中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）（学生版）-2024年中考数学复习专项题型训练

中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线含切线（4。是。。的切线）

△PAC—APDB

△ABD—AAEC

△AE2t\ADB

△ACD-ACBDsAABC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这

些特殊图形中求出一些中间量。

题型归纳

目录：

题型1：圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题

题型4：圆与坐标系或函数

题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9：在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

ADJ.BC于点E,连接。E,AE=CE.

（D如图1,连接。E,求NAEO的度数；

（2）如图2,连接AC,延长E0交AC于点N,点、F为AC上一点，连接E尸，在斯上方作等腰直角三角形跳6,

且/EG/=90。，连接NG,求证：NG//BC-,

（3）在（2）的条件下，连接48,CD,当点G落在线段42上时，过点。做交CO于点L交CE

于点T,若OE=60EG=2CL,求。。半径的长.

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知：AB为。。的直径，点C为AB上一点，连接AC,点。为BC上一点,

连接AD,过点。作A5的垂线，垂足为点尸，交。。于点E,连接CE,分别交4。和48于点H和点K,

且乙477E=90°.

⑴如图1,求证：Z.CAD=ZBAD-,

（2）如图2,连接mL过点”作加'的垂线交A3于点T,求证：AB=2FT；

⑶如图3,在（2）的条件下，连接3C交于点G,延长8交AB的延长线于点若CN=AG,FT=5,

求CG的长.

3.（2024.黑龙江哈尔滨.一模）如图1,在。。中，直径48垂直弦8于点G,连接AD,过点C作bl.AD

于F,交AB于点H,交。。于点E,连接OE.

图1图2图3

(1)如图1,求证：NE=2NC；

(2)如图2,求证：DE=CH；

(3)如图3,连接BE,分别交AZXCD于点M、N,当OH=2OG,HF=M,求线段EN的长.

(1)连结AO,BO.求证：ZAOB+2Z2MC=180°；

(2)如图2,若点E为弧AC上一点，连结班交AD于点F,若NBADQNCAD,ZDBF+4ZCAD=90°,连结OF,

求证：O尸平分NAEB；

⑶在(2)的条件下，如图3,点G为8C上一点，连结EG,/BGE=2/C.若AD=&,BD+EG=3,

求。歹的长.

题型2：圆与四边形综合

5.(2024•浙江杭州•模拟预测)如图，四边形ABCD内接于。0,AC为。。的直径，DE」AC于点、F交BC

于点E.

(1)设ZD8C=a,试用含a的代数式表示/ADE；

(2)如图2,若BE=3CE,求丝的值；

⑶在⑵的条件下，若AC/。交于点G,设广=无，cosNBDE=y.

CF

①求y关于x的函数表达式.

②若BC=BD,求y的值.

6.(2024・广东珠海•一模)如图1,尸为正方形ABCD边5c上一点，连接AF,在川上取一点。，以Q4

图1图2

(1)若正方形的边长为4时，求OO的半径；

(2)如图2,将反绕点A逆时针旋转45。后，其所在直线与。。交于点G,与边CD交于点连接OG,BG.

①求ZADG的度数；

②求证：ABBF+AGFG=BG2.

题型3：圆有关的动态问题

7.(2024・广东•一模)综合探究：

如图，已知AB=10,以48为直径作半圆O,半径。4绕点。顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当

点C与点8重合时停止.连接5c并延长到点使得CD=3C,过点。作于点E,连接AD,AC.

(1)如图1,当点E与点。重合时，判断△A&D的形状，

(2)如图2,当OE=1时，求BC的长；

(3)如图3,若点P是线段AO上一点，连接PC,当PC与半圆。相切时，判断直线尸C与AD的位置关系,

并说明理由.

8.(2024・浙江湖州.一模)如图，在YA5CZ)中，N2是锐角，AB=6&.,BC=10,在射线班上取一点

P,过P作PEJL3C于点E,过P,E,C三点作。0.

图3

3

(1)当cos8=g时，

①如图1,若A8与。。相切于点P,连结CP,求CP的长;

②如图2,若OO经过点。，求。。的半径长.

(2)如图3,已知。。与射线54交于另一点R将沿所所在的直线翻折，点8的对应点记为方，且方

恰好同时落在。。和边人£＞上，求此时上4的长.

9.(2024•云南昭通・模拟预测)如图，在。。中，48是OO的直径，点M是直径48上的一个动点，过点

M的弦CD_LAB,交。。于点C、D,连接BC,点f为BC的中点，连接O尸并延长，交于点E,交。。

于点G.

图1图2备用图

(1)如图1,连接CG,过点G的直线交。C的延长线于点P.当点M与圆心。重合时，若NPGC=NMDE,

求证：PG是。。的切线；

(2)在点M运动的过程中，DE=kDF(人为常数)，求上的值；

(3)如图2,连接BG、OF、MF,当△MO尸是等腰三角形时，求ZBGD的正切值.

题型4：圆与坐标系或函数

10.(2024•福建龙岩.一模)如图，抛物线y=—Y+3x+4与x轴分别交于A、8两点(点A在点B的左侧)与

y轴交于点c.

⑴⑵

(1)直接写出A、B、C三点的坐标；

(2)如图(1),P是抛物线上异于A,3的一点，将点B绕点尸顺时针旋转45。得到点Q,若点。恰好在直线"

上，求点尸的坐标；

(3)如图(2),是抛物线上异于8,C的两个动点，直线与直线CM交于点T,若直线MN经过定点

(1,3),求证：点T的运动轨迹是一条定直线.

11.(2024•江苏常州•模拟预测)定义：在平面直角坐标系宜万中，P、。为平面内不重合的两个点，其中

P(占,%).若：xi+yl=x2+y2,则称点Q为点P的“等和点”.

⑴如图1,已知点尸(2,1),求点P在直线y=x+l上"等和点”的坐标;

(2)如图2,0A的半径为1,圆心A坐标为(2,0).若点尸(0,根)在OA上有且只有一个“等和点”，求机的值;

⑶若函数y=-d+2(x4")的图像记为叱，将其沿直线》=，〃翻折后的图像记为叽.当叱，也两部分组成

的图像上恰有点尸(0,祖)的两个“等和点”，请直接写出机的取值范围.

12.(2024•江苏宿迁•一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+6x+3与x轴分别相交于4、

已知点A的坐标为(-1,0),点8的坐标为(3,0).

(1)求出这条抛物线的函数表达式；

(2)如图2,点。是第一象限内该抛物线上一动点，过点。作直线/〃y轴，直线/与的外接圆相交于

点、E.

①仅用无刻度直尺找出图2中AABD外接圆的圆心P.

②连接8C、CE,BC与直线DE的交点记为。，如图3,设△CQE的面积为S,在点。运动的过程中，S

是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由.

13.（2024•江苏宿迁•二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的

分界线.在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点P（4M）是图

形@上的任意一点，点。优,%）是图形色上的任意一点，若存在直线/：y=辰+6（左w。）满足％W何+6且

y2>kx2+b,则直线y=k+伙后W0）就是图形G1与G?的“楚河汉界线”.例如：如图1,直线/：y=-》-4是函数

>=9（无<0）的图像与正方形OABC的一条“楚河汉界线”.

X

⑴在直线①>=-2无，②y=4x-l,③y=-2元+3,④y=-3x-l中，是图1函数y=%无<0）的图像与正

方形Q4BC的“楚河汉界线”的有；（填序号）

（2）如图2,第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点。的坐标是（2,1）,AEDF与0O

的“楚河汉界线，，有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；

（3）正方形4月。。的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点”（2J）是此正方形的中心，若存在直线

y=-2彳+6是函数y=一/+2x+3（0VxW4）的图像与正方形4由6〃的“楚河汉界线”，求r的取值范围.

题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

14.（2024•陕西西安・一模）【问题提出】

（1）如图1,已知在边长为5的等边AABC中，点。在边BC上，BD=3,连接4）,则AACD的面积为一;

【问题探究】

（2）如图2,已知在边长为6的正方形A3CD中，点E在边3c上，点尸在边上，且ZE4F=45。，若EF=5,

求△AEF的面积；

【问题解决】

（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在AB=4米，4。=46米的矩形98区域内

开挖一个△AEF的工作面，其中3、尸分别在BC、CD边上（不与3、C、D重合）,且㈤F=60。，为了

减少对该路段的拥堵影响，要求AAEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF?若存在，请求出

△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

15.(2024.陕西西安.一模)【问题提出】

(1)如图1,点。为AABC的边3c上一点，连接AD,NBDA=NBAC,洛=:，若△ABD的面积为4,则AACD

的面积为;

【问题探究】

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,在射线8c和射线CO上分别取点区F,使得空=?,

CF5

连接AE、陟相交于点尸，连接CP,求CP的最小值；

【问题解决】

(3)如图3,菱形ABCD是某社区的一块空地，经测量，AB=120米，ZABC=60°.社区管委会计划对该

空地进行重新规划利用，在射线AD上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路四上取点H,将段

铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道(通道宽度忽略不计)，根据设计要求，NBHC=NBCE,为了节

省铺设成本，要求休闲通道CH的长度尽可能小，问S的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最

小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

题型6：最值问题

16.(2024・湖南长沙•三模)如图1,A,8,C为。。上不重合的三点，GC为。O的切线，!zG+ZA=90°.

⑴求证：GB为。。的切线；

(2)若AABC为等腰三角形，ZBAC<45°,tanZBAC=|,求段的值；

4AG

⑶如图2,若A3为直径，M为线段AC上一点且GMLGB,AM2+OB2-3GB2+8GB-8=0,0<GB<2,

求S四边形MG8A的最大值.

17.(2024・重庆・模拟预测)如图，在直角AABC中，/54C=90。.点。为“1BC内一点，且")8=60。,

E为线段网＞的中点，连接AE.

(1)如图1,若AB=AC=b，AD=2,求BE的长;

(2)如图2,连接CD,若AB=AC,ZBAE^ZACD,过点E作砂工AD交于E求证：AE=4^DF■,

(3)如图3,过点。作。“人AC于点M,DN1BC于■点、N,连接肱V,若A8=2百，AC=4,求初V的最

小值.

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

18.(2024・福建泉州•一模)如图1,在YA5C。中，8E平分,ABC交AD于点E,歹是8上一点，且=

,EA

ED

C~~%

B

图1图2

(1)求证：BE±EF；

(2)如图2,若NA=120。，/G,3c于点G,H是母■的中点，连接。G,EH,EG,且EG与所相交于点

K.

①求证：DG=EH；

②若CF=2DF,求笫的值.

CJK

题型8：定值问题

19.(2024・浙江•模拟预测)如图1,E点为无轴正半轴上一点,OE交)轴于4、8两点，P点为劣弧BC上

一个动点，且4—1,0)、£(1,0).

丹为斗

]B攵4o/「1B^

图1图2图3图4

(l)BC的度数为

(2)如图2,连结尸C,取PC中点G,则0G的最大值为二

(3)