人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业3：1 1 1 空间向量及其线性运算练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1.下列命题中为真命题的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等〖答案〗A〖解析〗对于选项B，其终点构成一个球面，对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果不为向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的是()A.(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))B.(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(CC1,\s\up6(→))D.(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为eq\o(AC1,\s\up6(→))，而C中，(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1A,\s\up6(→))，故选C.3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))〖答案〗D〖解析〗∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).故应选D.4.(多选题)在以下命题中，不正确的命题是()A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件C.若eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB与CD所在直线平行D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面〖答案〗BCD〖解析〗eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，A正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选BCD.5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为()A.1 B.0 C.3 D.eq\f(1,3)〖答案〗D〖解析〗∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,3)，故选D.二、填空题6.设M是△ABC的重心，记eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝________(用b，c表示).〖答案〗eq\f(1,3)(c－b)〖解析〗如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(c－b).7.设e1，e2是不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________.〖答案〗－8〖解析〗因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由向量共线的充要条件得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则x＝________，y＝________.〖答案〗1eq\f(1,4)〖解析〗eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).所以x＝1，y＝eq\f(1,4).三、解答题9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).解(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)因为M是BB1的中点，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→)).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).向量eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))如图所示.10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值.解∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).11.(多选题)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是()A.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0C.eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→)) D.eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))〖答案〗BCD〖解析〗易知四边形EFGH为平行四边形，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))，故A不成立；eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0，故B成立；eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→))，故C成立；eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))，故D成立.12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.〖答案〗eq\f(65,7)〖解析〗∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2m－n，,5＝－m＋4n，,λ＝3m－2n，))∴λ＝eq\f(65,7).13.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，求证：E，F，G，H四点共面.证明因为eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→)).由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).因此eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件知eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))共面，又eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))过同一点E，从而E，F，G，H四点共面.14.(多选题)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\