2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。1.若实数m>1满足log9(log8m)=20242.设无穷等比数列{an}的公比q满足0<|q|<1.若{an}的各项和等于3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9.(本小题16分)

在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB210.(本小题20分)

在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为11.(本小题20分)

设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w参考答案1.4049

2.[−13.7

4.34

5.196.11

7.68.591

9.解：由题意知，sinA+cosA=sinB+cosB，

所以2sin(A+π4)=2sin(B+π4)，

所以A+π4=B+π4或(A+π4)+(B+π4)=π，即A=B或A+B=π2，

当A=B时，C=π−2A，且A∈(0,π2)，

由cosC=sinA+cosA2，知cos(π−2A)=sinA+cosA2，即−2cos2A=sinA+cosA，

所以2(sin2A−cos2A)=sinA+cosA，

所以2(sinA+cosA)(sinA−cosA)=sinA+cosA，

因为A∈(0,π2)，所以sinA+cosA≠0，所以sinA−cosA=12，10.解：考虑以(0,y0)为圆心的好圆Ω0：x2+(y−y0)2=r02(r0>0)．

由Ω0与Γ的方程联立消去x，得关于y的二次方程2y2−2y0y+y02+1−r02=0．

根据条件，该方程的判别式Δ=4y02−8(y02+1−r02)=0，因此y02=2r02−2．

对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．

设P(0,ℎ)，Ω1，11.解：根据z+w=2，得w=2−z，

可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．

|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．

以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，

(3−5,0)，(3+5,0)的距离，

将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，

因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．