数学课后导练：空间向量的基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.若对任意一点O，且=，则x+y=1是P、A、B三点共线的()A。充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分又不必要条件答案：C2。已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM=x++,则x的值为…（）A。1B。0C.3D。答案:D3。在以下命题中,不正确的个数是（）①已知A,B,C,D是空间任意四点，则=0②｜a|+|b|=｜a+b|是a,b共线的充要条件③若a与b共线，则a与b所在的直线的平行④对空间任意一点O和不共线的三点A，B,C,若,(其中x,y,z∈R)，则P，A，B,C四点共面A.1B.2C.3D。4答案:C4。设命题p：a,b,c是三个非零向量；命题q:｛a,b，c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B5。下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是（）A.B。=0C.D。答案：B6。在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为矩形ABCＤ的对角线的交点，设=a,=b,=c,则=____________.答案:a+b+c7。设O为空间任意一点,a,b为不共线向量,=a，=b,=ma+nb，（m，n∈k)若A，B,C三点共线,则m,n满足____________。答案：m+n=1。8.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？（1)=++;(2）OP=2OA—2OB-OC。解：(1)=++。∵，∴P与A、B、C共面.(2）=.∵2—2-1=-1，∴P与A、B、C不共面。9。如右图,已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且=，=。求证：四边形EFGH是梯形．证明：∵E、H分别是AB、AD的中点,∴=，=，==-=（-)==(）=(-)=()=。∴∥且||=｜｜≠|｜.∴四边形EFGH是梯形.综合运用10.如右图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b,=c，则下列向量中与B1M相等的向量是（）A。a+b+cB.a+b+cC.a—b+cD.a-b+c答案：A11。已知向量{a，b，c｝是空间的一个基底，则从以下各向量a,b，c,a+b,a-b，a+c，a—c,b+c,b—c中选取出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出三个基底：_____________________.答案：｛a,b，c}或｛a+b，a+c,b+c｝或{a—b,a-c,b-c}等.12.如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心,则用基向量、、表示向量的表达式为_______________.答案：=++13。已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O,确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)(2）。解法一：（1）原式可变形为=+(）+()=.由共面向量定理的推论知P与A、B、M共面．（2）原式可变形为=+—=.由共面向量定理的推论可得P位于平面ABM内的充要条件可写成。而此题推得=,∴P与A、B、M不共面．解法二：(1）原式可变形为.∵3+（-1）+（—1)=1，∴B与P、A、M共面,即P与A、B、M共面.（2）=,∵4+（-1）+(-1）=2≠1，∴P与A、B、M不共面。拓展研究14。已知P是ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证:（1)E、F、G、H四点共面;(2)平面EFGH∥平面ABCD.证明:（1)如右图,证存在实数λ，u使=+。连结PE、PF、PG、PH并延长分别交AB、BC、CD、DA于点M、N、Q、R。则M、N、Q、R为ABCD各边的中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形。=()+（)