2025年高考数学复习之复数

2025年高考数学复习新题速递之复

选择题（共8小题）

1.（2024•宾川县校级开学）若€=1-K则z的虚部为（

）

Z

A.-3B.3C.3/D.-3/

2.（2024•西吉县校级开学）已知复数z=3+4i,i为虚数单位，则z的共轨复数5=（）

A.3-4zB.4+3iC.4-3zD.-3+4z

3.（2024•曹县开学）若复数z满足z=9j,则|z|=（）

V21V2V5

A.—B.-C.—D.—

10555

4.（2024•河南模拟）若z=2-i—宗。ER）且|z|=l,则x取值的集合为（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

5.（2024秋•安徽月考）若0=上，贝眩=（）

z+12

A.2+3iB.2-3zC.3+2zD.3-2z

6.（2024•邢台开学）设复数z=11r则2z—2=（）

A.1-3iB.3-zC.1-zD.3+i

7.（2024•浙江开学）己知复数z满足5z+32=8—2i,则|z|=（）

A.1B.2C.V2D.2V2

2z-l

8.（2024•桂平市开学）若----=1+i,则z=（）

z

11111111

A.--不iB.-+7TiC.一+一iD.———i

22222222

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024•信都区校级开学）关于复数的命题正确的有（）

A.若复数Z1>Z2,则Z1,Z2GR

B.若复数2=川-1+（m+1），为纯虚数，则加=±1

C.若ziz2=0,贝！Jz2=0或zi=0

D.若|zi|=|z2|,则

（多选）10.（2024•望城区校级开学）已知复数zi的虚部与Z2的实部均为2,则下列说法正确的是（

A.zi是虚数

B.若0|=阂=2,则ZI=Z2

C.若Z1=z7，则zi与Z2对应的点关于无轴对称

D.若Z1・Z2是纯虚数，则|Z1|=|Z2|

（多选）11.（2024•七星区校级模拟）已知a,b&R,z是纯虚数，2为z的共轨复数，且a-3z=（-3-z）

i（i为虚数单位），贝（I（）

A.a=1,z-z=1

B.b+z=b—z

C.|Z|=|卷）2|

D.z是方程x2-（b+i）]+万=0的一个根

（多选）12.（2024秋•开福区校级月考）已知zi,Z2,为复数，则下列说法正确的是（）

A.看"1=

B.若Z1+Z2表示Z1+Z2的共治复数,则Zi+Z2=F+药

C.若ziz2=0,贝lJzi=0或z2=0

D.若z£+z/=0,则zi=z2=0

三.填空题（共4小题）

13.（2024秋•五华区校级月考）若复数z=2（l+s讥。-丝|亚）+is讥火0V0V7T）在复平面内对应的点位

于直线>=无上，则A的最大值为.

14.（2024•西城区校级开学）若z（1+力=23则|z|=.

15.（2024春•青浦区校级月考）复数z=（1-3/）2在复平面内对应的点位于第象限.

16.（2023秋•固始县校级月考）若复数z满足（l+2iAz=3+4i（其中i是虚数单位），则复数z的共辗复数

Z=.

四.解答题（共4小题）

17.（2024秋•雨花区校级月考）如图，点Z（a,b）,复数z=a+历,（a,6eR）可用点Z（a,b'）表示，这

个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯

一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个

复数z=a+6i都可以表示成r（cosO+isin。）的形式，即其中r为复数z的模，。叫做复数z

（力=rsinO,

->

的辐角（以x非负半轴为始边，0Z所在射线为终边的角），我们规定040〈2n范围内的辐角8的值为

辐角的主值，记作argz.r（cos6+zsin0）叫做复数z=a+bi的三角形式.复数三角形式的乘法公式：n

(cos6i+zsin0i)*r2(cos02+ZsinO2)=nr2[cos(01+02)+isin(01+02)].

棣莫佛提出了公式：[r(cos0+zsin0)F=d(cosM0+zsinn0),其中厂＞0,几WN*.

(1)已知z=*+亭w=¥+*i,求zw+z/的三角形式；

(2)已知Bo为定值，O<8o《m将复数l+cosBo+isinOo化为三角形式；

(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为Zl,Z2,…，Z20,求复数赞°24,

z/°24,…，z第24所对应不同点的个数.

yf

b.......................1

Z:a+bi：

•►

O---------------ax

18.(2024春•广西月考)(1)已知：复数z=(l+i)2+吕，其中，为虚数单位，求z及团；

(2)若关于x的一元二次方程/+蛆+"=0的一个根是1+近3其中m，〃eR,i是虚数单位，求“Z-

n的值.

19.(2024春•武功县校级期中)已知复数z满足2+2i=(z-1)(1-/)(，是虚数单位).

(1)求团;

(2)若复数z2-52+a2-2az在复平面内对应的点在第三象限，求实数。的取值范围.

20.(2024春•福州期末)已知复数z满足z+2=2,z—z=4i.

(1)求|3+2|；

10TT

(2)设复数z2,z+2z,一在复平面内对应的点分别为A,B,C,求cos〈4B,BO.

2025年高考数学复习新题速递之复数（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

若g=lT，则z的虚部为（

1.（2024•宾川县校级开学）

A.-3B.3C.3,D.-3/

【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】B

【分析】先利用除法运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.

【解答】解：因为£=1-i,

Z

所以z=9=(1-0C1+0=3+3i,

所以z的虚部为3.

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部的定义，属于基础题.

2.（2024•西吉县校级开学）已知复数z=3+4i,i为虚数单位，则z的共辗复数2=（）

A.3-4/B.4+3iC.4-3iD.-3+4z

【考点】共轨复数.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】A

【分析】利用共轨复数的定义求解即可.

【解答】解：：z=3+4i,.♦.2=3-4i.

故选：A.

【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题.

（•曹县开学）若复数满足=犯，则（）

3.2024z2|z|=

A.返1V5

B.-cWD.一

10555

【考点】复数的除法运算；复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】D

【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再代入模的公式，即可求解.

【解答】解：由题知，z=^职二点=呆=看一工

（3十L八5-I）1U3D

所以团=J条+-=*

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

4.（2024•河南模拟）若z=2—i—貂QCR）且|z|=l,则x取值的集合为（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{113}

【考点】复数的混合运算.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,根据|z|=l得方程，求解即得.

【解答】解：由z=2T—岩=（2—i）（2彳厂（x+i）=（5,；尸,

且|z|=l,得-忙上1=1,即=1,

可得（5-x）?+l=5,解得：x=3或7.

取值的集合为{3,7}.

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

5.（2024秋•安徽月考）若H=贝眩=（）

z+12

A.2+3iB.2-3iC.3+2/D.3-2z

【考点】复数的运算；共物复数.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】D

【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得{;£二：；：，即可求解.

【解答】解：设复数z=〃+Z?i（〃，/?eR）,则5=a—bi.

「rZ-2I

因为丁；=二，

z+12

-一,ct+bi—2i,

所以---;—=故r2〃-4+2Z?/=Z?+（〃+1）i,

a-bi+12

整理得度工普

所以a=3,b=2,所以z=3+2i,

所以2=3—2i.

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

6.(2024•邢台开学)设复数z=告，则2z—2=()

A.1-3iB.3-zC.1-zD.3+i

【考点】复数的除法运算；共辗复数.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,即可得到其共轨复数，最后根据复数代数形式的加减运

算法则计算可得.

【解答】解：因为2=占=石羽'=1一＞贝吃=l+i,

所以2z—z=2(1—i)—(1+i)=1—3i.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轨复数的定义，属于基础题.

7.(2024•浙江开学)已知复数z满足5z+32=8-2i,贝！J|z|=()

A.1B.2C.V2D.2V2

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】C

【分析】设z=a+4(a&R,beR),由5z+32=8—2i,根据复数相等求出z,再利用复数模的计算公

式求出|z|.

【解答】解：设z=a+6i(aeR,6eR),则2=a—bGR),

由5z+32=8—2i,则5(a+bi)+3(a-bi)=8-2i,

化简得8〃+2瓦=8-2z,

贝叱二82,解得仁二,

则Z=1-。

所以|z|=J12+(—1)2=&.

故选：C.

【点评】本题主要考查复数相等的条件，以及复数模公式，属于基础题.

2z-l

8.(2024•桂平市开学)若----=1+3则z=()

z

1III1111

A.一5-iB.—+C.—+—iD.———i

22222222

【考点】复数的混合运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】c

【分析】利用复数乘法和除法法则计算出答案.

2z-l

【解答］解：----=l+i=>2z-l=z+zi=>z(l-i)=1,

z

I，；11+i11.

"Zz=口=(l-0(l+0=2+2l-

故选：c.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2024•信都区校级开学)关于复数的命题正确的有()

A.若复数zi>z2,则zi,Z2GR

B.若复数Z=»J2-I+(m+1)z•为纯虚数,则机=±1

C.若ziz2=0,则z2=0或zi=0

D.若|zi|=|z2|,则燹=z：

【考点】复数的混合运算.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】AC

【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数的乘法和模长的计算可判断C,根据模长公式和复数

的乘方即可判断D.

【解答】解：由复数定义可知，若复数zi>z2,这两个复数能比大小，则zi,Z26R,故A正确；

若复数z=M-i+。"+1)i为纯虚数，则，爪2-1=。，解得加=1,故B错误；

若Z1Z2=O,则有|Z1Z2|=|Z1||Z2|=O,即|zi|=0或|Z2|=O,所以Z2=0或Zl=0,故。正确;

若|zi|=|z2|,则=z：不一定成立，比如Zi=l-i/z2-V2i,

满足%|=%|=或,但毅=-2i,zl--2,不满足z£=z*,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查复数的混合运算，考查运算求解能力，是基础题.

（多选）10.（2024•望城区校级开学）已知复数zi的虚部与Z2的实部均为2,则下列说法正确的是（）

A.zi是虚数

B.若团|=0|=2,则ZI=Z2

C.若Z]=药，则Z1与Z2对应的点关于x轴对称

D.若ZJZ2是纯虚数，则|zl|=|z2|

【考点】复数的实部与虚部；纯虚数；复数的模.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】ABD

【分析】借助虚数定义可得4借助模长公式计算即可得2;借助共辗复数定义与复数的几何意义可得

C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D

【解答】解；可设复数zi=a+2i（a€R）,z2=2+bi（Z?£R）

A选项：根据虚数定义可知A正确；

8选项：|ZI|=|Z2|=2,所以。2+4=廿+4=4,则。=匕=0,

所以21=万，Z2=2,所以Z1WZ2,故8不正确；

C选项：若Zi=&,所以a+2i=2-6i,所以。=2,b=-2,

所以zi,Z2对应的点分别为（2,2）和（2,-2）,则关于x轴对称，故C正确；

D选项：因为zi・z2=（a+2i）（2+应）=2。-26+（2a+2b）i,

且zi・z2是纯虚数，所以。=6,所以zi=2+2i,z2=2+2i,则zi=z2,

所以|Z1|=|Z2|,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题.

（多选）11.（2024•七星区校级模拟）已知a,66R,z是纯虚数，2为z的共朝复数，且a-3z=（-3-z）

i（i为虚数单位），贝！I（）

A.a=l,z，z=l

B.b+z=b—z

D.z是方程x2-(Z?+i)x+bi=O的一个根

【考点】复数的混合运算.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】ACD

【分析】先由已知条件求出纯虚数z,然后利用复数的四则运算及模的运算判断AC,利用共轨的概念

判断b利用复数相等验证方程的根判断D

===

【解答】解：由题意设ztif因为a-3z=(-3-z)i,所以〃-3ti(-3-tDit~3i,所以a=t

=1,

所以z=i,z-z=ix(-i)=1,故A正确；

对于bb+i=b—i,b—z=b+i,所以b+zWb—5,故3错误；

对于C,|Z|=「|=1,|(军)2|=|(旨)2|=|(_i)2|=|_l|=l,所以|Z|=|(|希)2],故C正确；

对于D,因为z2-(b+i)Xi+bi=-1-bi-(-1)+6=0,

所以z是方程x2-(b+i)x+6i=0的一个根，故£)正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

(多选)12.(2024秋•开福区校级月考)已知zi,Z2,为复数，则下列说法正确的是()

A.Z7-Zi=%|2

B.若Z1+Z2表示Z1+Z2的共军厄复数，则Z1+Z2=五+W

C.若Z1Z2=O,则Z1=O或Z2=O

D.若z£+z/=0,则zi=z2=0

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】ABC

【分析】设zi=a+瓦，Z2=c+di(a,b,c,AR),根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.

【解答】解：设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dE.R),

对于A中，由刈•Zi=(a+bi)(a—bi)=a?+廿=忆1|2,所以A正确；

对于8中，因为z1+Z2=(a+c)—(6+d)i,无+&=(a+c)-(6+d)i,

所以石下至=痣+与，所以2正确；

对于C中，由ziz2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

若ziz2=0,可得二?d=?,可得q=b=o或c=d=o,所以C正确；

lad4-DC=0

对于。中，取zi=l,z2=i,可得燹+z：=1-1=0,所以。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

三.填空题（共4小题）

13.（2024秋•五华区校级月考）若复数z=4（l+s讥。-写2）+匕出火0〈。〈兀）在复平面内对应的点位

于直线>=无上，则）的最大值为-1_.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】V2-1.

【分析】根据题意得出入（l+sin。-也罗）=sinB,利用sin。表示入，求）的最大值即可.

【解答】解：因为复数z=X（l+sine-与亚）+isine（0<e<7t）在复平面内对应的点位于直线y=x上，

所以入（］+sine-co;2B）=$苗。，

因为0<）<m所以为缶（0,1］；

所以l+2sin8+2sin20>l,

所以入=-----~2-=--------------<,2=-^―=V2-1,

l+2sin0+2s讥2。^+2+2sin02工・2sin0+2/+1

sinfJ

当且仅当.c=2sin8,即sin9=亍，即8=］或—时取"=

sindZ44

所以人的最大值为&-1.

故答案为：V2-1.

【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了三角函数应用问题，是基础题.

14.（2024•西城区校级开学）若z（1+z）=23则|才=_/_.

【考点】复数的运算；复数的模.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】V2.

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

_2+2i_2+2i

【解答】解：由z（1+z）=2i,得z=/?=1+K

(l+0(l-i)IT

|z|=Vl2+I2=V2.

故答案为：V2.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

15.（2024春•青浦区校级月考）复数z=（1-302在复平面内对应的点位于第三象限.

【考点】复数对应复平面中的点.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】三.

【分析】由复数的乘法运算和复数的几何意义求解.

【解答】解：：z=（1-3z）2=1-6Z+9Z2=-8-6i,

，对应复平面内的点为（-8,-6）,位于第三象限.

故答案为：三.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

16.（2023秋•固始县校级月考）若复数z满足（l+2i）・z=3+4i（其中，是虚数单位），则复数z的共辗复数

_112

z="+~i.

55

【考点】复数的除法运算；共辗复数.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算.

112

【答案】事+1

【分析】根据复数的四则运算进行化简，再写出其共辗复数即可.

【解答】解：由（l+2i）・z=3+4i,得z=瑞=卷瓠;二2=葺_林，2=甘+秋

,112

故答案为：—+-i.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

四.解答题（共4小题）

17.（2024秋•雨花区校级月考）如图，点Z",6）,复数z=a+6i（a,bER）可用点Z（a,b）表示，这

个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，龙轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯

一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个

复数z=a+6i都可以表示成r（cosO+isin。）的形式，即［=穴"。，其中厂为复数z的模，9叫做复数z

vb=rsinO,

->

的辐角(以%非负半轴为始边，0Z所在射线为终边的角)，我们规定0《。<2冗范围内的辐角e的值为

辐角的主值，记作argz.r(cos6+zsin0)叫做复数z=a+bi的三角形式.复数三角形式的乘法公式：n

(cos0i+zsin0i)*r2(cos02+zsin02)=nr2[cos(01+02)+isin(01+02)].

棣莫佛提出了公式：[r(cos0+zsin0)]几=/(cosn0+zsinn0),其中9>0,nGN*.

(1)已知z=*+字〃w=¥+求zw+zM的三角形式；

(2)已知Bo为定值，O<0o<7i,将复数l+cosBo+isinGo化为三角形式；

(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为Zl,Z2,Z20,求复数贫。24,

Z把24,…，Z绍24所对应不同点的个数.

y八

b.......]

Z:a+bi!

•►

O----------a---x

【考点】复数的代数形式与三角形式互化.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】(1)V2(cos+isin-^)；

(2)2cos?(cos?+is讥郸；

(3)5.

【分析】⑴把已知z=>畀w=¥+孝E代入ZW+-3求解即可;

(2)利用复数代数形式与三角形式的互化求解即可；

27f

(3)正二十边形每边所对的中心角为一，设zi=cose+isine(9为常数)，进一步求解即可.

20

【解答】解：(1)zw+zw3=zw(l+w2)=+孚D(孝+孝0(1+0

—V2(-+*i)=V2(cos+isin~^);

2

(2)1+COSQQ+isin30=2cos+Hsin^-cos^-=2cos?(cos?+isin

27f

(3)正二十边形每边所对的中心角为一，设zi=cos6+isin。(。为常数)，

则Z/c=(cosB+is讥8)[cos"Bo1"+，讥"kzo1"]，k=1,2,…，20,

所以履°24=(COS20246+is讥20248)(cos2024-第+isin2024■|^)k-1

=(cos20246+is讥20248)(cos争+isin^)k-1,

由周期性可知，Z四24共有5个不同的值，

故复数者。24,z把24,…，Z碧24所对应不同点的个数为5.

【点评】本题考查复数代数形式与三角形式的互化，考查运算求解能力，是中档题.

18.(2024春•广西月考)(1)已知：复数z=(l+i)2+台，其中i为虚数单位，求z及团：

(2)若关于x的一元二次方程x2+mx+"=0的一个根是1+其中，w,"CR,i是虚数单位，求m-

n的值.

【考点】复数的模；实系数多项式虚根成对定理.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】(1)z=-l+3z,|z|=V10；

(2)m-n--5.

【分析】(1)利用复数的加减乘除运算法则化简复数即得2=-l+3f,计算出其模长；

(2)根据实系数的一元二次方程的根的特征，判断方程有另一根1-利用韦达定理即可求得.

【解答】解：(1)由2=(1+。？+=2t+=2t+i(l+i)=-1+3i,

-LCI-1-I-JIJ-II-j

则|z|=I-1+34=VTo；

(2)由x的一元二次方程/+〃a+"=0的一个根是1+且羽，”eR,可知该方程还有另一个根为

1-V2J.

由韦达定理，l+V^i+l—&i=2=-m,(1+V2i)(l-V2i)=1—(V2i)2=3=几，

故得m--2,”=3,m-n--5.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

19.(2024春•武功县校级期中)已知复数z满足2+2i=(z-1)(1-z)(，是虚数单位).

(1)求|z|；

(2)若复数z2-52+a2-2az在复平面内对应的点在第三象限，求实数。的取值范围.

【考点】共轨复数；复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)V5；(2)(p4).

【分析】(1)根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可;

(2)根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.

【解答】解：(1)由2+2i=(z-1)(1-z),

7

得z…胖…湍乐1+23

所以|z|=V12+22=V5,

(2)因为z=l+2i,

所以z?—5z+a2-2az=(z—a)2—5z=(1+2i—a)2—5(1—2i)

—(1+2Z)2-2。(l+2z)+/-5+101=(a?-2a~8)+2(7-2a)i.

因为该复数在复平面内对应的点在第三象限,

02_2d_8<0,7

所以解得5<4,

7-2a<0

所以实数。的取值范围为8，4).

【点评】本题考查的知识点：复数的运算，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

20.(2024春•福州期末)已知复数z满足z+2=2,z-z=4i.

(1)求|3+2|；

10TT

(2)设复数z2,z+22,一在复平面内对应的点分别为A,B,C,求cosIB,BO.

z

【考点】共轨复数；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】(1)2V5；

3V10

(2)----.

10

【分析】(1)根据已知条件，结合共辗复数的定义，复数模公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出A,B,C,再结合向量的夹角公式，

即可求解.

【解答】解：(1)复数z满足z+2=2,z-z=4-i.

所以z=l+2i,

所以2=1-21,

故|3+2|=|4-2i|=V16+4=2小；

(2)由(1)得z2=(1+2i)(l-2i)=1-4i2=5,

则A(5,0),

z+22=1+2i+2—4i=3—2i,则B(3,-2),

101010(l-2i)

=2—43则C(2,-4),

zl+2i5

—>—>

所以ZB=(-2,-2),BC=c-1,-2),.

6_3/10

故cosV4^,品>=”远

-

\AB\\BC\272x7510

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

考点卡片

1.复数的实部与虚部

【知识点的认识】

i是数学中的虚数单位，於=-1,所以i是-1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数，把。=0且bWO的

数叫做纯虚数，aWO,且6=0叫做实数.复数的模为&12+炉.形如。+历beR)的数叫复数，其中

a,6分别是它的实部和虚部.

【解题方法点拨】

-分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部.

-应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程.

【命题方向】

-实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部.

-实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题.

若复数z=/-3+2出的实部与虚部互为相反数，则实数a=.

解：若复数z=G-3+2ai的实部与虚部互为相反数，

贝！I/-3+2a=0,解得：a=-3或a=l,

故答案为：-3或1.

2.纯虚数

【知识点的认识】

形如a+bi(a,beR)的数叫做复数，a,6分别叫做它的实部和虚部，当a=0,6W0时，叫做纯虚数.

纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果.

【解题方法点拨】

复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路.要完整理解复数为

纯虚数的等价条件，复数z=a+6i(a,bER)为纯虚数的充要条件是a=0,b/O.

实数集和虚数集的并集是全体复数集.虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一

个真子集.

【命题方向】

纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，

考察学生的基本运算能力.常见的命题角度有：(1)复数的概念；(2)复数的模；(3)复数相等的四则运

算；(4)复数在复平面内对应的点.

3.复数的代数表示法及其几何意义

【知识点的认识】

1、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，无轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单

位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+bi-复

平面内的点z(a,b)-平面向量莅.

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：

(1)\z\=\z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；

(2)|z-zo|表示复数z对应的点与复数zO对应的点之间的距离.

3、复数中的解题策略：

(1)证明复数是实数的策略：

①z=a+b^eR=b=O(a,bGR)；②z€Ro2=z.

(2)证明复数是纯虚数的策略：

①z=a+①为纯虚数=。=0,b于。(a,Z?GR)；

②6W0时，z-2=2bi为纯虚数；③z是纯虚数=z+2=0且zWO.

4.复数对应复平面中的点

【知识点的认识】

1、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，尤轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位

是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+6i-复平

面内的点z(a,b)-平面向量法.

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：

(1)|z|=|z-0|=a(cz>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；

(2)|z-zo|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.

【解题方法点拨】

-点的表示：将复数。+历作为复平面上的点(a,b)进行图示.

-几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析.

【命题方向】

-复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义.

-复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题.

5.共朝复数

【知识点的认识】

实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共辗复数.如2+3i与2-3i互为共辗复数，用数学语言

来表示即：复数Z=a+bi的共轨复数2=A-bi.

【解题方法点拨】

共