第12讲 函数的单调性与最值（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第12讲函数的单调性与最值（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断通过导数的正负判断函数的单调性2.能掌握集合函数最值与导数的关系3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值4.会通过函数的单调性解抽象不等式.【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。知识讲解知识点一.函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数2.常用结论（1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．知识点二．函数的最值与导数1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤（1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；（2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3.常用结论.（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一、不含参函数的单调性与单调区间1.（广东·高考真题）设函数fx=xlnx，则2.（重庆·高考真题）设函数f(x)=x3+ax2（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数y=fx1.（2005·北京·高考真题）已知函数f(1)求fx(2)若fx在区间−2,22.（2024·黑龙江·模拟预测）已知f(x)=ax+bcosx在点π2(1)求a,b的值；(2)求fx在区间[0,3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数fx=ex−a(1)求实数a的值；(2)求fx考点二、含参函数的单调性与单调区间1.（·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−b(x−1)2，求导函数f2.（全国·高考真题）已知a∈R，求函数1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数fx=2ax−ln(1)若a=1，求函数fx(2)试讨论函数fx3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=x3+a（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．考点三、已知函数的单调性求参数1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=aeA．e2 B．e C．e−1 2.（2023·全国·高考真题）设a∈0,1，若函数fx=ax1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．2.（2016·全国·高考真题）若函数fx=x−13sinA．−1,1 B．−1,13 C．−13.（上海·高考真题）已知函数f(x)=x2+ax（1）讨论函数fx（2）若函数fx在[2,+∞)上为增函数，求a4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数fx=2−xexA．−∞,5e B．5e,+∞ 5.（2023·宁夏银川·三模）若函数f(x)=x22A．0<m<23 C．23≤m≤1考点四、已知函数存在单调性求参数1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数ℎx=lnx−1A．−1,+∞ B．−1,+∞ C．−∞2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间(0,π)上，函数y=a−A．(−∞,1) C．(−∞,π1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数f(x)=x3+bx2A．−5,+∞ B．−3,+∞ C．−∞2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数fx=lnx+axA．−2,+∞ B．−18,+∞ 3.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=14xA．−∞,2C．−∞,24.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数fx=lnx+ax2−25.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数y=fx，其中f(1)求f'(2)若y=fx在[1,+(3)若y=fx在[2,4]考点五、求已知函数的最值1.（2021·全国·高考真题）函数f(x)=|2x−1|−2lnx2.（2018·全国·高考真题）已知函数fx=2sinx+sin1.（2021·北京·高考真题）已知函数fx（1）若a=0，求曲线y=fx在点1,f（2）若fx在x=−1处取得极值，求f2.（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=12−x（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．3.（2017·北京·高考真题）已知函数f(x)=e（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=32xA．（5，9） B．（－5，5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数y=x3−3x−a在区间0,3上的最大值、最小值分别为M,NA．14 B．16 C．18 D．20考点六、利用单调性解抽象不等式1.（2007·陕西·高考真题）fx是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'A．afb≤bfaC．afa≤fb2.（2004·湖南·高考真题）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0A．(−3,0)∪(3,+∞) C．(−∞,−3)∪(3,+∞1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数fx，若满足x−1A．f0+f2C．f0+f22.（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f'x，且f1=e，当A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 3.（2024·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f'xA．−2025,−2024 B．−2024,0C．−∞,−2024 4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f'(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf'(x)>0A．(1,+∞) C．(−∞,1) 5.（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xfA．−∞,1 B．−∞,2 C．1．（2020高三·山东·专题练习）若函数y=x3+x2A．−∞,13 B．13,+∞ C．2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数f(x)=12xA．(0,e) B．(e,+∞)3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知fx=2x2−ax+lnx4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数fx=x3−3ax25．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数f(x)=1（1）当a=−1时，求函数f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数g(x)=f(x)−ax在(0,+∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.6．（20-21高三上·天津·期中）设函数fx=x3+mx+1，曲线y=f（1）求实数m；（2）求fx7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数fx(1)当m=2时，求fx在1,f(2)讨论fx(3)若fx1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx(1)当a=0时，求fx在点π(2)当a=8时，讨论函数fx(3)若fx<sin2．（2023·天津河北·一模）已知函数fx(1)求fx(2)证明：fx(3)若a>0,b>0，且ab>1，求证：f3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数fx=ln(1)求曲线y=fx在点0,f(2)证明：gx(3)当x≥0时，ax⋅fx≤gx4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)当a>0时，求函数y=fx(3)在（2）的条件下，当x∈1,3时，12≤f5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数f(x)=(x−1)ex+a(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<−1时，若f(x)的极小值点为x0，证明：f(x)存在唯一的零点x1，且6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数fx=e(1)当a=3时，求曲线y=fx在点0,f(2)讨论函数fx(3)当a>1时，证明：fx7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=lnx+a+1(1)若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求(2)当x≥−2时，函数y=gx(3)若∀x∈0,+∞，不等式g'1.（重庆·高考真题）设函数fx=x3−3a(1)求a，b的值；(2)求函数fx2.（海南·高考真题）设函数f(1)讨论fx(2)求fx在区间−3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=In(1+x)-x+k2x2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1