第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（13类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断求含cosx的函数的奇偶性2023年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式2022年天津卷，第3题,5分函数奇偶性的应用函数图像的识别根据解析式直接判断函数的单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。2.能掌握函数的性质3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题4.会解周期性与对称性的运算.【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。知识讲解知识点一.函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3.函数单调性的等价结论函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．（5）对勾函数（耐克函数）形如（，且为常数）在和上为增函数，在和上为减函数.对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.4.判断函数单调性的四种方法：1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.知识点二.函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义：奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔f(−x)f(x)2.判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)ffff[g偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数总结：奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇3.函数奇偶性的常用结论1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．知识点三.周期性与对称性1.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2.中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心3.周期性与对称性的常用结论（1）函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.=1\*GB3①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；=2\*GB3②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；=3\*GB3③若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则函数的周期为2a；=4\*GB3④若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则函数的周期为2a；（2）对称轴常见类型=1\*GB3①fx+a=f(−x+b)⇔y=f(x)图像关于直线x=a+b=2\*GB3②fx+a=f−x+a⇔y=fx=3\*GB3③fx=f−x+2a⇔y=fx=4\*GB3④f−x=fx+2a⇔y=fx（3）对称中心常见类型=1\*GB3①f(x+a)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)图像关于直线(a+b2,c)对称=2\*GB3②的图象关于点对称=3\*GB3③的图象关于点对称=4\*GB3④的图象关于点对称（4）周期与对称性的区分=1\*GB3①若fx+a=±f(x+b)，则具有周期性；=2\*GB3②若fx+a=±f(−x+b)，则具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。考点一、函数的单调性1.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞A．f(x)=−lnx C．f(x)=−1x 2.（2020·山东·高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fA．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A．fx=−x B．fx=232.（2024高三·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的偶函数，函数gx满足gx+g−x=0，且A．fgx在B．ggx在C．gfx在D．ffx在3.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2A．fx=4x−xC．fx=−sin4.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数y=fx，x∈R.若fA．函数fx在−B．函数fx在−C．函数fx在−D．函数fx在−考点二、函数的单调区间1.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝1xA．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数y=|x|(1−x)在区间A上是减函数，那么区间A是.1.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数y=−x22.（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）函数fx=π3.（2023·海南海口·二模）已知偶函数y=fx+1在区间0,+∞上单调递减，则函数y=fx−14.（22-23高三上·北京·阶段练习）能够说明“若g(x)在R上是增函数，则xg(x)在R上也是增函数”是假命题的一个5.（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）若fx=aex6.（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数y=fx在区间I上是严格增函数，而函数y=fxx在区间I上是严格减函数，那么称函数y=fx是区间I上的”缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.已知函数fx考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围1.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−aA．−∞,−2 C．0,2 D．2,+2.（2024·湖北·二模）已知函数fx=logA．1,+∞ B．ln2,+∞ C．2,+1.（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1A．2,6 B．−C．4,12 D．−2.（2024·吉林·二模）若函数fx=lnax+1在1,2上单调递减，则实数3.（2024·全国·模拟预测）命题p:0<a<1，命题q：函数fx=loga6−axa>0,a≠1在A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点四、函数的奇偶性1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）A．y=ex−x2x2+1 2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=x3−A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减1.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=lnA．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 C．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 2.（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞A．fx=1C．fx=23.（2024·湖北武汉·模拟预测）函数fxA．是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增 B．是偶函数，且在区间0,+C．是奇函数，且在区间0,+∞上单调递增 4.（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（

）A．f（x）=C．fx=x 考点五、利用函数奇偶性求参数1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexA．−2 B．−1 C．1 D．22.（2023·全国·高考真题）若fx=x+aA．−1 B．0 C．12 1.（2024·黑龙江·三模）已知函数fx=ex+e−xsinx−2A．−4 B．0 C．2 D．42.（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数fx=x3x2+2+3在区间−2023,2023上的最大值为3.（23-24高三上·福建莆田·期中）函数fx=x2−6xsinx−3+x+ax∈0,6的最大值为4.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的函数fx=2tx25.（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数fx在3,7上是增函数且最小值5，那么fx在区间A．增函数且最小值为−5 B．减函数且最小值为−5C．增函数且最大值为−5 D．减函数且最大值为−5考点六、利用函数奇偶性求解析式1.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数y=fx,x∈R为奇函数，当x≥0时，fx=2xA．2x3+C．−2x3+2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2x+1，则1.（2024·江西景德镇·三模）已知函数fx=(12A．−12x B．12x 2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知fx为奇函数，gx为偶函数，且满足fxA．ex−e−x2 B．ex3.（2024·云南昆明·模拟预测）已知fx，gx分别为定义在R上的奇函数和偶函数，fx+gx4.（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且5.（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x−cosx+1，则当x⩾0考点七、利用单调性奇偶性解不等式1.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+A．−2,0 B．−C．−2,0∪1,2 2.（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=log4(A．(−∞,−2] B．(−∞,−2]∪[0,+∞)1.（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于xA．13,+∞ B．−∞,12.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数fx在R上单调递增，且f2=1A．−1,1 B．−2,2 C．−2,+∞ D．3.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2A．−∞,−3 C．−∞,−3∪4.（2014·全国·高考真题）已知偶函数fx在0,+∞单调递减，f2=0.若fx−1>05.（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=x3+2x−1,x≤1,考点八、函数的对称性1.（·全国·高考真题）函数f(x)=1A．y轴对称 B．直线y=−xC．坐标原点对称 D．直线y=x对称2.（2024·四川成都·三模）函数y=32x与A．关于x=2对称 B．关于x=1对称C．关于x=12对称 D．关于1.（2024·吉林长春·模拟预测）函数f(x)=xA．(0,0) B．(1,−2) C．32,−272.（2024·宁夏银川·三模）已知函数fxA．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于3.（23-24高三上·北京·开学考试）下列函数中，没有对称中心的是（

）A．f(x)=1x+1 C．f(x)=tanx 4.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数y=xA．该函数图象关于点1,1对称；B．该函数的图象关于直线y=−x+2对称；C．该函数在定义域内单调递减；D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=1考点九、利用函数对称性求解析式1.（高考真题）与曲线y=1A．y=11+x B．y=−11+x C．2.（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线A．y=ln(1−x) B．y=ln(2−x) C．1.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）下列函数中，其图象与函数f(A．y=−2x B．y=2−x C．2.（22-23高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数y=log2xA．y=log22+xC．y=log24+x3.（2022·湖北·模拟预测）下列函数与y=2A．y1=−2C．y1=−24.（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点1,0对称的函数的解析式．5.（22-23高三上·广东汕头·期末）写出符合如下两个条件的一个函数fx=．①f−x−fx+2=06.（20-21高三上·北京西城·期中）函数f(x)的图象与曲线y=log2x关于xA．2x B．C．log2(−x) 考点十、函数的周期性1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f2x+5的周期是3，则fA．32 B．3 C．6 2.（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数D(x)=1,xA．D(D(x))有零点 B．D(x)是单调函数C．D(x)是奇函数 D．D(x)是周期函数1.（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知实数a>0，函数fx的定义域为R，则“对任意的x∈R，都有fxA．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题：甲：已知函数y=f(x)和y=g(x)定义域均为R，最小正周期分别为T1、T2，如果T1乙：y=f(x)不是周期函数，y=|f(x)|一定不是周期函数；丙：函数y=f(x)在R上是周期函数，则函数y=f(x)在[0,+∞)上也是周期函数.其中正确的命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为．4.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数p>0，使得函数fx满足fpx=fpx−p考点十一、奇偶性与周期性求值1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数fx满足f1−x=fx+1，且y=fx+2为奇函数．当x∈A．−5 B．−2 C．−1 D．12.（2024·福建泉州·模拟预测）已知y=fx+1+1为奇函数，则A．6 B．5 C．−6 D．−51.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(3x)=4f(x)且f(1−x)+f(x)=2，则f2A．32 B．12 C．232.（2024·贵州黔西·一模）已知f(x+4)=f(−x)，f(x+1)为奇函数，且f(2)=2，则f(2023)+f(2024)=（

）A．4047 B．2 C．−2 D．33.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+1=f1−x，且x∈[0,1]时，A．−1 B．1 C．7 D．−4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x都有fx+3=fx+2fx+1，fx5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=log2x−a+1，当x∈x考点十二、奇偶性与周期性求参数1.2024·全国·模拟预测）若函数fx=4x−4A．0 B．−1 C．1 D．22.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1exA．1 B．2 C．e D．e1.（2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6mA．-4 B．-3 C．-2 D．-12.（2023·山西临汾·模拟预测）若9a+a−2⋅3A．13 B．12 C．13.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数fx=x2+2xA．0 B．1 C．2 D．34.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数gx=x3−9x2+29x−30，5.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数fx=x2−2xx2+ax+b的图象关于x=−26.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x+alog2x−2考点十三、奇偶性与周期性解不等式1.（2022·四川凉山·二模）定义在R上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，当0≤x≤1时A．12,+∞C．4k+12,4k+2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数f(x−1)是偶函数，f(x)在区间[−1,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则不等式A．(−3,−1)∪(1,+∞) C．(−∞,−2)∪(−1,1) 1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数fx=xA．13,+∞ B．1,+∞ C．2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 3.（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知fx+1是偶函数，fx在1,+∞上单调递增，fA．1,+∞ B．C．−2,0∪0,2 4.（2022·上海·模拟预测）设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足fπ=1，f2π=05.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数fx满足fx=f4−x，且当x∈0,2时fx=6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)在R上单调递增，若f(4−x)+f(x)=2，且f(3)=2，则0≤f(x−1)≤2的解集为.1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=xA．−1 B．0 C．1 D．22．（2024·山东泰安·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f2x+1为偶函数，若函数gx=fA．1 B．2 C．3 D．04．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=3x与A．关