人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册教学设计1：3 3 2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1

课程基本信息课题3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用教学目标教学目标：使学生熟练掌握抛物线的几何性质——范围、顶点、离心率、对称性等.教学重点：初步掌握有关抛物线的解题方法,培养学生分析问题、解决解题的能力.教学难点：坐标法在解决〖解析〗几何问题中的应用.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟5分钟7分钟5分钟3分钟复习引入问题探究类比探究性质推广巩固练习小结问题1抛物线的简单几何性质都有哪些？各种标准方程形式下的几何性质分别是什么？我们已经学习了抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程、范围、对称轴、顶点、和离心率问题2经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.追问1：这条抛物线的对称轴是什么？开口方向与轴的正方向相同，抛物线在轴右侧，对称轴为轴.追问2：如何证明一条直线平行于轴？直线斜率为0，直线上任意两点纵坐标相等，等等.因此，本题可证明点，点的纵坐标相等.追问3：如何求点，点的纵坐标？点为直线与抛物线的交点，需要构建直线方程与抛物线方程间的联系.点为直线与抛物线准线的焦点，需要构建直线方程与准线方程间的联系.因此，我们从点与焦点弦的关系出发，通过设直线的方程，从而表示点.追问4：如何设直线的方程便于计算？不妨将过焦点的直线方程设为，从而避免直线斜率是否存在的分类讨论.下面我们来具体计算：设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，所以.即.直线的方程为，因为，所以直线的方程为.令，得点纵坐标为.所以.所以直线平行于轴.即直线平行于抛物线的对称轴.方法提炼：本题揭示了处理〖解析〗几何问题的核心方法——坐标法.求解中将直线与轴平行问题转化为两点纵坐标相等，借助根与系数的关系，整体代换进行求解.在顺利完成本题的解答后我们又想到，这个结论在一般的抛物线方程中是否仍然成立？问题3经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.分析：我们以抛物线为例进行证明.依然用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点的纵坐标与点的纵坐标相等即可.方法一如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.设，设抛物线的方程为，①设过焦点的直线方程为，②联立①②，消去，可得.所以.即.直线的方程为，因为，所以直线的方程为.令，得点纵坐标为.所以.所以直线平行于轴.即直线平行于抛物线的对称轴.其他抛物线形式也可以类似得到证明，请同学们课下完成.追问1：你还有其他证明方法吗？从点与抛物线的关系出发，通过设点的坐标，得到直线，直线方程，联系抛物线方程和准线方程，从而表示点，点.追问2：点坐标如何表示？因为点是抛物线上的点，所以.追问3：为什么用含有的式子表示点坐标？因为本题要求证的是平行关系，只需证明纵坐标相等，因此我们倾向于用纵坐标表示点坐标.方法二如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为，设点的坐标为，则直线的方程为，①抛物线的准线方程是.②联立②③，可得点的纵坐标为.因为焦点的坐标是，当时，直线的方程为③联立①④，消去，可得，所以.即.所以.于是平行于轴.当时，易知结论成立.所以，直线平行于抛物线的对称轴.方法提炼：问题3是抛物线的一个性质，由这个性质我们发现经过抛物线的焦点和顶点的直线很重要.本题的求解采用了坐标法，通过代数运算解决问题，把平行关系转化为坐标间的关系.问题4过抛物线焦点的一条直线与它交于，经过点作垂直准线于点，求证三点共线.追问1：如何证明三点共线？（1）且有公共点：但是要考虑斜率是否存在.（2）且有公共点：此方法更普遍适用.追问2：如何证明？如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是：存在唯一实数，使得.这个充要条件可以用坐标表示：设，则.因此我们只需证明与的坐标满足此关系.追问3：如何求与的坐标？需要先求得点，点坐标.追问4：如何求解点的坐标？追根溯源，点是过点作准线的垂线得到的垂足，因此点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同.因此问题又转化为以点坐标出发，联系直线与抛物线的关系，表示点和点坐标的问题.我们不妨循着问题3方法二的思路，具体计算：设点的坐标为，则.所以.当时，易知结论成立.当时，直线的方程为.联立消去，可得，所以.即.将代入，得.所以.因为，所以.又与有公共点，所以三点共线.本题也可以通过斜率的相等来求证，请同学们课下完成.小结：〖解析〗几何的核心方法——坐标法用代数法解决几何问题，其核心的解题方法是坐标法．所谓坐标法，就是建立平面直角坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何