2024-2025学年广西南宁八中高二（上）诊断数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁八中高二（上）诊断数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z的模为10，虚部为−8，则复数z的实部为(

)A.−6 B.6 C.±6 D.362.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是(

)A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，则该平面图形的高为(

)A.2

B.1

C.224.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是(

)A.若α⊥β，m⊥β，则m//α

B.若m//α，n//α，α//β，则m//n

C.若m⊥β，m//n，n⊂α，则α⊥β

D.若m⊥α，n//β，α⊥β，则m⊥n5.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OPA.14OA+14OB+146.经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(1,−2)，B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)A.[0,π4]∪[3π4,π) B.[7.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若点E，F分别满足AE=23AB，AF=23A.833

B.33

8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且3(a2+c2−A.(38,34) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.第一组样本数据：x1，x2，⋯，xn，由这组数据得到第二组样本数据：y1，y2，⋯，yn，其中yi=aA.当a=1时，两组样本数据的样本平均数不相同

B.第二组样本数据的样本极差是第一组的a倍

C.第二组样本数据的样本标准差是第一组的a倍

D.第二组样本数据的样本方差是第一组的a倍10.已知向量m=(cosα,sinα)，n=(cosβ,sinβ)，且m+nA.m2+n2=1 B.cos(α−β)=0

C.11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是底面A1B1CA.A1C⊥AP

B.三棱锥P−BDC1的体积为定值

C.PC⊥平面BDC1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=6，b=(3,0)，a⋅b=−12，则13.若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程为______．14.已知在三棱锥P−ABC中，PA=4，BC=26，PB=PC=3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，且各棱长均相等，D为A1B1的中点．

16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosC+c=2a．

(1)求角B；

(2)若D为AC的中点，且BD=52，b=3，求△ABC17.(本小题15分)

对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计(满分：100分)，将数据分成五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数(求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间[70,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和2775，第三组[70,80)的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示．

(1)求A和ω的值；

(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间；

(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点，求b−a19.(本小题17分)

如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD=3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．

(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1

参考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.(−4,0)

13.x+y−3=0或x−y+1=0或y=2x

14.43π

15.解：三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，且各棱长均相等，D为A1B1的中点，

(1)证明：连接A1C，交AC1于O，连接OD，则O是A1C的中点，

∴OD/​/B1C，

又OD⊂平面AC1D，B1C⊄平面AC1D，

∴B1C/​/平面AC1D.

(2)证明：∵AA1⊥平面A1B16.解：(1)∵2bcosC+c=2a，

∴由余弦定理得2b×a2+b2−c22ab=2a−c，

即a2+c2−b2=ac，即cosB=a2+c2−b22ac=12，

又B∈(0,π)，则B=π17.解：(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数为60+702=65(分)；

平均数约为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分)；

(2)∵第三组与第四组的频率之比为3：2，

设第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为x，y，

∴根据题意可得78=35×72+25x，解得x=87，

∴2775=35[1+(72−78)2]+18.解：(1)A=2，T4=π3−π12=2π4ω，ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)．

(2)令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，求得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ．

又因为x∈[0,π]，所以函数y=f(x)在19.解：(1)当F是A1C的中点时，直线DF/​/平面ABE，理由如下：

如图，设AB的中点为N，连接EN，FN，

所以FN//BC，FN=12BC，又ED/​/BC，ED=12BC，

所以FN/​/ED且FN=ED，

所以四边形DENF是平行四边形，

所以DF/​/EN，又因为DF⊄平面A1BE，EN⊂平面A1BE，

所以DF/​/平面A1BE，

所以存在点F，使DF/​/平面A1BE，且A1FA1C=12；

(2)在平面图形中，连接CE，则∠ECD=30°，∠ECB=