数学课后导练：综合法和分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.设x=，y=-，z=-,则x，y,z的大小顺序是(）A。x>y>zB.z〉x>yC。y〉z〉xD。x〉z〉y解析：由作差法比较可知x>z>y。故选D.答案：D2.已知a>b〉0,，,则P与Q的大小关系是（)A.P≥QB.P〉QC.P〈QD。不能确定答案:B3.若a3〈—6，下列不等式成立的是（)A。a4<6B.a2〈-C.a3—2≤-9D。a〈答案:D4。a>0且a≠1,P=loga(a2+1),Q=loga（a3+1),则P与Q的大小关系是(）A.P>QB.P〈QC。a〉1时，P〉Q;0<a〈1时,P<QD.以上都不对解析:Q-P=loga,当a〉1时，a3+1〈(a2+1）a=a3+a.则〈a,则Q-P<0。当0<a<1时，a3+1>（a2+1)a=a3+a，Q-P<0,则Q〈P,故选A。答案：A5。若x，y∈（0,+∞),且x≠y，则x3+y3__________x2y+xy2。（大小关系）解析：x3+y3-x2y—xy2=x2(x—y）+y2（y-x)=(x-y）(x2-y2)=（x—y）2（x+y)>0。答案:>6.(a2+b2)（c2+d2）__________(ac+bd）2。（比较大小)解析:∵(a2+b2)（c2+d2)—（ac+bd)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2-a2c2—b2d2=(ad)2+（bc)2—2acbd=(ad—bc)2≥0，∴(a2+b2)(c2+d2）≥(ac+bd）2。答案：≥7.已知a,b，c∈（0，+∞)，求证:≥a+b+c.证明:∵a，b，c∈(0，+∞）,∴,,。∴上述三式相加得≥a+b+c.8。设a，b,c是不全相等的正数，求证:.证明：令x=b+c，y=c+a，z=a+b,则x+y+z=2(a+b+c)。∵（)·(a+b+c）=（++)(）=(++)(x+y+z）。由++≥,x+y+z≥，∴（++)(x+y+z)≥3·=9,即（）·(a+b+c）≥9.∴≥。∵a,b，c不全相等，∴>。9。已知a≥3，求证:。证明:要证成立，即证成立,只需证(a≥3). ①由于，,∴①式显然成立。∴原不等式成立.10.已知a，b,c都是正数,求证:2()≤3（).证明：要证2(）≤3()成立，只需证a+b—2≤a+b+c—3，即证—2≤c—3.也就是要证c+2≥3。∵a,b,c是正数,∴c+2=c++≥3.综合运用11.设a，b,x,y∈R，且a2+b2=1，x2+y2=1,求证：|ax+by|≤1。证明:要证｜ax+by|≤1成立,只需证（ax+by）2≤1.也就是要证a2x2+2abxy+b2y2≤1.∵a2+b2=1,x2+y2=1,∴只需证a2x2+2abxy+b2y2≤（a2+b2)（x2+y2）,即证b2x2-2abxy+a2y2≥0.也就是要证（bx-ay）2≥0.∵(bx-ay）2≥0显然成立,∴原不等式成立.12。已知x,y∈(0，+∞）,且2x+y=1,求证：+≥3+2.证明：∵x>0,y>0，2x+y=1，∴+=（2x+y）(+)=++3≥2+3=2+3.13.已知a〉0，b〉0，c〉0，且互不相等,且abc=1.求证：++〈++。证法一:∵a，b,c是不等正数，且abc=1,∴++=++<（+）+（+)+（+)=++.证法二：a，b，c是不等正数,且abc=1,∴++=bc+ca+ab=≥=++.拓展探究14.已知a,b，c是不全相等的正数,求证：.证明：左边=（+）+（+）+(+)-