2025高考数学专项复习：曲率与曲率半径问题（含答案）

2025高考数学专项复习曲率与曲率半径问题含答案

曲率与曲率半径问题

1.（2024•浙江温州二模）如图，对于曲线「存在圆C满足如下条件：

①圆。与曲线「有公共点4且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线；

③曲线「的导函数在点A处的导数（即曲线r的二阶导数）等于圆。在点人处的二阶导数（已知圆

（a?—a）2+（9—^丫二产在点处的二阶导数等于丁上——）；

（b-J/）

则称圆。为曲线r在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

⑴求抛物线“在原点的曲率圆的方程；

⑵求曲线夕=上的曲率半径的最小值；

X

（3）若曲线g=e”在（g,6的）和（x2fj）（gWx2）处有相同的曲率半径，求证：g+g<—ln2.

•••

2.有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因，在修建高

铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curwa施re)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑曲

线。上的曲线段设其弧长为As,曲线。在人，8两点处的切线分别为JZB，记以加的夹角为

△。(△夕40,寻)，定义匠=1-^1为曲线段弱的平均曲率，定义KQ)=lim|4^|=—I"面,为

2lAslo|Asl

^(l+(f(.))T

曲线C:y=/(T)在其上一点A{x,y)处的曲率.(其中/3)为f(x)的导函数,/"(⑼为f<x)的导函数)

⑵记圆疗+才=2025上圆心角为名的圆弧的平均曲率为a.

①求a的值；

②设函数gQ)=ln3+45a)—ce"T,若方程g(x)=m(m>0)有两个不相等的实数根如电，证明:

而—如<1一与半，其中e为自然对数的底数，e=2.71828….

3e—3

3.定义:若h，(x)是h(x)的导数，h"(x)是h\x)的导数，则曲线y=拉(⑼在点(/,”/))处的曲率K=

---'——-；已知函数/(c)=e"sin降+c),g(a;)=x+(2a—l)cosc,(a<[■),曲线u=g(c)在点

{i+[^)]T

(O,g(O))处的曲率为今；

(1)求实数a的值；

(2)对任意xG[—争0],何㈤>g，㈤恒成立,求实数m的取值范围；

(3)设方程/(%)=g\x)在区间(2几兀+争2九兀+£)(nEN*)内的根为g,22,,Xn,…比较iCn+i与2rl

+2兀的大小，并证明.

•••

4.（2024.湖北黄冈.二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展

展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代

产品外观特别讲究线条感,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线。：夕=/（0

上的曲线段其弧长为As,当动点从入沿曲线段4B运动到8点时，4点的切线骁也随着转动到

B点的切线人记这两条切线之间的夹角为△/它等于的倾斜角与蜃的倾斜角之差）.显然，当弧长

固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义

卜=|得|为曲线段AB的平均曲率；显然当8越接近A,即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点

4处的弯曲程度，因此定义K=lim|^!|=（若极限存在）为曲线。在点A处的曲率.（其中

y'，g"分别表示g=/（%）在点A处的一阶、二阶导数）

（1）已知抛物线力2=2pg（p>0）的焦点到准线的距离为3,则在该抛物线上点（3,g）处的曲率是多少？

⑵若函数g（力）----；，不等式9（e-）<^（2—costox）对于力ER恒成立，求⑶的取值范

围；

2

（3）若动点A的切线沿曲线/O）=2T-8运动至点Bg,f（Xn））处的切线,点B的切线与T轴的交点

为（4+i,0）（nCN*）.若伤=4,0=$一2,7；是数列｛bj的前八项和，证明Tn<3.

5.（2024・高三・浙江宁波・期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程

度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段卷，其弧长为As,当动点从人沿曲线段助

运动到口点时，人点的切线lA也随着转动到B点的切线伤，记这两条切线之间的夹角为△仇它等于lB

的倾斜角与Q的倾斜角之差）•显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定

时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段会的平均曲率;显然当B越接近A,

即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点4处的弯曲程度，因此定义K=lim|丝|=」^（若极

限存在）为曲线。在点4处的曲率.（其中'分别表示V=/（/）在点△处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

（2）求椭圆与+才=1在处的曲率；

（3）定义鼠U）=版为曲线y=/（工）的“柯西曲率”.已知在曲线/（0=x\^x-2x上存在两点

（1+式）

PQiJQi））和Q（g,/（g）），且PQ处的“柯西曲率”相同，求西+沟的取值范围.

6.（2024・高三・辽宁・期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线

之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下:若r（2）是/（⑼的导函

数，是rQ）的导函数,则曲线g=/Q）在点3JQ））处的曲率长=——■

（i+[f（x）]2y

（1）求曲线/（2）=ln/+/在（1,1）处的曲率&的平方;

⑵求余弦曲线八（力）=cosx（xER）曲率4的最大值；

•••

7.曲线的曲率定义如下:若是/(0的导函数,。(力)是r(0的导函数,则曲线g=/(乃在点QJQ)

)处的曲率K=-----------------已知函数/(/)=excosx,g(力)=acosrc+rc(a<0),曲线g=g(/)在点

{i+[fW]2F

(0,g(0))处的曲率为4.

(1)求实数a的值；

(2)对任意的①G[-y,0],tf(x)—g，(x))0恒成立,求实数t的取值范围；

⑶设方程/(c)=g'(c)在区间(2n兀+等,2/1兀+(71eN+)内的根从小到大依次为如电，­••,xn,…，

求证:^n+1―力n>2兀•

8.(2024・湖南永州•三模)曲线的曲率定义如下:若尸(⑼是/Q)的导函数，令©3)=尸(⑼,则曲线y=

f(x)在点(S,7(T))处的曲率K=->-7-已知函数/3)=工+t(a>0)，g(x)=(cc+l)ln(2：

(1+[73)尸尸口

+1),且/(⑼在点(0,/(0))处的曲率7<=4.

⑴求a的值,并证明：当力>0时，/(x)>g{x)；

⑵若幻=电色半,且黑=仇电电…勾dCN*),求证：(71+2)北<)谭.

n+1

9.曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的''弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动

率,设曲线C：y=/（力）具有连续转动的切线，在点Q,/（乃）处的曲率K=一刈，其中抓x）

[i+（fW）2F

为/（名）的导函数,一"⑺为?（X）的导函数，已知/（①）=/ln力一争—•力2.

（l）a=0时,求/（尤）在极值点处的曲率；

（2）a>0时,r（土）是否存在极值点,如存在，求出其极值点处的曲率；

⑶必）=2xex-4e“+a2x2,aC（0,十），当/⑺，g（c）曲率均为0时，自变量最小值分别为电，g，求

证：与沙.

10.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线

弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下:若rQ）是/（⑼的导函数，尸Q）是广3）的导函

数,则曲线夕=/（2）在点（力,/（力））处的曲率/<=>一7,

（i+[f（x）]7

（1）求曲线/（力）=ln/+力在（1,1）处的曲率&的平方；

⑵求余弦曲线九（力）=cosx（xER）曲率&的最大值；

（3）余弦曲线无（力）=cos%（%€R）,若gQ）=e%（力）+xhr

数，并写出证明过程.

曲率与曲率半径问题

1.（2024•浙江温州二模）如图，对于曲线「存在圆C满足如下条件：

①圆。与曲线「有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧;

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线;

③曲线「的导函数在点A处的导数（即曲线r的二阶导数）等于圆。在点人处的二阶导数（已知圆

（a?—a）2+（9—^丫二产在点处的二阶导数等于丁上——）；

0-J/）

则称圆。为曲线r在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

（1）求抛物线“在原点的曲率圆的方程;

⑵求曲线夕=工的曲率半径的最小值；

X

⑶若曲线夕=e"在（g,e"1）和3,e救）（如¥电）处有相同的曲率半径，求证：电+g<—ln2.

【解析】（1）

记/（2）=2?,设抛物线y=疗在原点的曲率圆的方程为±2+（y—》）2=廿,其中b为曲率半径.

则/Q)=22,尸3)=2,

2

故2=/"(0)=b

(6—0)3

所以抛物线g=力2在原点的曲率圆的方程为62+（期

（2）设曲线y=/（力）在（g,%）的曲率半径为r.则

x—a

r（g）=一0

Vo-b

法一：

/"(3)=

(.b-yo)3

2r

由(g-a)2+斯-&)2=/知，[f(j；0)]+1=,

(yo-fe)

3.

2

所以｛[f(^0)]+iF

用r以丁:—：-----：—

Lf〃(g)l

3.

2

故曲线g=!在点（/。，队）处的曲率半径度二

x\i\

\3

+1)

1\32_21

,2

所以72=一与一--4>2,则产=23,舄+1冷,

国扑:+

•••

则丁=4（届＞血，当且仅当舄=」7,即舄=1时取等号,

故厂＞，2,曲线■在点（1,1）处的曲率半径

X

"__1_x（）—a

,,__君_一.—\a-\-bx^-2x0\

去一：2—产，—FT=『'

〔高一炉二微。+1

所以12，而产=（g_a）2+（%—匕）2=0.+二—,

x0—a=——T—2至2至.01

2%。

所以j=2号（舄+劣）,解方程可得r=《（就+劣¥，

,端2\舟

则产=［（舄+」7y＞2,当且仅当式=±,即式=1时取等号，

41端曷

故r＞，^,曲线夕=,在点（1,1）处的曲率半径r=四.

X

3.

（3）法一：函数沙=e'的图象在（立,"）处的曲率半径r=（e"+l）”,

ex

故『3=e3+e3,

424222

由题意知：e铲'+「铲'=e科+履严令友=”"心=6产，

则有/+；=〃+；,

方1*2

所以/—■—:，即（力1一力2）（力1+力2）=J，故板2（"+.）=1.

因为劣1W62,所以力W力2,

3.

所以1=笊2（力1+力2）＞?于2•2/圾2—2（据2）'=2ex'+x'2,

所以。!+x2<-ln2.

3.

法二：函数9=e"的图象在（，,e'）处的曲率半径r=（1+1』,

ex

3

=（/*=+3e2.+3+e-2。

e21

令±i=e?""2=I®,则有力;+331+3+1=£+332+3+占，

则（力1—力2）,+12+3——）=0,故%1+力2+3——=0,

因为为W电，所以力W力2,

所以有0=力1+力2+3—:＞2/力力2+3—~~~,

力12*1*2

令t=J）12，贝寸2力+3—~7-V0,即0＞2力3+3力2—1=（/；+1）2（2力-1）,

t

故1V；,所以eXi+X2=J/；也=tV/，即61+gV—山2;

3.

法三：函数y=e"的图象在（2,e'）处的曲率半径r=

故城=苫+6表

设g)=苫+商，则g，Q)='者等量产箍J),

所以当力G(-00,一/ln2)时g'Q)V0,当力G(--|-ln2,+00)时g'(z)>0,

所以。(力)在(一8,—^-In2)上单调递减，在(一^-ln2,+8)上单调递增，

故有Xi<―^-ln2<x2,

所以Xi，—ln2一力2e(—8,—，ln2),

要证Xi+x2<—ln2,即证xr<—ln2—x2,

即证g(/2)=g(力i)>g(—ln2—62)将g+力2<TII2,

下证：当力e(一■^-ln2,+8)时，有g(x)>g(—ln2一力),

设函数G(力)=g{x)—g(—ln2—力)(其中x>—~^-ln2),

则G(c)=g，(力)+g，(一ln2—6)=£~(2e2”—D(e萨一2-e/>0,

故GQ)单调递增，GQ)>G(-yln2)=0,

故g(力2)>g(Tn2-a;2)，所以6i+gV—ln2.

3.

法四：函数y=e”的图象在(x,ex)处的曲率半径7='十」,

ex

有卡=弋1)3=e4.+3e2.+3+e-2,,

e

设无(c)=e4"+3e2'+3+e-2”.

则有h\x)=4e4x+6e2x-2e-2x=2e~2x(e2x+l)2(2e2'-l),

所以当a;C(—oo,—gln2)时"(re)VO,当cC(—《ln2,+oo)时/z'(c)>0,

故％(c)在(-00,-yln2)上单调递减，在(一］ln2,+00)上单调递增.

故有Xi<—^-ln2<a?2,

所以Xi,—1112—电C(—oo,—^-ln2),

要证力1+力2V—ln2,即证g<—ln2—x2,

即证九(g)=以/1)>h(—ln2—x2).将力i+%2V—1口2,

下证：当c6(―^-ln2,+oo)时，有h(x)>h(—ln2—x),

设函数H(cc)=h(x)—Zz(—ln2—力)(其中x>—^-ln2),

则H'O)=/z'O)+〃(_ln2_2：)=(2e2l-l)2(l+-1-e-23：+^e-to)>0,

故HQ)单调递增，故8(a;)>H(—Jln2)=0,

故/z(a；2)>无(—ln2—g)，所以0+gV—ln2.

2.有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因，在修建高

铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑曲

线。上的曲线段AB,设其弧长为As,曲线。在A,B两点处的切线分别为&邑,记骁,3的夹角为

△。加404])，定义匠=^3为曲线段触的平均曲率，定义以力)=肥|黑]=一'⑷3为

(1+(/'(%)))2

曲线C:y=f㈤在其上一点AQ,g)处的曲率.(其中/(力)为于㈤的导函数，/〃(乃为/㈤的导函数)

⑴若/(6)=sin(2c),求K(卞)；

(2)记圆/2+娟=2025上圆心角为卷的圆弧的平均曲率为a.

①求Q的值；

②设函数9(/)=ln(力+45Q)-6e'T,若方程0(/)=m(m>0)有两个不相等的实数根力2,证明：

区—如<1—粤孚，其中e为自然对数的底数，e=2.71828….

3e—3

【解析】⑴/(%)=sin(2%)，r(T)=2cos(2%),/"(%)=-4sin(2x),

所以/'(£)=2cosf==-4si吟=-4,

上传)11-41.

----------------3-=-----------3=4d.

{i+{r传)}卞(1+。尸

⑵①由圆的性质知圆/+才=2025上圆心角为弓的圆弧的弧长为AS=1R.

OO

弧的两端点处的切线对应的夹角△夕二当，

O

所以该圆弧的平均曲率匠=24=4=丁'=三,也即a=士.

MlRA/20254545

②由于&=今，故g(c)=ln(a?+l)—xe^1^C(―1,+co),

又g(O)=O,g'(①)O+l)e'T,g”(c)=~1--(rr+2)e:c~1<0,

力十，(%+1)

所以g'3)在(―1,H-oo)上单调递减，而g，(。)=1—：>0,g'(l)=^--2=―<0.

因此必存在唯一的gg(0,1)使得g〈g)=0且g(%)在(―l,g)上为正，在(g,+8)为负，即gQ)在

(―l,g)上单调递增，在(T0,+oo)上单调递减，

而g(0)=0,又g(4)=1吟—吟一/>0，，2V^>3oe>小ln_|>/=e3<9oeV号)，

g⑴=ln2—KO,

所以三力G使得g(t)=0,即g(/)的图象与力轴有且仅有两个交点(0,0),(^,0),易得g{x}在(0,0)处的

切线方程为lQ:y=fl—~=———x,

ve7e

在(t,0)处的切线方程为lt:y=(d]—(力+(a?—t),

下面证明两切线I。”的图象不在g(c)的图象的下方：

令%0)=g(±)一(住]_«+1)或)(①一力)=g(x)-g(±)3-1),则h'(x)=g'(x)-g'(t).

因为h,f{x)=g"{x}V0,所以h\x)在(―1,+oo)单调递减，而hf(t)=0,

所以〃⑶在(一1,。上为正，在U，+oo)为负，即八㈤在(一1力上单调递增，在(力,+8)单调递减,

因此h(x)&h(t)—g{t)—0=0,即gQ)W(—―(力+l)e-i)(力一力),

即gQ)的图象恒在其图象上的点(右0)处的切线的下方(当且仅当x=t时重合).

同理可证(将t视为0即可)，g(t)<(1--)rr

设直线V=m(m>0)与两切线l0,k交点的横坐标分别为X0,Xt,

则易得X。=上。,X尸———------+£且X。<gV◎VX,

eT±——

因为小(；,1),故“―(t+1)尸e(一■—聂)£(一多。),

立£1、>TYIJ.,TYV।,-12772/

所以X=—------------+力<--+t<l---,

3

普-(--4

因此Ef|<X「X°<1—等—告=1—(5=『

OGJLJ6O

3.定义：若若(劣)是h(x)的导数,h"(x)是八'(力)的导数，则曲线g=h⑺在点(力,无(力))处的曲率K=

----'--；已知函数/(力)=e、in(卷+劣)，g(x)=x+(2a—l)cosre,(QVJ),曲线g=g(c)在点

{1+制⑻即’

(O,g(O))处的曲率为彳；

(1)求实数a的值；

(2)对任意xe[一争o],何㈤>g3恒成立，求实数nz的取值范围；

(3)设方程/(力)=g[c)在区间(2n7r+?2n7r+5)(neN*)内的根为如力2,…应，…比较为+i与g

+2兀的大小，并证明.

【解析】⑴由已知g'(力)=—(2a—l)sin/+Lg"(/)=—(2a—l)cosrc,

所以一土=工2,解得a=0(。=1舍去),

八二4

(1+12)2

所以Q=0；

x

(2)由(1)得g(/)=x—cosxff(x)=e、in(5+N)=ecosx,

则g，(x)=1+sinre,

对任意的名€[―5，。]，时(力)一。'(力)>0,即M"以九/一sin/-l>0恒成立，

令力=—■，则馆,0+1—1=0>0,不等式恒成立，

当力e午,0~|时，cos/>0,原不等式化为馆>sin%+1,

2」excosx

令慨,）=包些土l,,e

e,cos/-?。],

(cos/)eicosa;—e。(cos/—sin力)(sin/+1)

则h\x)=

(excosx)2

1—sinMOSA8S，+sin,=(1—cosaOQ+sino;)川

excos2a;e'cos之力

所以h（x）在区间（一］,o］单调递增，所以7i（x）niax=%（0）=1,

所以7n>1,

综上所述，实数TH的取值范围为［1,+8）；

（3）rcn+i>/九+2兀，证明如下：

由已知方程/（6）=g'（力）可化为excosx-sinx-1=0,

令0（2）=eicosa;—sinx—1,贝U0'（力）—e”（cosc—sin/）—cosrc,

因为力e（2九兀+年,2九兀十5),所以cosx<sinrr,COST>0,

0

所以dQ）VO,所以0（N）在区间（2九兀+~|■:,2n?r+(n6TV*)上单调递减,

2九兀+号/兀12加+装V31

故0（2口兀+会）ecos2n7u+—sin(2ri7r+-1~)—1—e-------1

322

>]/席_岑_1〉22义3+1乂]_乎_1>0,

0(2H兀+])——2V0,

所以存在唯一力()6(2九兀+等,2?1兀+~|~),使得0(/0)=0,

又彩e(2n7r+-1-,2n7u+-|-),xn+1—E(2几兀+会,2九兀+5),

71

贝|J0(0九+i—2兀)=ej+L2cos(力九+1—2兀)—sin(rrn+i—2TT)—1

_27r

=e^+icosa；n+i_sina;n+1—1

+1-27r

=e^cosa;n+i—e^tos^+i

=(已””+厂2兀一1"+】)COS为+1<0=0(咻)

由(p(x)单调递减可得力九+]—2兀>力打，

所以xn+1>/九+2兀.

4.（2024.湖北黄冈.二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展

展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代

产品外观特别讲究线条感,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线。：夕=/⑺

上的曲线段其弧长为As,当动点从人沿曲线段A8运动到8点时，4点的切线口也随着转动到

8点的切线B记这两条切线之间的夹角为△夕（它等于坛的倾斜角与心的倾斜角之差）.显然，当弧长

固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义

匠=|碧|为曲线段的平均曲率；显然当B越接近4,即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点

A处的弯曲程度，因此定义K=id整|=」^(若极限存在)为曲线。在点人处的曲率•(其中

y',g"分别表示g=/(劣)在点A处的一阶、二阶导数)

(1)已知抛物线/=2pg(p>0)的焦点到准线的距离为3,则在该抛物线上点(3,g)处的曲率是多少？

e

⑵若函数gQ)=-------七,不等式g(彳。一)4g(2—cos切/)对于力GR恒成立，求0的取值范

围；

(3)若动点A的切线沿曲线/(劣)=2/—8运动至点8(4,/(g))处的切线,点B的切线与x轴的交点

为(3+i,0)(nGN*).若g=4,bn=xn—2,看是数列{6n}的前？2项和，证明Tn<3.

【解析】(1),・,抛物线/2=2pg(p>0)的焦点到准线的距离为3,・・.p=3,

即抛物线方程为力2=60,即/(%)="=}?,则/'3)=]力，/〃(力)=4，

O33

XXr-

又抛物线在点(3,y)处的曲率，则K=--------——=

(1+1-3272陋12

即在该抛物线上点(3,切处的曲率为夸；

⑵••・。(—)=^1号=^^=>—二—9(力

，g(N)在A上为奇函数，又g(力)在A上为减函数.

g(㊀_)<g(2—cosco力)对于®G_R恒成立等价于coscox>2—e—对于a;G_R恒成立•

又因为两个函数都是偶函数，

记0(力)=coscox,q(x)=2—e~^e—，则曲线p(力)恒在曲线q(/)上方，

p'(力)=—a)sina)xfq'(x)=———,又因为p(0)=q(0)=1,

所以在劣=0处三角函数p(0的曲率不大于曲线q(c)的曲率，即一回也二4—""您3,

[i+p,2(0)F[1+^2(O)F

又因为p"{x}——a?cosa)x,q"⑸二一e—,

p"(0)=—co2,q"(0)=—1,所以疗41,解得：—Kcy<l,

因此，口的取值范围为[—1,1];

⑶由题可得了'(/)=4T,

所以曲线g=/(c)在点(/九,/(线))处的切线方程是沙一/(跳)=r(跳)(力一线)，

即1一(2x^-8)=4xn(x-xn),

令g=0,得一（第-4）=2吗（为+1—为），即竟+4=2xnxn+1,

显然为W0,・，・xn+1=,

2xn

2

,xn2z,八42c（6九+2）2cec（xn—2）

由xn+1=—H---,知xn+1+2=—H-----F2=------,同理xn+1—2——-----,

2xn2xn2xn2xn

2

吉攵/7z+l+2/xn+2\O1力九十2

<x—2）二2『

力n+i—2n,从而坨"I

设比力=%即ae2-所以数列｛斯｝是等比数列,

故飙=2”％=2“一皿3=2-g3,即】g表=2"赎,从而安=3:

bn+i=32…T=1v=X

bn~32n-l-32n-1+l32"、3211-3

当？i=l时，显然7]=bi=2<3;

当n>1时,bn<-^-bn-1<佶）fen-2<佶）人,

1/1\n-l仇[1—（t）1/1\n

・••玛=bi+b2H---<bi+-61H------F（—）氏=----------=3—3•（―）<3,

o\J/1_、J/

3

综上，&<3（n€N*）.

5.（2024・高三・浙江宁波・期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程

度.考察如图所示的光滑曲线。：夕=/（/）上的曲线段叁，其弧长为As,当动点从A沿曲线段愈

运动到8点时，A点的切线lA也随着转动到8点的切线A，记这两条切线之间的夹角为它等于lB

的倾斜角与蜃的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定

时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义匠=为曲线段前的平均曲率;显然当B越接近4,

即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim|黑|=（若极

限存在）为曲线。在点A处的曲率.（其中端'分别表示"=/（*）在点A处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率;

（2）求椭圆,+才=1在（四，1）处的曲率；

（3）定义=”《为曲线"=/（T）的“柯西曲率”.已知在曲线/Q）=xlns-2c上存在两点

（i+y）

P（现/⑶））和Q（＞2,/（电）），且P,Q处的“柯西曲率”相同，求人+温的取值范围.

7t

【解析】⑴左=|制=1=L

3

3

⑵方AA?，娟=-I。—I）="』一to—节士

2=1677

故式品一三，y/_2，故改=7~~7J-49

(1+打

⑶广⑺=lnx-l,/"(x)=(,故w(y)=：=产，其中s=^x,

x(1+沙)x^lnx)(3slns)3

令力1=^^"2=^^,则力lln打=加直2,则1岫=—普斗■，其中力=整＞1（不妨32＞幻

t—161

令p（x）—x\nx,p\x）=1+In/=p（力）在（。,工）递减，在（二,+8）递增，故1＞32＞工＞力1＞0；

令九（力）=ln（力+与）=ln（^+l）

"⑴=^17口水一'令小⑴=2^^（土＞1），

（t—1）2

f

则m（t）=—J----,当力＞1时，m'（t）＞0恒成立，故?n⑴在（1,+oo）上单调递增，

L\T/~\JLJ

可得m（t）＞m（l）=0,即In力—；）＞0,

故有〃⑴=H^[in±一?上]＞。，

则无⑴在（1,+oo）递增，

又lim/z(t)=ln2—1,lim/i(f)=0,故In(力什与)C(ln2—1,0),

故=tj+12G(2,1).

6.（2024・高三・辽宁•期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线

之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下:若广（乃是/（为的导函

数，/（乃是/'（功的导函数，则曲线"=/3）在点3，/（乃）处的曲率爪=一3

（i+[fWlT

（1）求曲线/O）=lmr+/在（1,1）处的曲率K的平方;

⑵求余弦曲线九（力）=cosx（xGR）曲率片的最大值；

•••

【解析】(1)因为/(力)=111%+力，则/(力)=—+1,产⑺=--y,

xX

0ird)iii

所以居=-----------=--------T=工，

(l+[f(l)]2y(1+275q

(2)因为h{x)=cos%(力67?),贝Uh'{x}=-sin)，h"{x}=-cos/,

所以的=—*3=cos',

(1+[〃3时(1+sin20p

则在=cos2：cos2q

(1+sin2rr)3(2—cos之力了

令力=2—cos?力，则tE[1,2],&=2J,

t3

1几/.\2—tjnj/,\—t3—3t2(2—t)2t—6

仅,则pf⑴=------币-----=,

显然当te[1,2]时，少⑴vo,0⑴单调递减,

所以p（t）max=P⑴=1,则&最大值为1,

所以范的最大值为1.

7.曲线的曲率定义如下:若广（0是/（0的导函数,「（0是r（0的导函数,则曲线g=/Q）在点（⑨/Q）

\r（x}\

）处的曲率K=------------已知函数/（力）=excosx,g（力）=QCOSN+%（QV0）,曲线g=gQ）在点

{i+[fW]2F

（O,g（O））处的曲率为卓.

（1）求实数a的值；

（2）对任意的劣G[-y,0],tf（x）—g@）>0恒成立,求实数t的取值范围；

⑶设方程/⑺=g，（4）在区间（2九兀+?2?i兀+eN+）内的根从小到大依次为如电,­••,xn,…,

求证:^n+1一①九>2兀・

【解析】(1)由已知g'3)=—asinrc+=—acosT,,

所以---―-二工^•，解方程得a=-1

(1+12)14

⑵对任意的力G[—嬴,。],tf(x)—g'(宏)>0,即texcosx—sinrr—1>0恒成立,

令力=一年，则力・0+1—1>0,不等式恒成立

当力e(-4-01时，cosc>0,原不等式化为力当sin-+l

'2」excosx

sin/+1

令九（力）=

excosa;’

(cosrr)eicosa;—ex(cosrr—sina?)(sinreH-1)

则h\x)

(excosx)2

=1—sinaxosc—cosc+sin力

excos2x

_(1—cosrr)(1+sinrr)

e”cos2c

所以九0）在区间（-y,o]单调递增，所以最大值为无（0）=1

所以要使不等式恒成立必有力＞1

(3)由已知方程/(劣)=g\x)可化为excosx—sin/—1=0

令0(力)=eicosa?—sine—1,贝U(pr(x)=ex(cosT—sina7)—cosx

因为力e（2几兀十看,2九兀十卷），所以cosx<sin力,cos力>0

o/

所以(p'{x)<0,0(力)在区间(2n兀+争2?2兀+~^)(?1EN+)上单调递减,

(o兀、2n7r+f兀、.(%兀、12n7r+i1加1

2n7u+—)—ecos(2n7r+--)—sm(2n7r+--)—1=e—--------1

ooo/z

>e2/4■—乎—1>2所看—卓―l>0

0(2几兀+方)=—2<0

所以存在唯一XQE（2"兀十等,2九兀+]■）,9（g）=0

xnE（2九兀+年,271兀+1，xn+1—2兀6(ZnTr+^gTiTi+V

o乙

0(c九+1-2兀)=e%+L2ncos(力九+1一2兀)-sin(Tn+i-27C)-1

a：n+1-27r

=ecosTn+i—sinrcn+1—1

27c①蕤+i

=ecosTn+i—ecos6九十i

1-271

=(e^'—e^)cosrcn+i

vo=9（X）

由（p（x）单调递减可得力九+i—2兀＞为即为+i—力九＞2兀

8.(2024.湖南永州.三模)曲线的曲率定义如下:若［3)是/(6)的导函数，令夕(力)=尸(N),则曲线g=

f(G在点(x,f(x))处的曲率K=--->(*"-已知函数/(n)=—+/(Q>0),g(rr)=(力+l)ln(力

(1+了(刈2尸0

+1)，且/3)在点(o,/(o))处的曲率K=4.

(1)求a的值,并证明：当力>0时，/⑻>g(x)；

(2)若第=IndjD，且北=瓦-b2-b3-bn(n6N*),求证：伍+2)或.

n+1

【解析】(i)/'(力)=包+1=夕(力)，“㈤=2,r(o)=1,。>0,

aa

•."3)在点(0,/(O))处的曲率K=苧，

—：=乎,解得&=2.

(i+iT4

当2>0时，/z(a?)=/(c)—g{x}--^-x2+c—(a?+l)ln(c+1),

h'(力)=x-\-l—ln(a;+1)—1=a;—InQ+1),

令u(x)=x—In(力+1),贝Uur(a?)=1---^―-=->0,

力+16+1

工〃3)在%>0时单调递增，.•.〃(%)>“(0)=0,.•.〃(6)>0,工函数拉Q)在(0,+8)上单调递增，・・・八(力)

>>0)=0,因此f(x)>g(x).

⑵证明：由⑴可得：-1-a?2+x>(%+l)ln(T+1),

.hiQ+l)一/(劣+1)

,•,\V/>,a，力>°，

力+12(rc+l)2

人l