2,0),AE=(−2,0,1)，

设m=(x,y,z)为平面16.解：(1)因为a1=1，a4=4，所以d=a4−a14−1=1，所以an=1+(n−1)×1=n；

(2)b17.解：(1)设事件A1=“成都蓉城队主场与A队比赛获得积分为3分”，

事件A2=“成都蓉城队主场与A队比赛获得积分为1分”，

事件A3=“成都蓉城队主场与A队比赛获得积分为0分”，

事件B1=“成都蓉城队客场与B队比赛获得积分为3分”，

事件B2=“成都蓉城队客场与B队比赛获得积分为1分”，

事件B3=“成都蓉城队客场与B队比赛获得积分为0分”，

事件C=“成都蓉城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分”．

则P(C)=P(A1B2)+P(A1B3)+P(A2B3)=12×12+12×14+1X012346P111111所以X的期望E(X)=0×12418.解：(1)令x=y=1，则有f(2)=f(1)⋅f(1)，

即f(1)⋅f(1)=9，

又因为当x>0时，f(x)>1，

所以f(1)=3；

令x=1，y=2，

则有f(3)=f(1+2)=f(1)⋅f(2)=3×9=27，

所以f(1)=3，f(3)=27；

(2)证明：设x1，x2∈R，x1<x2，

则x2−x1>0，f(x2−x1)>1，

令x=y=0，则有f(0)=f(0)⋅f(0)，

又因为f(x)≠0，

所以f(0)=1，

令y=−x，

则有f(0)=f(x)⋅f(−x)，

即有f(x)⋅f(−x)=1，

当x>0时，f(x)>1>0，

所以f(−x)=1f(x)>0；

当x<0时，−x>0，

则f(−x)>1>0，

所以f(x)=1f(−x)>0，

综上，∀x∈R，f(x)>0，

所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)

=f(x2−x1)f(x1)−f(x1)

=f(x1)19.解：(1)当a=2时，f(x)=2x−ln(x+2)(x>−2)，

f′(x)=2−1x+2=2x+3x+2，

故当x∈(−2,−32),f′(x)<0,f(x)单调递减；

当x∈(−32,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增．

综上，f(x)的单调递减区间为(−2,−32)，单调递增区间为(−32,+∞)．

(2)由题意，a≠0．

f′(x)=a−1x+a=ax+a2−1x+a(x>−a)．

①当a<0时，f(x)在(−a,+∞)单调递减，

由x→+∞，f(x)→−∞，不合题意；

②当a>0时，f(x)在(−a,1a−a)单调递减，(1a−a,+∞)单调递增．

由f(x)≥a−1a恒成立，得f(x)min≥a−1a．

f(