2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1,2,3，B=xy=lg5−A.0,1 B.−1,1 C.−1,0,1 D.−1,0,1,22.设m∈R.下列选项中，|m+1m|>2的充要条件是A.m≠0 B.m≠1 C.m2≠1 3.函数f(x)=ex+1eA. B.

C. D.4.下列说法错误的是(

)A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200

B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10

C.在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=3.937，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x0.05=3.841)，可判断5.已知a=log23，b=(32)23，c=cos(−A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b6.若cos(α+π4)=A.−125 B.65 C.127.已知函数f(x)=log3x3⋅log3x27，若A.34 B.32 C.2 8.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P(x,33)，则A.3−326 B.3二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1]时，f(x)=−2x2+2，则下列结论错误的是A.f(113)=−169 B.f(x−7)为偶函数

C.f(x)在(10,12)上单调递增 D.三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，复数z满足z(1−i)=1−3i，则|z|=11.(x−12x)6的二项展开式中的常数项为12.若α∈(0,π2)，且cos2α=cos(α−π13.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．

(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是______；

(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为______．14.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π2))的部分图象如图所示，若函数g(x)=|f(x)−12|在15.已知x1，x2是函数f(x)=2sin(ωx+φ)−3(ω>0,|φ|<π2)的两个零点，且|x1−x2|min=π四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知f(x)=63sinxcosx+6cos2x−3．

(1)求函数y=f(x)的最小正周期T；

(2)求函数y=f(x)的单调增区间；

(3)17.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx−cos2x+m的最小值为−1．

(1)求m的值；

(2)若f(x)的定义域为[0,π]，求f(x)的单调递增区间；

18.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点，AB=AC=AA1=2．

(1)求证：EF//平面ABC；

(2)19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，焦距为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线l与椭圆C交于B，D(异于点A)两点，直线AB，AD20.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2−eλx−1x．

(1)当λ=1时，求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若x≥1时，f(x)≤0，求λ的取值范围；

参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.A

7.D

8.C

9.ABD

10.211.−512.π1213.0.7

0.8

14.[−1115.(5π16.解：(1)f(x)=33sin2x+3cos2x=6[sin2x⋅32+cos2x⋅12]=6sin(2x+π6)；

则T=2π2=π；

(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得17.解：(1)因为f(x)=3sin2x−cos2x+m=2sin(2x−π6)+m，

又sin(2x−π6)∈[−1,1]，

又函数f(x)=sin2x+23sinxcosx−cos2x+m的最小值为−1，

则−2+m=−1，

得m=1；

(2)由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，

则kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，

所以函数f(x)在[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z上单调递增，

令k=0，

所以函数f(x)在[−π6,π3]上单调递增，

令k=1，

函数f(x)在[5π6,4π3]上单调递增，18.解：(1)证明：设AC1∩A1C=O，连接OF，OE，则O为AC1，A1C的中点，

因为O，F分别为A1C，CD的中点，则OF//A1D，

且A1D//AB，则OF/​/AB，

由OF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，可得OF//平面ABC，

又因为O，E分别为AC1，AA1的中点，则OE/​/AC，

由OE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，可得OE/​/平面ABC，

且OF∩OE=O，OF，OE⊂平面OEF，可得平面OEF/​/平面ABC，

由EF⊂平面OEF可得EF/​/平面ABC．

(2)由题意可得：A1D=1,C1D=5，

作A1M⊥C1D，垂足为M，

因为CC1⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1，可得CC1⊥A1M，

且C1D∩CC1=C1，C1D，CC1⊂平面CC1D，可得A1M⊥平面CC1D，

由等面积可得A1M=A1D⋅A1C1C1D=1×25=255，

可知点A1到平面CC1D的距离为A1M=255，

且点D为A1B1的中点，则点B1到平面CC1D的距离d=A1M=255，

取BB1的中点G，GB1的中点H，连接GA1，DH，

则A1E/​/BG，A1E=BG，则A1EBG为平行四边形，可得A1G//BE，

又因为D，H分别为A1B1，B1G的中点，则DH//A1G，且DH=12A1G=52，

可得DH/​/BE，

可知直线BE与平面CC1D所成角即为直线DH19.解：(1)因为椭圆C的离心率为12，焦距为2，

所以e=ca=122c=2，①

又a2=b2+c2，②

联立①②，解得a=2，b=3，

则椭圆C的方程为x24+y23=1；

(2)由于B，D异于A，

不妨设直线BD的方程为x=my+1，B(x1,y1)D(x2,y2)，

联立x24+y23=1x=my+1，消去x并整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，

由韦达定理得y1+20.解：(1)当λ=1时，f(x)=x2−ex−1x，f′(x)=2x−(1+1x2)ex−1x，

则f′(1)=2−2e0=0，

又f(1)=0，

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0．

(2)由x≥1时，f(x)≤0，即λ≥1x2+2lnxx对x≥1恒成立，

令g(x)=1x2+2lnxx，则g′(x)=−2xx4+2−2lnxx2=2(x−1−xlnx)x3，

令ℎ(x)=x−1−xlnx，x≥1，

所以ℎ′(x)