第22讲 平面向量的数量积（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第22讲平面向量的数量积（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第14题,5分平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示2023年天津卷，第14题,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握向量的数量积公式2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问题。知识讲解知识点一．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．知识点二．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.知识点三．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.知识点四．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知识点五．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))知识点六.常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.考点一、平面向量数量积的计算1.（2024·河南濮阳·模拟预测）已知向量a=2，b在a方向上的投影向量为−3a，则A．12 B．−12 C．6 D．−6【答案】B【分析】由题意得bcos【详解】因为b在a方向上的投影向量为−3a所以bcos而a=2，a≠0所以a⋅故选：B.2.（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点M(a2c,m)A．23 B．53 C．63【答案】C【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得2a【详解】由以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,0)，得FM⊥FN，即而FM=(a2−c由(OM−2则(a2c)2整理得2a2=3c2，解得c故选：C1.（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，设点D为AC的中点，E在BC上，且AE⋅A．16 B．12 C．8 D．−4【答案】A【分析】以B为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可.【详解】因为在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，以则A4,0，B0,0，C0,6，D2,3，设E0,b，则由题意可知AE⋅BD=0.即−4,b⋅2,3所以E0,83，∴故选：A.2.（2024·湖北·模拟预测）直线y=kx与圆x−12+y−1A．11+k2 B．k2【答案】C【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出x1【详解】联立y=kxx−12+则Δ>0，即4k+12设Mx1,y1OM故选：C3.（2024·河南周口·模拟预测）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD为BC上的高，垂足为D，点E为AB上一点，且AE=2EBA．−43 B．43 C．−【答案】A【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得CE⃗【详解】如图所示，由题意可知，AC=22，∠ADC=π2，∠ACD=因为AE=2EB，所以CE=则CE=1故选：A.4.（2024·四川凉山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重心，则OG⋅BC【答案】4【分析】设BC的中点为D，根据三角形外心性质，得GD⊥BC，由重心性质得OD=【详解】设BC的中点为D，连接AD,GD，由点G为△ABC的外心，可得GD⊥BC，由点O为△ABC重心，可得OD=故OG===1

故答案为：435.（2024·天津河西·二模）在四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分别为线段AB、CD的中点，若设AD=a，BC=b，则EF可用a，b表示为【答案】12a【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定CD及CD与AD，BC的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空.【详解】由题意得，EF=EA+由E、F分别为线段AB、CD的中点，知EA+EB=因此，2∴EF延长AD、BC交一点G,由AB⊥AD,∠ABC=60∘，AB=2，∴AG=23∵AD=3,又∵CB⊥CD，∴∠GCD=90∘,∴CD=32∴EF⋅CD故答案为：12a考点二、模长问题1.（2020·全国·高考真题）设a,b为单位向量，且|a+b【答案】3【分析】整理已知可得：a+b=a+b2，再利用a【详解】因为a,b所以a解得：2所以a故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.2.（2024·河南·二模）若向量a,b满足b=1,A．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．【详解】因为向量a，b满足|b|=1，(a所以(a+b所以(a+2b故选：A．1.（2024·河南濮阳·模拟预测）已知A1,0，B0,1，Ccosα,sinα，A．3π4 B．π2 C．π【答案】C【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得tanα=1【详解】由题意可得：AC=若AC=BC，则可得2−2cosα=2−2sin且α∈0,π，所以故选：C.2.（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夹角为π3，a=−32A．1 B．32 C．2 D．【答案】D【分析】分析可知a=1，向量a，a−b的夹角为π【详解】因为a=−3且非零向量a，b的夹角为π3，a−b=1，可知向量a，则a⋅所以a+故选：D.3.（2024·陕西西安·三模）已知向量a=2,m，b=1,1，A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解.【详解】因为向量a=2,m，b=1,1，由a+b=故选：A4.（2018·辽宁朝阳·三模）已知向量a与b的夹角为60∘，a=2，b=3，则【答案】6【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.【详解】由题意，向量a与b的夹角为60∘，a=2，所以3a所以3a故答案为：65.（2024·四川资阳·二模）已知向量a，b的夹角为150°，且a=2，b=2，则A．1 B．2−3 C．2+3 【答案】D【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.【详解】因为a⃗所以a−故选：D6.（24-25高三上·广东·开学考试）已知p=sinx,−1，q=cosx,【答案】3【分析】借助向量垂直可得其数量积为0，利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即可得解.【详解】由p⊥q，则有p⋅又p−则p−故p−故答案为：37.（24-25高三上·湖北·阶段练习）若平面内不共线的向量a,b,c两两夹角相等，且a【答案】3【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解.【详解】因为平面内不共线平面向量a,即a,b,a===3故答案为：3.考点三、角度问题1.（2020·浙江·高考真题）设e1，e2为单位向量，满足|2e1−e2|≤2，a=e【答案】28【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得e1⋅e【详解】∵|2e∴4−4e∴e∴=4故答案为：2829【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.2.（24-25高三上·贵州·开学考试）若向量a=−2,2，b=−1,3的夹角为A．−255 B．55 C．【答案】C【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可．【详解】由题可知，cosθ=故选：C．1.（2024·山西太原·二模）已知a=b=1，c=3，aA．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】依题意可得c=−a+【详解】因为a=b=1，c所以c=−a+b，则解得a⋅设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅所以θ=60°，即a与b的夹角为60°.故选：C2.（2024·甘肃兰州·三模）已知向量a=(1,−2),b=(−1,−2)，设a与b的夹角为θA．−35 B．35 C．−【答案】D【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.【详解】因为a=(1,−2),所以a⃗⋅b所以cosθ=因为θ为a与b的夹角，所以sinθ=故选：D3.（23-24高三上·湖北十堰·开学考试）已知平面向量a→,b→满足a⋅a+A．−12 B．−32 C．【答案】D【分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解.【详解】a因为a故选：D.4.（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知向量a,b满足a=4,b=10，且a在b上的投影向量为−A．π6 B．π3 C．2π【答案】C【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.【详解】依题意，a在b上的投影向量为a⋅b|于是cos〈a,b〉=所以向量a与向量b的夹角为2π故选：C5.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量a=1,2,b=2−λ,λ，若a与【答案】−2,【分析】根据题意列出不等式即可.【详解】因为a,→所以a→·b所以2−λ+2λ>0λ≠2×(2−λ)解得λ>−2且λ≠故答案为：−2,4考点四、向量垂直的应用1.（2021·全国·高考真题）已知向量a=1,3,b=3,4，若【答案】3【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为a−λb=31−3λ+43−4λ故答案为：35【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a=a⊥2.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知向量a=log43,sin5πA．−23 B．−3 C．3 【答案】C【分析】根据向量数量积的坐标表示结合对数的运算即可求解.【详解】由a⊥b，可知即log48−3故选：C1.（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）已知点M1,−1和抛物线C:y=14x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,BA．1617 B．−1617 C．1【答案】C【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB方程y=kx+1，然后由直线方程与抛物线方程联立，消去【详解】抛物线标准形式x2=4y，焦点坐标0,1，设Ax直线AB方程y=kx+1，代入抛物线方程得x2所以Δ=16k2+16>0，y1+y所以AM⋅BM=得4k故选：C.2.（2023·河南·模拟预测）已知向量a=2cos75°,2sinA．8 B．−8 C．4 D．−4【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为a⋅a=2，b所以2a所以λ=8.故选：A3.（2024·西藏·模拟预测）已知向量a=cosα+π3,sinA．−2 B．−12 C．1【答案】A【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到a=b=1再依据向量垂直的条件建立方程求解即可.【详解】由题意得a=b=1=cosα+π所以2a+b⋅a+xb故选：A．4.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知向量m=sinα+π2,1,A．32 B．12 C．34【答案】B【分析】由m⊥n，所以m⋅n=0【详解】由m⊥n，所以m⋅化简得cos2α=14，由故选：B.5.（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，经过F2的直线l与C交于A、B两点，若F1AA．x29+y24=1 B．【答案】A【分析】由题意可知：BA⊥BF1，根据数量积的几何意义可得F1B=4【详解】因为BF1⋅则F1A⋅可得F1B=4，AB=3，即F1由椭圆定义可得4a=AF1且F2B=2即2c=25，可得c=5，所以椭圆C的方程为x2故选：A.考点五、投影问题1.（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知a=1,b=2,a−A．12b B．12a C．【答案】C【分析】先根据数量积的运算律求出a⋅【详解】由a−b=所以a⋅所以a在b上的投影向量为a⋅故选：C.2.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量a,b满足a=2,b=A．16,0 B．13,0 C．【答案】C【分析】将a−b=【详解】因为a=2,b=3所以a−b2所以向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅故选：C1.（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量a，b满足a=b=a+A．2b B．32b C．b【答案】B【分析】利用向量的模长关系可得a⋅【详解】根据题意a=b=所以，则所以a⋅则a+2b在b方向上的投影向量为故选：B2.（2024·湖北·模拟预测）已知向量a=1,0,b=A．12,12 B．22,【答案】A【分析】设出c的坐标，利用给定条件得到c，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设c=x,y，因为所以1×x+0×y=10×x+1×y=1，解得x=1y=1，即向量a在向量c上的投影向量为a⋅故选：A.3.（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量a=2,m，b=n,1，c=m+1,−1，若a⊥A．−22 B．−105 C．10【答案】B【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出m，n，得到b和a+【详解】由a⊥b得由b//c得m+n+1=0，所以m=−2，所以b=1,1，a→=(所以b在a+c方向上的投影数量为故选：B．4.（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）在三角形ABC中，若AB⋅AC=0,BC=2BO，则向量【答案】1【分析】由题意可得O为线段BC的中点，∠BAC=90°，则△AOB为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为BC=2BO，所以O为线段因为AB⋅AC=0，所以AB所以OA=OB=OC，所以△AOB为等腰三角形，所以向量AO在向量AB上的投影向量为AO=AO故答案为：125.（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，点D是AC中点，点M满足BM=2MC，记BA=a，BD=b，请用a，b表示AM=；若BA【答案】43b【分析】由题意可得AM=23BC−BA，BC=2BD−【详解】根据题意，可得AM=由点D是AC中点，可得BC所以AM=向量AM在向量BD上的投影向量AM·因为BA⋅BD=−5所以向量AM在向量BD上的投影向量的模为：|AM当且仅当43|b所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值为203故答案为：①43b−5考点六、数量积求最值取值范围问题1.（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=【答案】14a【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE⋅【详解】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=两式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因为BF=13BC，则得到AF+即3AF=2a于是AE⋅记AB=x,AC=y，则AE⋅在△ABC中，根据余弦定理：BC于是AE⋅由x2+y故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，则x=y=1时，AE⋅AF有最大值故答案为：14a+

2.（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示【答案】32b【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA【详解】方法一：DE=CE−CD3b2+a2=4a⋅b故答案为：32b−方法二：如图所示，建立坐标系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(−x+3DE⊥AB⇒(x+32)(x−1)+y22=0⇒(x+1)2+y2故答案为：32b−1.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=；F为线段BE上的动点，【答案】43【分析】解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF⋅DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得【详解】解法一：因为CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由题意可知：BC=因为F为线段BE上的动点，设BF=k则AF=又因为G为AF中点，则DG=可得AF=1又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF⋅DG解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A−1,0可得BA=因为BE=λBA+μBC=因为点F在线段BE:y=−3x,x∈−13且G为AF中点，则Ga−1可得AF=则AF⋅且a∈−13,0，所以当a=−1故答案为：43；−2.（2024·浙江·二模）已知向量a→，bA．1 B．2 C．2 D．5【答案】C【分析】设向量a,b的夹角为θ，化简a−2b1−【详解】由向量a,设向量a,b的夹角为由1−(a⋅所以a设x=cos令f(x)=5−4x则f'令f'(x)>0，则12<x<1，所以令f'(x)<0，则−1<x<12，所以所以f(x)的最小值为f(1所以a−2b1−故选：C.3.（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，AB=2，AC=23，AC⊥AB，∠ADC=2π3A．−3 B．−23 C．−1 【答案】D【分析】由已知，得A，B，C，D四点共圆，从而判断点D的轨迹是以AC为弦，圆周角为2π3的劣弧（不含A，C【详解】由AB=2，AC=23，AC⊥AB可得tan∠ABC=ACAB又∠ADC=2π3，所以以BC为直径作圆，则A，B，C，D四点共圆，如图所示，故点D的轨迹是以AC为弦，圆周角为2π3的劣弧（不含A，C则AD⋅又|AD|⋅cos∠BAD由图可知，|AD|⋅cos故AD⋅AB≥−2（此时点D即AD⋅AB的最小值为故选：D．【点睛】关键点点睛：①由∠ADC+∠ABC=π，得到A，B，C，D四点在以BC②|AD|⋅cos∠BAD看作是4.（24-25高三上·广东·开学考试）已知单位向量e1,e2的夹角为A．12 B．32 C．1 【答案】B【分析】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可.【详解】易知e1所以e=t即当t=12时，故选：B．5.（2024·天津河西·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC⋅AB=32，点M满足AM=13AB，则∠BAD=；若BD与CM相交于点P【答案】2π3【分析】结合图形，利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得∠BAD；接着根据条件建立平面直角坐标系，设N(12t,32t),运用向量数量积的坐标运算式,将【详解】由图知，AC⋅解得，cos∠DAB=−12，因0<∠DAB<如图建立平面直角坐标系，因∠DAB=2π3，AB//CD,AD=CD=1,则A(0,0),B(3,0),C(12,32直线BD的方程为：3x+7y−33=0,两直线联立解得x=因N为线段AC延长线上的动点，故可设N(12t,于是，NP=(23−因t>1，故当t=76时，NP→故答案为：2π3；1．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知向量m=2,0，A．m=n C．m⊥n 【答案】D【分析】根据平面向量数量积、模的坐标表示计算可得.【详解】因为m=2,0，所以m=2，n因为2×1≠0×1，所以m与n不共线，故B错误；m⋅n=2×1+1×0=2，所以m又m−n=所以m−故选：D2．（23-24高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AB=2,AD=2,∠BAD=45°，则

A．−32 B．−2 C．−1【答案】C【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF:BA=DE:BE=EF:AE=1:3，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用AD，AB表示，计算即可得到结果．【详解】平行四边形ABCD，AB=2，AD=2，∠BAD=45°，DF//AB可得△DEF∽△BEA，E是线段OD的中点，可得DF:BA=DE:BE=EF:AE=1:3，AF=2BE=则AF⋅BE=34×(2−故选：C3．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知单位向量e1与e2的夹角为π3，则向量e1+2【答案】2π3【分析】利用平面向量运算法则计算出e1+2e【详解】因为单位向量e1与e2的夹角为所以e1所以e1e1+2e2e1−3所以cose又e1所以向量e1+2e2与故答案为：24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AM=13AD，AP=12AB，过M点作MN∥AB交BC于N点，若E，F分别是【答案】5【分析】根据题意建立平面直角坐标系xOy，利用坐标表示向量，计算PE⋅【详解】由题意，建立平面直角坐标系xOy，如图所示：过点F作FG⊥MN，垂足为G，则FG=2由AM=13AD，AP=12AB，可设E(x,1)，x∈[0,所以PE=(x−2,1)，PF=(x+2所以PE⋅当x=2−22时，PE⋅故答案为：525．（23-24高三上·天津·期中）在直角梯形ABCD中，∠DAB=90∘,AB∥CD，且AB=2CD=2，若AC⋅【答案】−1【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设AD=t（t>0【详解】如图，以AB,AD所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，设AD=t（t>0则A(0,0),B(2,0),C(1,t),D(0,t)，AC=(1,t),AC⋅AD=即有AC⋅故答案为：−1.6．（23-24高三上·天津红桥·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC=3，点M满足BM=2MA，则CM⋅

【答案】3【分析】先利用基底法求出CM=【详解】因为∠C=90°，所以CB⋅因为BM=2MA，所以CM=则CM⋅故答案为：3.7．（23-24高三上·天津北辰·阶段练习）在平行四边形ABCD中，AB=23，AD=6，向量AB在向量AD上的投影向量为12AD，则【答案】30°/π【分析】作出图形，在直角三角形中求解．【详解】如图，作BE⊥AD于点E，由题意E是AD中点，即AE=在直角△ABE中，cos∠BAE=AEAB故答案为：30°．1．（23-24高三上·天津·期末）已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2A．y=±22x C．y=±3x 【答案】D【分析】不妨设渐近线OP的方程为y=bax，求出点P的坐标，根据已知条件可得出关于a,b【详解】设双曲线x2a2−y2b不妨设渐近线OP的方程为y=b

因为直线PF2与直线y=bax联立y=bbxy=−a所以，PF因为OQ⊥PF1，所以又PQ=13所以，OQ=−a整理可得b4所以ba4−所以ba故该双曲线C的渐近线方程为y=±2故选：D.2．（23-24高三上·天津·期末）双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为52A．2 B．7 C．22 D．【答案】B【分析】根据余弦定理可得F1PF2P=24，由O为【详解】由题意可得2a=4,e=ca=在△F1P∴4c由于F1P−F2由于O是F1F2则(PF1即|PF而|PF1|−|PF联立①②可得|PO|=7故选：B．3．（23-24高三上·天津·期末）已知a=1,1，b=m,A．15,35 B．−15【答案】D【分析】利用向量加减法以及向量垂直的坐标表示可得m=3，由投影向量定义可求得结果.【详解】根据题意可知a−由a⊥a−b可得a⋅所以向量a在b上的投影向量为a⋅故选：D4．（2024·天津河西·一模）在△ABC中，D是AC边的中点，AB=3，∠A=60°，BC⋅CD=−5，则AC=；设M为平面上一点，且2AM=tAB+【答案】4−【分析】以AB,AC为基底，由BC⋅CD=−5，求出AC【详解】△ABC中，D是AC边的中点，AB=3，∠A=60°，BC⋅解得AC=4，即AC=4△ABC中，AC=4，AB=3，∠A=60°，以A为坐标原点，AB为x轴，C点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系，

则有A0,由2AM=tAB解得x=t2+1，y=则有MB=2−tMB⋅则有t=313时，MB⋅故答案为：4；−615．（23-24高三上·天津南开·期末）在△ABC中，AC=1,BC=2,∠C=90∘，则CA+CB=；若P为△ABC【答案】3−【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA+CB；设P3【详解】如图，以C为坐标原点，AC,BC分别为x,y轴所在直线，建立平面直角坐标系，则A1,0可得CA=1,0,所以CA+因为PC=33，设可得PA=则PA⋅=1其中cosφ=因为sinθ+φ∈−1,1故答案为：3；−26．（23-24高三上·天津·期中）设△ABC是边长为1的等边三角形，M为△ABC所在平面内一点，且MA+2λMB+MC=CA，则当【答案】1【分析】由MA+2λMB+MC=CA可推出CM=λMB，进而可得【详解】因为MA+2λ所以2λMB=所以CM=λCB令λ1+λ=t，则CM=t所以MA=所以MA⋅所以当t=14，即λ=1故答案为：137．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）如图，已知直角三角形△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，若BC与圆的切点为M，则CA⋅CM=，则PB【答案】645【分析】建立如图平面直角坐标系，求出BC，利用三角形等面积法求出圆的半径，进而求出CM，根据平面向量数量积的定义求出CA⋅CM；设BC的中点为D(2,1)，利用平面向量的线性运算可得【详解】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则B(0,2),C(4,0)，且BC=22所以4=12×25AM则CM=AC2设BC的中点为D(2,1)，则PB⋅又PDmax=AD所以(PB所以PB⋅PC的取值范围为故答案为：645；8．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）△ABC中，AC=BC，∠BAC=60°，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，BD⋅BA=4，则|AC|=；AM⋅【答案】4−【分析】根据即可条件可判断出△ABC为等边三角形，再根据向量的数量积运算公式展开题中式子即可算出三角形边长，最后根据三角形边长建立平面直角坐标系将各点表示出来运用向量的坐标运算即可得出答案.【详解】空1：由题可知△ABC为等边三角形，BD⋅解得BA=4，因此BA空2：如图，设A−2,0，D1,3，MAM=2,y，DM=当y=32时，AM⋅故答案为：4；−111.（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“a+b·a−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知a+b⋅【详解】因为a+b⋅a−可知a+b⋅若a=b或a=−b，可得若a+b⋅a−b=0例如a=1,0,b=0,1，满足综上所述，“a+b⋅a−故选：B.2.（2023·全国·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅A．5 B．3 C．25 【答案】B【分析】方法一：以AB,AD为基底向量表示EC,【详解】方法一：以AB,AD为基底向量，可知则EC=所以E