平面向量的概念、线性运算及其坐标运算-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示

利用向量垂直求参数

2022年新U卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示

数量积的坐标表示

2021年新n卷,第10题,5分坐标计算向量的模逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

向量加法的法则

2020年新II卷，第3题,5分无

向量减法的法则

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念，理解向量的几何表示

2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义

3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义

4理解向量的线性运算性质及其几何意义

5会向量间的坐标运算

【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习

知识点1向量的有关概念

知识点2向量的线性运算

核心知识点知识点3向量共线定理

知识点4向量的坐标运算

平面向量的概念、

考点1平面向量基本概念的综合考查

线性运算及其坐标运算

考点2相等向量及其应用

考点3平面向量线性运算的综合考查

核心考点

考点4平面向量共建定理与点共线问题

考点5平行向量(共线向量)求叁数

知识讲解

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

二

a交换律：a+b=b+a；

加法求两个向量和的运算三角形法则结合律：

(a+〃)+c=a+(〃+c)

a

平行四边形法则

求。与〃的相反向量

减法〃一〃=〃+(一〃)

~b的和的运算a

三角形法则

|Xa|=m|a|,当AO时,

A(/Z4)=(丸〃)4；(2+=

求实数2与向量。的猫与。的方向相同;当

数乘

积的运算水0时，相与”的方向粗

k(a~\~b)—Xa~\~Xb

反;当7=0时，Aa—O

1.平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓

住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同

类项的运算，在计算时可以进行类比.

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数力,使得b=痴.

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，

用向量共线定理求解则更加简洁.

(1)若扇=4而+〃(文U，〃为常数)，则B,C三点共线的充要条件是4+〃=1.

->1->>

(2)尸为线段力5的中点=0尸=a(CU+05).

4.向量的坐标运算

(1)两点间的向量坐标公式：

，(西，yJ,B(x2,y2),罚=终点坐标一始点坐标=&一占,％-%)

(2)向量的加减法

。=(刈，乂)，b=(x2,y2):.a+b=(x1+x2,a-b=(xl-x2,-j2)

(3)向量的数乘运算

a=(x,v)，贝I：=2(x,j)=(/Lx,Ay)

(4)向量的模

a=(x,j),则a的模H=+y2

(5)相反向量

已知a=(x,y~),贝U—a=；已知

(6)单位向量

a=(x,y)

同向单位向量为

反向单位向量为/f，/一」

(7)向量的平行关系

a=(XQi)b=(x2,y2)a//ba=Abxvy2=x2yx

考点一、平面向量基本概念的综合考查

典例引领

1.关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小

C.速度是向量，位移是数量D.零向量是没有方向的

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选：B

2.下列结论正确的是：（）

A.若-与B都是单位向量，贝£=九

B.若々与B是平行向量，贝壮=九

C.若用有向线段表示的向量而与不相等，则点7，N重合

D.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A、B,只有当0与B的方向相同且模长相等时才有故A、B均错误；

对于C,若向量而=左，又因为/是公共点，所以M与N重合，故正确；

对于D,因为x轴与V轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；

故选：C.

3.（多选）下列结论中，错误的是（）

A.表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

B.若工.人则入3不是共线向量；

c.若|次卜叵q,则四边形是平行四边形；

D.汗与B同向，且同＞忖，则

【答案】BCD

【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断

和选择.

【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；

对B：若"wB，也有可能Z,B长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；

对C：若|方卜|觉|,则刀，刀可以方向不同，所以四边形43。不一定是平行四边形，故C错误;

对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.

故选：BCD.

即0型测

1.下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

C.模为1的向量都是相等向量

D.向量的模可以比较大小

【答案】D

【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；

由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；

长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错;

向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.

故选：D.

2.下列说法正确的是（）

A.若1/区,&//c>则a//2B.若3=B,则2）<3*

a

C.对任意非零向量汗，同是和它同向的一个单位向量D.零向量没有方向

【答案】C

【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.

【详解】对于A,当各时，任意向量都与B共线，则不一定共线，A错误；

对于B,向量不能比较大小，B错误；

a

对于C,对任意非零向量I,同是和它同向的一个单位向量，C正确；

对于D,零向量有方向，其方向是任意的，D错误.

故选：C

3.下列说法错误的是（）

A.|CD|=|DC|

B.q,e2是单位向量，则同=同

C.若网＞|西,则益〉而

D.两个相同的向量的模相等

【答案】C

【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,|丽卜|皮|,故A正确；

对于是单位向量，则囿=同=故正确；

B,et,e21，B

对于C,若|万卜口耳，则在，历不能比较大小，故C错误；

对于D,两个相同的向量的模相等，故D正确.

故选：C.

4.（多选）下列说法错误的是（）

A.若a与否都是单位向量，则a=3

B.方向为南偏西60。的向量与北偏东60。的向量是共线向量

C.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

D.若用有向线段表示的向量而与新不相等，则点M与N不重合

【答案】AC

【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,因为3与B的方向可能不同，故错误；

对于B,因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；

对于C,因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；

对于D,假设点M与点N重合，则向量为7=前，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合,

故正确；

故选：AC

考点二、相等向量及其应用

典例引领

ab

1.（23-24高三上•辽宁•阶段练习）设3,B都是非零向量，下列四个条件中，能使同=同一定成立的是

（）

A.a=-2bB.a2=b2C.&=近D.同=|可

【答案】C

【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.

ab_

【详解】因为同=同，故落人同向.

对于A:3=-2b，a.b方向相反,A选项错误；

对于B/=M，得出同=瓦不能得出方向，B选项错误；

.ab

对于C:3=2讥。力方向向相同，则时=同成立，C选项正确；

对于D:同=「，不能确定原B的方向，D选项错误.

故选：C.

2.2024高三•上海•专题练习）已知向量,，程不共线，实数》,y满足（％-歹后+（%+歹）最=,+3《，则》+2%

（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【分析】由已知结合平面向量基本定理可求％,y,进而求出答案.

【详解】由q,e]不共线，实数工,歹¥两足（1-jOq+（x+y）e2=ex+3e2,

\x—y=\

得解得％=2,k1,

[x+y=3

所以x+2y=4.

故选：A

即时检测

I__________________

ab

1.（2023・北京大兴•三模）设Z，B是非零向量，"1=0"是纭=旷’的（）

H\b\

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

ab__

【详解】由口二利表示单位向量相等，则。/同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出£=

__ab

由3=3表示a,6同向且模相等，则母=间，

ab

所以"R=M"是3=3"的必要而不充分条件.

故选:B

2.已知平行四边形/BCD的顶点/(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点。的坐标为

【答案】(1,5)

【分析】设出点。，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组,

求出点的坐标.

【详解】设。(x,y)则

在平行四边形/BCD中

VZ§=（4,1）,DC=（5-X,6-7）

又：方=皮

4=5-xx=1

…解得

歹=5

故答案为：(1,5)

【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同.

考点三、平面向量线性运算的综合考查

典例引领

1.(广东考真题)如图所不，已知在中，Z)是边上的中点，则CD=()

—,1—•

B.-3C+-

22

--1—,----1--

C.-BC--D.纪+,期

22

【答案】B

【分析】由题意得而=工豆，再由丽=池+丽=-瑟+■1■诙，即可得到答案.

22

—►1.

【详解】由于。是边48上的中点，则区0=彳8N.

2

CD=CB+RD=-BC+-BA.

2

故选：B.

2.（海南•高考真题）在小8C中，。是AB边上的中点，则而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】c

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

C

【详解】/\

/—i—X

^=C3+15=C4+2I5=C4+2（CD-G4）=2C5-G4

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

3.（2024•江苏南通•模拟预测）在梯形/BCD中，AB//CD,且/3=2C。，点”是的中点，则痂=

（）

2—1—1—■2-

A.-AB——ADB.-AB+-71D

3223

—1—3—1-

C.AB+—ADD.—AB+—^4D

242

【答案】D

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

［详解］依题意可得而=；下+：就方+（（而+皮）

=-AD+-AB+-AB=-AB+-AD.

24242

DC

故选：D

4.（2024・全国•模拟预测）已知“（4,-2）,N（-6,-4）,且而=-;丽，则点P的坐标为（）

A.（1,1）B.（9,-1）C.（-2,2）D.（2,-1）

【答案】B

【分析】由的坐标得出-;胸，设点尸（尤/）,得出砺，根据称=-g而列出方程组求解即可.

【详解】因为M（4,-2）,N（-6,-4）,

所以一;荻=一；（一10,-2）=（54），

设P（x,y）,则A/P=（x-4,y+2）,

yjMP=--MN,

2

（x-4=5fx=9

所以、I，解得，，

[y+2=ib=-i

所以点尸的坐标为

故选：B.

即0唧（

1.（2024・河南•模拟预测）已知向量刀=（2,-1）,就=（3,2）,点C（T,2）,则点2的坐标为（）

A.（-2,-1）B.（0,5）C,（2,-5）D.（2,-1）

【答案】A

【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.

【详解】由题意得，无=通-就=（2,-1）-（3,2）=（-1,-3）,

设点8的坐标为（x,y）,则。=（x+l/-2）=（-l,-3）,所以点2的坐标为（-2,-1）.

故选：A.

2.（山东•高考真题）已知平行四边形/BCD,点、E,尸分别是43,8c的中点（如图所示），设万=&,

AD=b,则而等于（）

A

A.B.C,D.

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】连结NC,则4c为“8C的中位线，

:.W=-AC=-a+-b9

3.(2024•河南三门峡•模拟预测)在。中，AN=3NC,BP=4PN,则万=()

1―►3—►3—►4―►

A.-AB+-CAB.-AB——CA

5555

3—►1—►1—►3—►

C.-AB——CAD.-AB——CA

5555

【答案】D

【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.

【详解】如图，

------»»>，“”.”\1>》

因为丽=4而，WAP=AB+BP=AB+TN=4B+M（AN-4B）=M4B+MAN,

__3__

又而=3汨，所以NN=a/C，

—1—3—1—­3—

所以AP=—AB+—/C=—--CA.

5555

故选：D.

4.（2024・浙江绍兴•二模）已知四边形48CD是平行四边形，反=2砺，DF^2FC，记市=£,AD=b，

则丽=（）

1一2/1-2

A.——a+—bB.——a—

3333

2-1T2-17

C.—a+—bD.—a——b

3333

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.

【详解】在。48co中，EC=2BE,京=2衣,AB=a,AD=b.

所以而=酝一赤=!①一工而=-‘2+2讥

3333

DFC

'E

AB

故选：A

考点四、平面向量共线定理与点共线问题

■典例_引__领___

1.（2022•四川绵阳•二模）已知平面向量a,6不共线，方=丘+6别BC^-a+3b^CD=a+3b,贝U（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

【答案】D

【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.

【详解】对A,诟=前+丽==+3为+（2+3可=6反与重不共线，A错误；

对B,方=42+6友团==+3石则方与而不共线，B错误；

对于C,前==+3大丽=2+3右则就与而不共线，C错误；

对于D,就=与+正=43+6刃+卜"+3q=35+9刃=3函，

即K//丽，又线段/C与CD有公共点C,所以aC,D三点共线，D正确.

故选：D.

2.2024・浙江•模拟预测）已知向量耳，瓦是平面上两个不共线的单位向量，且方=耳+2瓦，前=-3耳+2a,

山=3耳-6瓦,则（）

A.A、B、C三点共线B.A、B、。三点共线

C.A、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【答案】C

【分析】根据向量共线则£=刀。€勺判断即可.

【详解】对A,因为方=可+2可，前=-3耳+2瓦，不存在实数彳使得方=彳数，故A、B、C三点不共

线，故A错误；

对B,因为方=百+2瓦，刀=3耳-6a,不存在实数2使得罚=文方，故A、B、。三点不共线，故B错

误；

_____2__.

对C,因为/=刀+就=-2耳+4瓦，刀=34-6耳，贝1%=-1方3,故A、C、。三点共线，故C正确;

对D,因为灰?=一3瓦+2瓦，丽=_方_刀=方=_3不+6瓦一百一2瓦=-4不+4无，不存在实数4使得

BC=ARD，故B、C、。三点不共线，故D错误.

故选:C

1

3.2024•贵州黔东南•二模）已知向量赤=（1,-3）,衣=（-1制11£）,48«三点共线，则1211,+\卜.

【答案】1/0.5

【分析】由点共线可得tana=3,再利用两角和的正切公式即可求得结果.

【详解】因为4瓦。三点共线，所以益〃X，

所以tancr=-3x（-1）=3,

（3、tana+tan型],,

—可侍3（s彳3兀卜）in.h4E3P-1T51

4

故答案为：;

即时检测

1.已知行为不共线向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD^3（a-by贝I]（）

A.4瓦。三点共线B.48,C三点共线

C.瓦C,。三点共线D.4C,。三点共线

【答案】A

【分析】运用向量的加法运算，求得而=与，从而得出结论.

【详解】因为丽=灰?+丽=-2々+丽+3£-35=£+5否=石，所以4瓦。三点共线，

故选：A.

2.（2024•辽宁•二模）（多选）08C的重心为点G,点。，尸是“8C所在平面内两个不同的点，满足

OP^OA+OB+OC，贝I（）

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+1BP+CPD.点尸在AA8C的内部

【答案】AC

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因为点6为小8。的重心，

所以而+通+数=6,所以方=3面，

所以。,P,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+BP+CP=AO+OP+Bd+OP+Cd+OP

=（Ad+Bd+CO）+?,OP,

S^JOP=OA+OB+OC

所以（前+丽+函）+3。？=一方+3丽=2而，2OP=AP+BP+CP,故C正确；

因为赤=3诟，

所以点尸的位置随着点。位置的变化而变化，故点尸不一定在“8C的内部，故D错误；

故选：AC.

考点五、平行向量（共线向量）求参数

典例引领

■——

1.（2024・上海•高考真题）已知％eR,-=（2,5）,B=（6,笈）,且3/区，则上的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】-.-a/lb，：.2k=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

2.（2024•浙江杭州三模）已知不共线的平面向量B满足夕+刀）〃（苏+2否），则正数7=（）

A.1B.C.5/3D.2

【答案】B

【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出彳.思路二：由共线向量基本定理即可得解.

【详解】方法一：由已知有1・2=①彳，2>0,解得力=JL

方法二：设（£+/14=〃（/1£+2/；）,〃€1<,由题意］;_£>0，解得2=血.

故选：B.

3.（23-24高一下•广东河源，期中）已知是两个不共线的向量，a=ex-?>e2,b=kex+e2,若己与B是共线

向量，贝！］左=.

【答案】-:

【分析】根据向量共线可设B=进而对比系数列式求解即可.

【详解】因为,,4是两个不共线的向量，5=^-3e2,b=kex+e2,

G

若2与B是共线向量，设3=23,2R,则左q+4=A（^e1-3e2^=Ae1-3Ae2,

[k=A1

则I",解得一=-不

[1=-3X3

故答案为：

4.（2024・全国•模拟预测）已知向量3=（-1,2）,B=（X,6）,若（”2a/侬-见贝口=.

【答案】-3

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.

【详解】由题意得a—2b=（-1,2）—2（x,6）=（―1—2x,—10）,

25-5=（-2,4）-6）=（-2-x,-2）.

又（”2到/（20-彼），

所以一10（-2-外=一2（-1-2x）,

解得x=-3.

故答案为：-3.

即时

1.（2024•山东荷泽・模拟预测）设向量3=（1b=（2,k*12）,若,/底，则实数人的值为（）

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.

【详解】a//b，故左2-2（左一;）=0,解得左=1.

故选：D

2.（2024•安徽马鞍山•三模）已知平面向量,，色不共线，。=（2左-1）,+2%,石=,-%，且3〃3，贝！]左=

（）

13

A.—B.0C.1D.一

22

【答案】A

【分析】依题意可得3=），根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.

【详解】因为4=（2左一1鸠+2。，[=,-62且）〃石,

所以a=正,即（2左一1鸠+24=t（ex-e2j,

又4,最不共线,

t=—2

2k-l=t

所以2「解得k=-\

故选：A

3.(2024・江苏•二模)已知非零向量a=(cos2a,sin(a+；)),b=(sin(«+^),1),若展//B，则sin2a=()

43

A.-1D.-----C.一D.-

1055

【答案】D

■JT|

【分析】利用两个向量平行的性质可得sin2（a+R=cos2a,化简可得tana=§,利用齐次式即可得到答

案.

Tlk,TC

cos2aw0a^-+-L-

42(左£Z,左2£Z)

【详解】因为Z，书为非零向量，所以sm(a+扣O,即'

71.

aw~—+K2TI

兀1-cos|2aH—

因为Z//B，所以5山2（戊+:）=852环则I2,

4=cos2a

2

即1+sin2a=2cos2。,

即sin26Z+COS26Z+2sin6ifcos6Z=2cos2a-2sin2a,由于cos。w0,所以两边同除cos2a，

可得：3tan2a+2tana-1=0,解得：tana=：或tana=-1(舍去),

2

.2tana§3

所以sm2a1不「=*='・

1+tana[+15

9

故选：D

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜W，则B.若卜卜W，则

C.若a=1,则a//BD.若々〃痴//",则a!1c

【答案】C

【分析】根据向量的概念逐一判断.

【详解】对于A：若同=W，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；

对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；

对于c：若［=3,贝！］方向相同，c正确；

对于D：若［//“//",如果3为零向量，则不能推出平行，D错误.

故选：C.

2.（22-23高一下•贵州遵义•阶段练习）在四边形/BCD中，若正=刀+筋，贝U（）

A.四边形/3CD是平行四边形B.四边形/5C。是矩形

C.四边形4BCD是菱形D.四边形48CD是正方形

【答案】A

【分析】由就=砺+五5推出前=而，再根据向量相等的定义得BC=/O且8C///。，从而可得答案.

【详解】因为就=刀+1万，故就-砺=1万，即就=N万，

故3C=4）且8C//4D,故四边形A8CD一定是平行四边形，

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.

故选：A.

3.（2024高三•全国•专题练习）设。,E,尸分别为的三边8C,C4/8的中点，则而+元=（）

1----1——

A.4DB.—ADC.-BCD.BC

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算可得结果.

【详解】EB+FC=^EC-BC^+^FB+BC）^EC+FB

=3万+；工=:（方+硝=诟，

故选：A.

4.（2021•全国•二模）已知向量。和。不共线，向量您=0+加6，豌=5a+3b，丽=-3。+3Z»，若A、3、。

三点共线，则加=（）

A.3B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】根据4、B、。共线的条件得到而=4方，进而得到2〃+66=痛+加助，根据平面向量基本定理

中的分解唯一性，得到关于加,丸的方程组，求解即得.

【详解】因为A、3、。三点共线，

所以存在实数九使得丽=4方，

BD=BC+CD=2a+6b^

所以2。+66=X。+mAb,

f2=2

•，-Vi，解得m=3.

[6=mA

故选：4

5.（2024•陕西西安•一模）已知点尸是。的重心，贝!J（）

―►1―►1—►—►1—►1—►

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP=-AC+~BCD.AP=-AB+-BC

3333

【答案】D

【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】设3C的中点为。，连接4。，点尸是的重心，则P在N。上,

B.AP=-AD=-x^(AB+AC)=-(2AB+BC}=-AB+-BC

'332、,3、'33

2—»—►1-.?—>1—►

=-(AC+CB)+-BC=-AC——BC,

3333

6.（2024•广东深圳•模拟预测）已知点“（2,6）,8（-2,-3）,C（0,l）,。（（同，则与向量方+2而同方向

的单位向量为（）

【答案】A

【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.

【详解】由题意益=（-4,-9）,函=《,5）,所以益+25=（3,1）,

AB+2CD

从而与向量方+2而同方向的单位向量为

AB+2CD\

故选：A.

7.（22-23高一下•江西九江•期中）设Z］为两个非零向量，贝广£=2023『'是"£=="的（）

\a\|^|

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断

【详解】因为£=2023坂，所以同向共线，所以冬=々，

\a\\b\

因为£=g,所以同向共线，此时£=2023各不一定成立，

\a\1*1

所以5=20233"是=2"的充分不必要条件.

\a\\b\

故选：A

二、多选题

8.（22-23高一下•吉林四平,阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】ACD

【分析】根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D两

项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误.

【详解】解：对于A,零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；

对于B,根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；

对于C,根据单位向量的定义，可知C项正确；

对于D,方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确.

故选:ACD.

三、填空题

9.（22-23高三上•福建厦门•开学考试）写出一个与向量5=（1,2）共线的向量刃=.

【答案】（2,4）（答案不唯一）

【分析】根据共线向量定理求解即可

【详解】与向量7=0,2）共线的向量为。=4（1,2）.

取4=2,可得出一个与向量2=（1,2）共线的向量为5=（2,4）

（答案不唯一，满足筋（XeR）即可）.

故答案为：（2,4）（答案不唯一）

10.（2024・陕西西安•一模）已知平面向量工=（2,-1）1=（-4,x）,若石与M+刃）共线，则实数%=.

【答案】2

【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.

【详解】a+b=（2,—1）+（—4,x）=（―2,x—1）,

若B与伍+@共线，贝卜4（l）+2x=0,

解得％=2.

故答案为：2.

■能力提-升--______

一、单选题

1.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③2a=6（X为实数），则几必为零.

④凡〃为实数，若须=成,贝壮与石共线.

其中正确的命题的个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比

较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若；（几为实数），则1也可以零，因此命题也

是错误的；若4〃为0,尽管有2a=〃5,则值与5也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A.

2.已知，/（2,3）,川-4,5）,则与次共线的单位向量是（）

35巫、亚，叵］或八3屈屈、

A.e=B.e=

,-1010J

iolo>10厂而,

C.5=(-6,2)D.2=(-6,2)或。=(6,2)

【答案】B

AB

【分