数学课后导练：综合法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1若x>0，y〉0，且x+y≤4，那么≥…(）A。1B.2C.3D.4解析:∵4≥x+y≥,∴≤2,≥.而≥≥1，故选A。答案：A2已知2x+4y=1,则x2+y2的最小值是（）A。B。C.D。解析:∵y=-x，∴x2+y2=x2+（-x)2=x2—x+=（x-）2+-=(x-)2+≥。故选D.答案:D3若a〉b，m>0,则下列不等式中恒成立的是…（）A。（a+m)2〉（b+m)2B。C.（a-m)3〉(b-m)3D.｜am｜>｜bm｜解析:若取a=-2,b=-3,m=1,显然A、B、D均不成立.∵a>b,∴a-m〉b-m.又∵f(x)=x3在（—∞，+∞)上是增函数,故(a—m）3>（b—m)3.∴C正确.答案：C4设a，b∈R+，若a+b=2,则+的最小值等于…(）A.1B。3C.2D.4解析:∵a，b∈R+，又a+b=2,∴+=(+）（a+b）=（1+1+）≥(1+1+2）=2.当且仅当a=b=1时取等号，∴+的最小值为2。故选C。答案：C5设0<x〈1,a，b为正常数，则的最小值为（）A.(a—b)2B.（a+b）2C。a2+b2D。a2—b2解析：+a2+b2≥=2ab+a2+b2=(a+b）2。取“=”时a2=b2∈（0,1)。答案:B综合应用6若n为正整数，试比较与的大小。解析:∵n为正整数，-,∴.7已知a,b,c∈R+，x，y,z∈R。求证:z2≥2(xy+yz+zx).证明：2≥2xy，≥2xz，≥2yz,∴≥2（xy+yz+zx）。8已知a,b，c都是正数且a+b+c=1，求证:。证明:∵a〉0,∴。∴。同理,。又a+b+c=1，故三式相加得［2(a+b+c）+3×］=(2+5)=.9a，b是两个不同的正数，且a2+b2=1，比较大小:ab_______a2b2.解析：∵1=a2+b2≥,∴0〈ab≤1.当a2=b2,即a=，b=时取等号，ab—a2b2=-(ab—)2+。∵-〈ab—≤，∴-（ab-)2+≥0.∴ab≥a2b2.答案:≥拓展探究10求证:≤≤3.证明：设y=，则(y—1）x2+（y+1)x+y—1=0.①当y=1时x=0.②当y≠1时,上式是关于x的二次方程,一定有实数解。∴综合①②得≤y≤3,即≤≤3.备选习题11设x，y∈R+，且xy—（x+y）=1,则()A。x+y≥（+1)B.xy≤+1C.x+y≤（+1)2D。xy≥(+1)解析:求xy的范围，由条件xy—1=x+y≥,即(）2——1≥0.∴（-1）2≥2。结合xy=1+（x+y）>1,得≥+1。∴xy≥（+1）2.C，D错误。再求x+y的范围.由条件有x+y+1=xy≤()2,即(x+y)2-4(x+y)-4≥0。∴（x+y-2）2≥8.结合x+y≥≥2(+1），得x+y≥2+2.∴A选项正确.答案：A12已知实数x,y满足x2+y2=1,则（1—xy)（1+xy）的最大值是_____________.解析:∵1=x2+y2≥2｜xy|，∴0≤x2y2≤。当x=0或y=0时，x2y2=0,（1-xy）(1+xy)=1-x2y2≤1。∴（1—xy)（1+xy）的最大值是1。答案:113已知正数x，y满足=1，则xy有(）A。最小值12B最大值12C。最小值144D.最大值144解析:由=1得xy=9x+4y≥，解得xy≥144.当且仅当x=8,y=18时取等号。选C。答案：C14如果0<m<b<a,那么(）A.cos<cos<cosB.cos<cos〈cosC。cos〈cos<cosD.cos〈cos〈cos解析：∵0<m〈b<a，∴0<〈<<1〈。而余弦函数在(0,)上是减函数，∴cos〈cos〈cos.选A.答案:A15若b〈0,|a|〈｜b|<｜c|，lg(ab）+lg（bc)=lg（ab2cA.a<b<cB。b<c〈aC。c<b<aD.b<a〈c解析：由lg(ab)+lg(bc)=lg(ab2cab>0，bc〉0，∵已知b<0,∴a<0,c<0.又∵｜a|<|b|<｜c|,∴—a〈-b<-c.∴a>b>c即c<b<a。选C。答案：C16已知二次函数f（x)=ax2+bx+c和一次函数g（x)=—bx,其中a,b，c是实数，且满足a〉b>c,a+b+c=0.（1）求证:y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A，B;(2）求证:方程f(x）-g（x)=0的两根都小于2；（3）求有向线段AB在x轴上的射影A1B1的长度的变化范围.解析:∵a>b>c，a+b+c=0,∴a〉0,c〈0.(1）证明:由消去y，得ax2+2bx+c=0.①∴两图象交于不同的两点A,B方程①有两个不同实数解。∵a〉0，c〈0,∴Δ>0,∴方程①有两个不同的实根。（2)证明：令F(x)=ax2+2bx+c。∴方程f(x)-g(x）=0的两根都小于2y=F(x)的图象与x轴的交点在点（2,0)的左侧.∵a>0，∴只需证对称轴x=—<2，且F(2）>0。而a〉b>c，a+b+c=0,∴a+2b>0,∴-<〈2.又F(2)=4a