数学课后导练：指数函数与对数函数的关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.函数y=的反函数(）A.是奇函数,在(0,+∞)上是减函数B.是偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.是奇函数，在（0,+∞）上是增函数D。是偶函数,在（0,+∞）上是增函数解析：令f(x）=（ex-e-x）,则f(-x）=（e—x-ex）=—f(x）。∴f（x）为奇函数。又e〉1,∴y=ex与y=e—x在（0,+∞)上分别为增函数和减函数.∴f（x）在（0,+∞)上为增函数.答案：C2。若f(10x）=x,则f(5）等于(）A.log510B。lg5C.105解析：方法一：令u=10x则x=lgu.∴f(u）=lgu.∴f（5）=lg5。方法二：令10x=5,∴x=lg5.∴f(5）=lg5.故选B。答案:B3.若函数f(x)=2x—1+3的反函数的图象经过P点，则P点的一个坐标是（）A.（1，2）B.（5,2）C。（3,1）D.(4，2)解析：y=2x—1+3的反函数为f(x）=1+log2(x-3)，检验知过点P（5，2)。答案：B4。要使函数y=x2-2ax+1在［1，2］上存在反函数，则a的取值范围是（）A.a≤1B。a≥2C。a≤1或a≥2解析:f(x)=(x-a)2+1—a2，由反函数存在条件知a≤1或a≥2.答案：C5。若y=f—1(x）为函数y=f（x)的反函数，且y=f（x）的图象过点(3,1）,则y=f—1（log2x)的图象必过点()A。(1，8)B。(8,1）C。（2,3）D.（3，2）答案：C6.函数y=—1（x≤0）的反函数是(）A。y=(x≥—1)B.y=（x≥—1)C。y=（x≥0)D.y=（x≥0)解析：∵x≤0，∴≥0.∴y≥—1。由y=—1得y+1=，∴x2=（y+1)3.∵x≤0,∴x=.∴反函数为y=(x≥-1).答案：B7。已知函数y=f(x）存在反函数，且f(3）=0,则函数y=f-1（x+1）的图象必过点（）A.（2，0)B。(0,2)C.（3，—1)D.(—1，3)解析：由f(3）=0知y=f（x)过点(3，0),∴y=f-1（x)过点（0,3）.∴y=f-1（x+1)过点(—1，3).答案:D8.已知函数y=f（x)的图象为右图中的线段AB，则f-1（x）=________。答案：2x—2（0≤x≤1）9。设g（x)=则g［g(）］=________.解析:g()=ln=-ln2〈0,∴g[g（）］=g(—ln2)=e—ln2=e=。答案：综合运用10。模拟函数y=1+ax(0〈a〈1）的反函数的图象大致是(）答案：A11。函数f(x）=ax（a〉0且a≠1）的部分对应值如下表：x02f(x）11.69则不等式f-1（｜x|）<0的解集为_______.解析:由条件知f(2)=1.69,∴a2=1。69.∴a=1。3.∴f（x)=1。3x，f-1（x)=log1.3x。由log1。3｜x|<0得0<|x|<1。∴-1〈x<1且x≠0.答案：｛x|—1〈x<1且x≠0}12。求函数的反函数。解析：当x≤—1时，f(x）=y=x2+1，∴x2=y-1。∴f—1（x）=(x≥2)。当x〉—1时，f(x）=y=1-x，则f—1（x）=1—x（x<2）.∴f-1(x）=13。已知函数f（x）=3x且f-1(18）=a+2,g(x)=3ax—4x的定义域为区间［0,1］.（1)求g（x)的解析式；(2）求g（x）的值域.解析：(1)∵f（x)=3x且f-1（18）=a+2,∴f（a+2）=3a+2∴3a∵g(x）=3ax—4x=（3a)x—4x∴g(x）=2x-4x（0≤x≤1).(2)令t=2x（0≤x≤1)，∴t∈［1，2］。则g(x)=y=-t2+t=-（t—)2+,∴当t=1即x=0时,g(x）max=0；当t=2即x=1时，g（x)min=-2.故g（x）的值域为［—2,0].14。设函数f(x）=ax2+bx+c(a、b〉0）满足f（1—x）=f（1+x），比较f(2x）与f(3x)的大小。解析：∵f（x)满足f（1-x)=f(1+x)，∴f（x）关于直线x=1对称。又a>0，f(x)开口向上,当x〈0时,2x<1，且3x〈1,2x>3x,f(x)为减函数，故f(2x）〈f（3x)；当x〉0时,2x>1，3x>1,3x〉2x，且f(x）为增函数，故f(3x)〉f(2x)；当x=0时，f(3x)=f(2x）,故f(3x)≥f(2x）.15。是否存在实数a，使得f（x)=loga（ax)在区间[2，4］上是增函数？若存在,求出a的取值范围。若不存在,请说明理由。解析：设t=，由对数定义有ax>0.∴at2-t〉0.∵a>0，t>0,∴t〉。又知u=at2-t=a（t）2在(，+∞）上是增函数,故要使f（x）在[2，4]上单调增,应有a〉1且≤2.∴存在实数a〉1满足题设要求.拓展探究16.已知函数f（x）=loga（ax-1）（a>0，且a≠1).(1）证明函数f（x)的图象不与y轴相交;（2）当a〉1时判断函数f（x)的单调性；（3)求函数y=f（2x)与g（x)=f—1（x）的图象的交点坐标.（1)证明:∵ax-1>0,∴ax>1。∴当a〉1时,x>0,这说明a>1时，函数图象在y轴右侧;当0〈a〈1时,x<0，说明0<a〈1时,函数图象在y轴左侧.∴a〉0，且a≠1时，f(x)的图象总不与y轴相交。(2）证明：当a〉1时，有x〉0，由0〈x1<x2,得1〈〈。∴f(x2)—f(x1)=loga。∵-1〉a—1,∴〉1.∴loga〉0，即f（x2)〉f(x1）。∴当a〉1时，f(x）在定义域(0,+∞)上是增函数.(3)解析：∵f（x)=loga（ax—1)，∴f—1（x）=log