指数与指数函数（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第03讲指数与指数函数

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断对数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分判断指数函数的单调性

根据分段函数的单调性求参数

2023年新I卷，第4题,5分指数型复合函数单调性二次函数单调性

用导数判断或证明已知函数的单调性

2022年新I卷，第7题,5分比较指数幕的大小

比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及

指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分

【备考策略】1.了解有理数指数幕、实数指数幕含义，掌握指数幕的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念

3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点

4.能结合指数函数比较指数式大小

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识点1根式的基本知识

知识点2指数的基本性质

知识点3指数的基本计算

核心知识点

知识点4指数函数

知识点5对称性

考点1指数与指数幕的运算

考点2指数函数的图象及其应用

考点3指数（型）函数的单调性

核心考点

考点4指数（型）函数的值域与最值

考点5指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

知识讲解

1.指数的基本知识

（1）根式的基本性质

①五的定义域为x20,我的定义域为xeR

②==,X'定义域为（xeT?）

[-X,x<0

③U=x，定义域为（X20）

@V7=x>定义域为（XCR）

⑤依Y=x，定义域为（xeR）

（2）指数的基本性质

①零指数幕：。°=1（。40）;

②负整数指数累:=—（a^Q,p^N*y,

ap

tn___

③正分数指数幕:an-（a>0,加、neN*,且〃>1）;

—巴11

④负分数指数塞：a〃=——=—==（a>0,m>nG>1）

HLnm

an

（3）指数的基本计算

m

①同底数幕的乘法运算-an=am+n②同底数累的除法运算幺一=储"一"

a

③累的乘方运算（废,）"=a""④积的乘方运算（㈤））"'=。"力

2.指数函数

（1）指数函数的定义及一般形式

一般地，函数y=/（a〉O且awl）,xeR,叫做指数函数

（2）指数函数的图象和性质

y=axa>\Q<a<\

J\yx

/y^axy^a\―

-飞-y=l

图(0,1)/------y=l

象/

01Xo]ix

定义域R

值域

过定点（0,1）

当x〉0时，y>1；当x〉0时，0<y<l；

性质x<0Ht,0<y<lx<0时,y〉1

在（-oo,+oo）上是增函数在（-oo,+co）上是减函数

考点一、指数与指数幕的运算

典例引领

1.（2023•全国•模拟预测）—=（)

9

1

A.B.D.3

3

2.（2024・广东•模拟预测）

已知函数小）=6,则对任意实数

3.（2022・北京•高考真题）X,有（）

A./(-%)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

D./(-x)-/(x)=1

C.f(~x)+f(x)=\

即时检测

1.（2024•上海宝山•二模）将必腐（其中。＞0）化为有理数指数累的形式为.

2.（2023•山东•模拟预测）若=4,则/+/的值为（）

A.8B.16C.2D.18

3.（2023・四川宜宾一模）计算:柄一2『-（0.25设4]+V3xlg^=.

考点二、指数函数的图象及其应用

典例引领

1.（2024・四川成都•模拟预测）函数y=3x与y=的图象（）

3

A.关于x轴对称B.关于丁轴对称

C.关于原点对称D.关于V=x对称

2.（23-24高三上•河北衡水•开学考试）已知。＞0,贝IJ函数/（的=优一2。的图象可能是（）

3.（2024・甘肃张掖•模拟预测）函数/@）=6'仁-1）-苫-1的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.V3D.2

即时性测

1.（22-23高二下•四川绵阳,期末）要得到函数＞=22M的图象，只需将指数函数y=4,的图象（）

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移g个单位D.向右平移g个单位

2.（23-24高三上•山西晋中•阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数>=X2+办+。-1与了=/的图象

3.（2024•黑龙江•二模）已知函数了=彳31+6的图象经过原点，且无限接近直线>=2,但又不与该直线相

交，则仍=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

考点三、指数（型）函数的单调性

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）设函数/（x）=2心⑹在区间（0,1）上单调递减，贝IJ。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+S）

2.（2024•宁夏银川•三模）已知函数无）=苴1，则下列说法不正确的是（）

A.函数〃x）单调递增B.函数〃尤）值域为（0,2）

C.函数〃x）的图象关于（0,1）对称D.函数的图象关于（1,1）对称

3.（2024・全国.模拟预测）已知函数/3=3修-32、则满足/（x）+/（8-3x）>0的x的取值范围是（）

A.（-»,4）B.（-oo,2）C.（2,+oo）D.（-2,2）

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数+«一5，+1""1是R上的减函数，贝|a的取值

[t-a,x>l

范围是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,+8）D.[3,+⑹

1.（2024•江西•模拟预测）函数=的一个单调递减区间为（）

A.（-℃,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,+co）

2.（2024•福建福州•模拟预测）设函数〃耳=3,力在区间（1,2）上单调递减，贝的取值范围是（）

A.（-℃,2]B.C.[2,+oo）D.[4,+co）

3.（2024•吉林长春•模拟预测）（多选）已知函数/（耳=牙',则下列说法正确的是（）

A.函数〃尤）单调递增

B.函数/卜）值域为（0,2）

C.函数的图象关于（0」）对称

D.函数〃x）的图象关于（1,1）对称

击/<0

4.（2024•陕西西安•模拟预测）已知函数,则不等式的解集为（）

----,x>0

、x+2

A.（-2,2）B.（0,+动

C.（一。,0）D.（一。,一2）“2,+。）

考点四、指数（型）函数的值域与最值

典例引领

z1xyJx2—2x—1

1.（23-24高三•阶段练习）已知函数/（》）=g,则/（X）的单调递增区间为，值域

为.

2.（2024・上海松江•二模）已知0<a<2,函数了=I；X1、，若该函数存在最小值，则实数

[2a,x>2

a的取值范围是.

3.（2024,四川成都•二模）已知函数/（x）=2-TM的值域为〃.若（1,+8）1河，则实数。的取值范围是

1111D.；收

A.—oo—B.C.-00,——U—,+oo

4I4jL4

即时检测

L（2024•贵州•模拟预测）已知函数〃X）=2*+2**3,则/（x）的最大值是.

2.（2024•山东荷泽•模拟预测）若函数〃x）=l+lgx（xeG，100]）,则函数尸⑺=2"（切5号的值域为（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

("1)"一；,xVl

>l）的值域为。，£»c[1,+oo）,则。的取值范围

3.（2024,河北保定•二模）已知/（%）二

a11

XH---I,X>I

X

是（）

35537

A.[-,2]B.C.[-,2)D.[-,2]

考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

典例引领

I

1.（2024•云南•二模）若a=2"2/=6'c=2；，则（）

A.b>a>cB.c>a>b

2.（2024•天津•一模）已知实数访b,)

A.a<b<cB.b<a<c

3.（2024•宁夏银川•三模）设。=严,

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

即时性测I

1.（2024•四川•模拟预测）设a=0.5%6=04」，c=l.lflS,则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

2.（2023•天津•高考真题）设4=1.01°5力=1.01。6,。=0.6。5,则。也。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

21-2

3.(2024•辽宁•一模)设。=—,b=2-e3,c=l—e3贝Ij()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

L(2024•陕西渭南■二模)设集合”=卜卜14x41},N=}卜=e",xV()},则()

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

2.(2024・河南•模拟预测)若a,6eR,则"a>b"是"3"-3">2〃-2。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.(2024•湖南邵阳•三模)"0<a<l"是"函数〃x)=a*-a(a>0且a/1)在R上单调递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.(2024•全国模拟预测)已知函数/'(x)=2»4(aeR)为偶函数，则函数丁=/(x)的增区间为()

A.(-l,+oo)B.(O,+s)

C.(-oo,-l)D.(-℃,0)

5.(2024•辽宁一模)若函数/(x)=3=+皿在区间(1,4)内单调递减，贝!Ja的取值范围是()

A.(-oo,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+»)

6.(2024•江西景德镇•三模)已知函数/(x)=，I，1'、<°是奇函数，则x>0时，g(x)的解析式为()

g(x),x>0

7.(2024・浙江绍兴•三模)已知函数/(2x+l)为偶函数，若函数g(x)=〃x)+2i+2、T-5的零点个数为奇

数个，贝4-1)=()

A.1B.2C.3D.0

二、填空题

8.(2024•山东济宁•三模)已知函数/'⑺"⑸'X，。，则.

log4x,x>0

9.(2024・全国•模拟预测)写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式〃x)=.

①/(须+X?)=/(xJ/(%);②/(X)的值域为(0,+8).

10.(23-24高一上•四川攀枝花•阶段练习)若命题JxeR,2工-a=0"为假命题，则实数。的取值范围

为.

能力提升

一、单选题

1.(2024・全国•模拟预测)已知函数/卜)=1匕的图象关于点(1,/■⑴)对称，则。=()

A.1B.2C.eD.e2

2.(2024・贵州毕节•三模)已知函数遂》)=巴巴是奇函数,若“2023)>“2024),则实数。的值为()

ex+a

A.1B.-1C.±1D.0

3.(2024•北京西城・三模)已知函数/(x),=2',若V再,％eR,且项<%,则下面结论错误的是()

Bf广+/)</(匹)+/(%)

A./(%1)</(x2)

C./(卒2)=/(再)+/(%)D.f(xl+x2)=f(xl)f(x2)

xr<0

4.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数〃x)=也e；］；。g")=x-3,方程/(g(x))=-3-g(x)有两个不

同的根，分别是再,马,则再+无2=()

A.0B.3C.6D.9

1J,121

5.(23-24高三下,河南周口•开学考试)若〃=—=—”,。=一，贝U()

563

A.b>c>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

6.(2022•全国•模拟预测)已知〃=41，6=93，c=6f则小儿c()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

二、多选题

2

7.（2024•山东临沂•一模）已知函数〃x）=7「+a（aeR）,则（）

2—1

A.73的定义域为（-8,0川（0,+8）

B.〃x）的值域为R

C.当a=l时，〃x）为奇函数

D.当°=2时，/（-x）+/（x）=2

三、填空题

8.（2024•辽宁・模拟预测）命题"任意xe[1,3],°W2,+2-，"为假命题，则实数。的取值范围是.

'2x,x>0,

9.（2024•上海三模）若〃?eR,/（%）=1,则满足〃加-2"7•（加+3）的心的最大值为_____.

—,x<0

〔2一

10.（2024•广东广州三模）函数〃x）=其中a>0且g