数学课后导练：第二讲第二节圆内接四边形的性质与判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则()A。5m=4nB.4m=5nC.m+n=9解析：圆内接四边形对角互补，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴m+n=9.答案:C2。圆内接四边形ABCD中,cosA+cosB+cosC+cosD等于()A.0B.4C.2解析：∵ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴cosA=—cosC，cosB=—cosD。∴cosA+cosB+cosC+cosD=0.答案:A3.如图2—2-9,四边形ABCD内接于⊙O,则∠BOD等于（）图2—2—9A.140°B.110°C.130°D。150°解析:∵∠A=∠DCE=70°,∠BOD=2∠A=140°.答案：A4.如图2-2-10,在△ABC外接圆中=，D为的中点，E为CA延长线上一点,且∠EAD=114°,则∠BAD等于()图2—2—10A.57°B。38°C。45°D。30°解析:∵=,∴∠BAD=∠1。∴∠D=180°-2∠BAD。∵∠DAE=∠DBC,∴∠1+∠2=114°。∴∠2=114°-∠1=114°—∠BAD.又∵=,∴∠C=∠2=114°-∠BAD。∵∠C+∠D=180°，∴∠180°—2∠BAD+114°-∠BAD=180°.∴∠BAD=38°.答案：B5.如图2—2—11，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，M为上一点，AM延长线交DC延长线于E，则能成立的是()图2-2—11A.∠AMC=∠DCMB.∠A=∠EC。∠EMC=∠AMDD。∠ECM=∠AMD解析:∵AB⊥CD，∴=.∴∠ADC=∠AMD.又∠EMC=∠ADC，∴∠EMC=∠AMD.故C正确.答案：C综合运用6.如图2—2-12，四边形ABCD内接于圆，CE∥DB交AB延长线于E点，求证:BC·CD=DA·BE。图2-2-12证明：连结AC，∵=，∴∠2=∠3。∵CE∥BD,∴∠1=∠2。∴∠1=∠3.又∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CBE=∠ADC。∴△ADC∽△CBE.∴。∴BC·CD=DA·BE.7.如图2-2-13，延长圆的内接四边形ABCD两组对边，分别相交于点M、N,求证：所成的∠AMD和∠ANB的平分线EN、MH互相垂直.图2-2—13证明：∵∠1=∠A+∠ANE,∠2=∠GCN+∠CNG，四边形ABCD内接于圆，∴∠A=∠GCN.NE是∠ANB的平分线，∴∠ANE=∠CNG.∴∠1=∠2。∴ME=MG,即△MEG是等腰三角形.又MF是顶角平分线,∴MK⊥EG。8。如图2-2—14，⊙O和⊙O′交于A、B两点,过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E,GD交⊙O′于F。求证：G、E、A、F四点共圆.图2-2—14证明：连结AB，∵四边形AECB内接于⊙O,∴∠GEA=∠ABC。∵四边形ABDF内接于⊙O′，∴∠GFA=∠ABD.∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠GEA+∠GFA=180°。∴G、E、A、F四点共圆。9.如图2-2—15,⊙O和⊙O′交于点A、B，P点的是直线AB上任意一点,过P任意两直线分别交⊙O于C、D，两点交⊙O′于E、F两点，求证:C、D、F、E四点共圆。图2—2-15证明：连结AC、AE、CE、BD、BF、DF.∵ABDC内接于⊙O，∴∠PCA=∠PBD。又∠CPB是公共角，∴△PAC∽△PDB.∴.∴PC·PD=PA·PB。同理，PE·PF=PA·PB.∴PC·PD=PE·PF。∴。又∠CPE是公共角,∴△PCE∽△PFD。∴∠PCE=∠PFD.∴C、D、F、E四点共圆。拓展探究10。已知△ABC，点D与A在BC的同侧,且∠A=∠D,求证：A、B、C、D四点共圆.图2-2—16证明:如图2—2—16，作△ABC的外接圆⊙O。（1）假设D在⊙O外部,⊙O与BD交于E点，连结CE.∵=,∴∠A=∠BEC。又∠D=∠A,∴∠BEC=∠D。这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角相矛盾。故点D不在⊙O外部.(2）假设D在⊙O内部,延长BD交⊙O于E,连结CE，如图2-2-17,图2-2—17则有∠A=∠E。又∠A=∠BDC,∴∠BDC=∠E。同样产生矛盾.∴点D不能在圆内。综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.备选习题11。圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D的度数为_____________。解析:设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x.∵∠A+∠C=180°,∴x+3x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°,∠B=90°，∠C=135°.又∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-∠B=90°.答案：90°12.如图2—2-18,⊙O内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°,AB=10，CD=2，求BC和AD.图2—2-18解:延长AD、BC交于点P,在Rt△ABP中，BP=AB·tanA=,AP==20.∵ABCD内接于⊙O，∴∠PDC=∠B=90°.在Rt△PCD中,∠P=30°.PC=2CD=4,PD=.∴BC=BP-PC=10-4，AD=PA-PD=20—2.13。如图2—2—19,AD为△ABC的外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆