数学课后导练：第一讲第三节相似三角形的判定

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。如图1—3-9，D为△ABC的边AB上的点,连结CD，求点D满足什么条件才能使△ACD∽△ABC?图1-3-9解析：△ACD与△ABC有一公共角∠A，∴若使两三角形相似，需要另一角相等或构成∠A的两边对应成比例.∴D应满足下列条件之一即可。(1)∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB；（2）或AC2=AD・AB。2。已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，过M作AB的垂线交AC于D,交BC延长线于E。求证：MC2=MD・ME。图1-3-10证明：∵M为Rt△ABC斜边AB的中点，∴CM为中线。∴CM=AM=AB.∴∠A=∠ACM。又∵∠A+∠B=90°,∠E+∠B=90°,∴∠A=∠E。∴∠E=∠ACM。又∠CME=∠DMC，∴△CME∽△DMC.∴=。∴MC2=MD·ME.3.如图1-3—11,△DBA图1A.=B.AB2=BD·BCC。CD2=AD·ABD.=解析：△DBA与△ABC有公共角∠B。若它们相似,需构成该角的两边对应成比例，只有选项B.AB2=BD・BC=符合条件。答案：B4.如图1-3-12,在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC,则图中和△ABC相似的三角形的个数为(）图1-3A.1B。2C.3解析：△CBD∽△ABC,因它们含公共角∠B，同理,△ADE∽△ABC,△ACD∽△ABC。∵∠CDE=∠A,∴△DCE∽△ABC,共四个。答案：D5。如图，在ABCD中，DB是对角线,E是AB上一点,连结CE且延长交DA的延长线于F，则图中相似三角形的对数是()图1-3A.2B。3C解析：∵AE∥CD，∴△AEF∽△DCF.∵BE∥CD,∴△BOE∽△DOC.∵BC∥AF，∴△DOF∽△BOC.∵∠CDF=∠EBC,∠F=∠ECB，∴△CDF∽△EBC.又∵三角形相似具有传递性,∴△AFE∽△BCE.因此相似三角形的对数大于4对.答案：D综合运用6。如图1—3-14，在△ABC中，AD⊥BC,DF⊥AC,DE⊥AB.求证:△AEF∽△ACB。图1—3-14证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=90°，∠AFD=90°.∴∠AED+∠AFD=180°.∴点A、E、D、F四点共圆.∴∠1=∠2。又AD⊥BC,∴∠C+∠CAD=90°，∠2+∠CAD=90°。∴∠2=∠C。∴∠1=∠C，∠EAF=∠CAB。∴△AEF∽△ACB。7.求证:斜边上的高、斜边上的中线对应成比例的两直角三角形相似。如图，已知Rt△ABC，∠C=90°,Rt△A′B′C′,∠C′=90°,CD、CE、C′D′、C′E′分别是它们斜边上的高和中线,且.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.图1证明:在Rt△CDE和△C′D′E′中,∵，∴Rt△CDE∽Rt△C′D′E′.∴∠CED=∠C′E′D′.又∵CE是斜边中线,∴CE=AB=BE。∴∠ECB=∠B。又∵∠B+∠ECB=∠CED，∴∠B=∠CED,同理,∠B′=∠C′E′D′.∴∠B=∠B′.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。8.在△ABC中,AB=AC，D、E分别为AB、BC上的点,连结DE并延长交AC的延长线于F.求证:DE・CF=EF・BD。图1-3-16证明：过D作DG∥AC交BC于G,∴∠BGD=∠ACB。又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。∴∠B=∠BGD.∴BD=DG.在△DEG和△FEC中,∠EDG=∠F,∠DEG=∠FEC,∴△DEG∽△FEC.∴=。∴DE・CF=EF・DG.∴DE・CF=EF・BD.9。如图1-3-17，E是ABCD的边AD上的一点，连结CE并延长与BA的延长线相交于点P，EF∥AP交PD于F.求证：AF∥BD。图1—3-17思路分析:欲证AF∥BD只需证明=.由于与相等无法直接证明，它们又分在两个三角形中,即△PBC与△PDC中,而PC是公共边，于是可联想用比作为“中介”。证明：∵AE∥BC，∴△PAE∽△PBC。∴==。∵AD=BC，∴=。又∵EF∥PA，∴=。∴=。∴AF∥BD.10。如图1-3—18,△ABC中,AB=AC,E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB，求证:CD=2CE。？图1—3-18思路分析:CD、CE分别处于△ACD和△AEC中,==。考虑证△ACD∽△AEC,只需证=.证明：∵E是AB中点，∴=.∵AB=AC，∴=。又AB=AC=BD，∴=.∴=,∠A=∠A.∴△AEC∽△ACD.∴==。∴CD=2CE.拓展探究11。操作:如图1—图1-3探究:观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论.解析:①当另一条直角边与AD交于E,那么△PDE∽△BCP。∵∠2+∠3=90°,∠1+？=90°（∠BPE=90°），∴∠1=∠2。Rt△PDE∽Rt△BCP。②当另一条边与BC的延长线相交,如图1—图1∵∠PBC=∠EBP,∴Rt△BPE∽Rt△BCP。③∵∠PBE+∠E=90°，∠CPE+∠E=90°，∴∠PBE=∠CPE。∴△PCE∽△BCP。12.如图1-3—21,已知∠ABC=∠CDB=90图1解析：∵∠ABC=∠CDB=90°，∴当=时，△ABC∽△CDB.已知AC=a,BC=b,代入上式得BD=。又当=时，也有△ABC∽△BDC。将AC=a,AB=代入，得BD=。因此当BD=或BD=时,两个三角形相似.备选习题13.如图1—3—22，已知△ABC中P为AB上一点。在下列四个条件中：①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；④AB·CP=AP·CB。能满足图1-3-22A.①②④B.①③④C。②③④D.①②③解析：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB。故①符合条件.同理，②符合条件.∵AC2=AP·AB，∴AC∶AP=AB∶AC，∠A=∠A.∴△APC∽△ACB。故③符合条件。而条件④虽然可得到两边对应成比例,但不存在夹角相等.故④不能判定两三角形相似.答案:D14。如图1—3-23，AD是Rt△ABC斜边上的高,DE求证:。图1-3-23解析:∵AD是BC上的高,∴∠4+∠C=90°.又∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°.∴∠B=∠4。又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3。∴△BED∽△AFD。∴。15.如图1-3-24，在△EAD中，∠EAD=90°，AC是高，且∠BAE=∠D。求证：BD·EC=AB·AC。图1