函数零点分布问题-2025年高考数学一轮复习（新高考）

专题突破卷02函数零点分布问题

哀题生颈嵬

根据函数零点的个数求参数范围

根据指对鬲函数零点的分布求参数范围

原题生各小击破

题型一根据函数零点的个数求参数范围问题

1.若当xe［0,2可时，函数y=sin］与>=25亩］的-1（0>0）的图象有且仅有4个交点,

则。的取值范围是（）

、（「、（⑺

A-［"引91力3B.［9另13113引17D-1193句

【答案】C

【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可.

【详解】如图所示，画出尸si吟在xe［0,2兀］的图象，

也画出y=2sin（ox-；j（0>0）的草图，

函数y=sin|■与y=2sin［0x-；［（0>O）的图象有且仅有4个交点，

则将y=2sinLx-^J（«>0）的第4个，第5个与x轴交点向2n处移动即可.

田口好兀,。17K5/口13,17

泗足语<2兀<方解倚丁队可

故选：C.

—x>0

2.已知函数/(x)=x'；若方程/(幻=。恰有三个根，则实数。的取值范围是

X2+2X,X<0

()

A•吗B.4C.D,(O,|)U{-1}

【答案】C

【分析】结合导数分析函数/G)的性质，在同一坐标系内作出直线与函数V=〃x)的

图象，数形结合求出范围.

【详解】当x〈0时，/(x)=(x+l)2-l,函数/(A在(-*-1］上单调递减，在上单调递

增

当x>0时，/(丫)=电二，求导得/'(x)=l,

X

f'(x)>0,得o<x<e,由/'(x)<0,得x>e,即函数/(X)在(0,e)上递增，在(e,+a))上

递减,

当X=e时，/G)取得极大值/'(e)=L且当X>1时，〃x)>o恒成立,

e

在同一坐标系内作出直线>与函数>=/(x)的图象，如图,

与函数V=/(x)的图象有3个公共点，即方程

〃x)=a恰有三个根,

所以实数。的取值范围是

e

故选：C

/\X-6ZX+1,X<0

3.已知函数/x=/n,,)图象与x轴至少有一个公共点，则实数。的取

(6z-l)x+lnx+l,x>0n

值范围为()

A.[-2,+s)B.(-1,0)

C.(-<»,-2]U[0,+co)D.(-l,+co)u{-2}

【答案】C

【分析】对x分类讨论，分离参数求出。的范围，最后去并集即可求解.

【详解】当xWO时，若x2-ax+l=0,显然xwO,否则若x=0,就有1=0,矛盾，

所以a=x+：,(x<0),而函数的>=x+：,(x<0)值域为(-8,-2],

所以若方程。=x+：,(x<0)有解，则。的范围为(-8,-2],

当x>0时，若(a-l)x+lnx+l=0,则a=]-足工+1>0),

设g(x)=l一l££±l,(x>0),则g，(x)=」一(”+l)=与,

XXX

当0<x<l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

所以当0<x<l时，g(x)单调递减，当x>l时，g(x)单调递增，

当XfO时，g(x)f+8,当x-»+co时，

而g⑴=0,

从而g(x)=1-电了,(x>0)的值域为[0,+。)，

而“X)至少有一个零点，所以所求范围即为(-8,-2]U[0,+⑹.

故选：C.

4./3=牛，g(x)=[〃x)了一叮⑺」，若g(x)在其定义域上有且仅有两个零点，则

加的取值范围是()

【答案】B

【分析】利用导数求出/(x)的单调区间，画出/(x)的大致图象，令f=/(x),则问题转化为

22

方程有两个不相等的实根.名，且。心到然后结合根与系数的关系可

ee

求得答案.

4•x-Inx2

【详解】由/口)=叱

'得/'(')=2-Inx2

无(xw0)

2

X

由(无)>。，得2—111/>0,解得一e<x<。或0<x<e,

由/'(x)<0,得2-lnx2<0,解得x<-e或x>e,

所以/(x)在(-e,0)和(0,e)上递增，在(-co,-e)和(e,+s)上递减,

令f=/(尤)，由=啖(x)-l=0,

则/2-"7/-1=0,贝I|A=〃?2+4>O,

所以方程〃一加-1=0有两个不相等的实根,则4+马=机/4=T，

因为g(x)在其定义域上有且仅有两个零点，

22

所以由/W的图象可知tte[—，—],

v2ee

22

不妨设4>—，则,2<--'

ee

因为44=-1,所以%2=-；，

h

\2p2e

所以一1<一一，得0<:<7，所以一

4e2e2

1,1八

由机=4+，2=%一不，得加=1+万>0,

h%

所以加=/「；在[2,；]上递增，所以加<；_2,

hIe2Je22e

即〃?的取值范围是12-三;-2].

故选：B.

5.已知函数=一：若关于x的方程〃立-%=0有两个不同的实根，则

[xlnx,x>0,x

实数%的取值范围是()

A.(一8,0]B.[0,1]C.(一咫0)。{1}D.(-»,O]U{1}

【答案】D

【分析】先进行变形，关于x的方程-机=0有两个不同的实根，即关于x的方程

X

〃^=加有两个不同的实根.即/立)=9=[：+X]》6<0,与》=加有两个不同的交点.

xx[lnx,x>0,

研究尸(x)图像，数形结合可解.

【详解】/M=,n'则关于X的方程山-加=0有两个不同的实根，即关

[xiwc,X>0,X

于X的方程"1=加有两个不同的实根.

X

即F(x)=〃^=]：+x]X,x<0,与尸加有两个不同的交点.

x[lnx,x>0,

令人(x)=+工2-x,%<0,h\x)=3x2+2x-1=0,解得x=-l.

(x)〉0,〃(x)递增，x£(—l,o),/(x)<o,/z(x)递减，

则尸-1有极大值〃(-1)=1.X--8,右0)-—8,

则可画出尸(x)=H+"[的草图.尸(X)与y=m有两个不同的交点.

[lnx,x>0,

则实数机的取值范围是(-双0]。{1}.

故选：D.

6.已知函数/(x)=［吗”了皿"，且xe(0,2兀)，若方程/(x)=a+l与方程〃x)=a-l

Isin-x-l,sinx<0

共有6个不同的实数根，则实数。的取值范围为()

【答案】C

【分析】画出函数/(x)的图像，将方程6个不同的实数根转化为了(同=。-1有4个不同的

实根，/(x)=a+1有2个不同的实根，即可得出结果.

【详解】当siiwNO时，可知xe(O,兀］,当sinx<0时，可知xe(兀,2兀)，所以根据正弦函数

的单调性可得/(x)大致图象如图所示，

由方程“X)=a+1与方程“X)=。-1共有6个实数根，可知="1有4个不同的实根,

“X)=a+1有2个不同的实根,

f-l<6z-l<0

所以八一，

解得0<a<l.

故选:C.

7.定义在R上的偶函数“X)满足/(l+x)=/(l-x),且当xe［0,l］时，/(x)=l-e\若

关于x的方程/(尤)=加(无+1)(加<0)恰有5个实数解，则实数加的取值范围为()

A.(。所1)Bj-t)

【答案】D

【分析】根据题意，推得函数/(X)图象关于直线X=1对称，且函数的周期为2,再由题设

函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.

【详解】

-2

由/(l+x)=/(l-x)可知函数〃x)的图象关于直线x=l对称，

且/(2+x)=/(r),因是偶函数，则/(-x)=/(x),故有/(2+x)=/(x),

即函数〃x)的周期为2.又当xe[O,l]时，/(x)=l-e\故可作出函数的图象如图.

由关于x的方程/(x)=加(x+1)(加<0)恰有5个实数解，可理解为V=与y=加(》+1)恰

有5个交点.

而这些直线恒过定点尸(T0),考虑直线与相交的两个临界位置/(3,l-e),8(5,l-e),

,1—e1—e

由图知，需使kpA<m<k,即——<m<――.

PB46

故选：D.

8.已知函数〃x)=(x2-3)e',若方程〃x)=”有三个实数解，则实数。的取值范围为

()

A.^0,—B.(-2e,0)C.2e,—D.1—,6e]

【答案】A

【分析】先利用导数刻画/(无)的图像，再根据直线>=。与y=/(x)的图像有3个不同的

交点可得实数a的取值范围.

【详解】/'(x)=(x2-3+2x)e^=(x-l)(x+3)e\

当％<-3或x〉l时，/'(%)>0；当-3<工<1时,/'(%)<0,

故〃工)在(-8,-3),(1,+8)上为增函数，在(T1)上为减函数，

故“X)的极大值为〃-3)=!，/(x)的极小值为〃1)=-2e,

当Xf+00时，当Xf-oo时，/(x)fO,

故/(X)的图像如图所示:

故选：A.

9.己知函数/(x)=alnx-x有两个零点，贝I]()

A.a<0B.0<a<eC.a>eD.a>e

【答案】D

【分析】求定义域，求导，当时，/(幻=〃11«-工在(0,+向上单调递减，不合要求,

当。>0时，得到函数单调性和极值，最值情况，得到不等式，求出答案.

【详解】〃幻=。出-》定义域为(0,+动，

当时，f\x)<0,故/(x)=alnx-x在(0,+8)上单调递减，

故/(x)=alnx-x不会有2个零点，舍去，

当。>0时,令/'(x)>0得,x<a,令/'(x)<0得，x>a,

故/(x)=aInx-x在(0,a)上单调递增，在(«,+«)上单调递减，

故/(x)在x=。处取得极大值，也是最大值，/(a)=alna-a=a(lna-l),

又x趋向于0时，，(x)趋向于负无穷，x趋向于正无穷时，/(x)趋向于负无穷,

要想函数/(x)=alnx-x有两个零点，贝l]/(a)="lna-l)>0,解得a>e.

故选：D

10.若不等式alnx-x20有且仅有三个整数解，则实数。的取值范围是()

In35In5JD.[in3-n5_

【答案】A

【分析】设〃x)=4，xe(O,l)31,+。)，作出〃x)=4的图象为，则结合图象，要不等

111Jv111Ji

式alnx-xtO有且仅有三个整数解，取〃2)J(3)J(4)J(5)讨论它们的大小，即可得到。

的范围.

【详解】设/(x)=Apxe(O,l)u(l,+e),

r^=lnx-l；由/，(x)=0,得》=0,

Inx

当xe(O,l)时，r(x)<0,单调递减,

当xe(l,e］时，r(x)<0,〃x)单调递减,

当xe(e,+s)时，f(x)>0,/(x)单调递增,且/(e)=e,

由qlnx-xNO,xe(0,+8),

当XW(0,1)时，a<-^~,即

Inx

当X£(l,+。)时，a^-^—,gp6Z>/(x),

Inx

因为/(2)=总J(3)=2,〃4)=3=3r〃2),〃5)=六，

m2m3In4m2In5

21n331n21119-1118

/(2)-/(3)=~=>o,所以〃2)=/(4)>/(3),

八J'」In21n3In21n3V7')V7

而/⑸-〃2)=京-高51n2-21n5In32-In25八

-----------=----------->0,

In5In2In2In3

即〃5)>〃2),

则结合图象，要不等式Qlnx-xNO有且仅有三个整数解,

只需〃2）Wa＜〃5）

25

即——<a<—,

ln2In5

所以实数的取值范围是2且］

aIn2'ln57

故选：A.

11.设“x）=x3+#+bx_l.函数j=/（x）在x=l处取得极大值3,则以下说法中正确的数

量为（）个.

（3）3。+2b=0；

②对任意的加＜1,曲线＞=〃x）在点（加,/（加））处的切线一定与曲线＞=〃x）有两个公共

点；

③若关于X的方程/（x）=左有三个不同的根为,马,尤3,且这三个根构成等差数列，则左=1.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】运用极值的概念和性质，求出6,代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研

究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像

和函数对称性，判断③即可.

【详解】求导，即/'（x）=3x2+2ax+6,由于函数＞=〃x）在x=l处取得极大值3,则

/”)=3+2a+6=0，解得:一I',则3a+26=0,则①正确;

/(l)=l+a+6-l=3p=9

由上面知道，/(X)=X3-6X2+9X-1,

且/'(X)=3X2-12X+9=3(X-3)(X-1)=0,解得西=l,x2=3.

当xe(l,3),r(x)<0,y=f(x)单调递减;

当xw(-e,l)或者xe(3,+oo),/，(x)>0,y=y(x)单调递增.

则当x=l时，J=/(x)由极大值"1)=3；x=3时，J=/(x)由极小值/⑶=一1；

且对称中心为(-3,/(-?))=(2,1).画出函数图像.

3a3a

由图像，可知对任意的加<1,曲线y=/(x)在点(私/■(»?))处的切线一定与曲线y=/(x)有

两个公共点，故②正确；

若关于x的方程/(力=人有三个不同的根西,当,且这三个根构成等差数列，则

2%=玉+%，根据函数对称性，知道土产=1,%+鼻=2,则迎=1，左=/(2)=1.故③正

确.

故选：D.

12.设函数〃x)=e"-2+(a-1)》-限-2有2个零点，则实数。的取值范围是()

A.(一8,e)B.(0,JC.g,e]D.(O,e)

【答案】D

【分析】由题意可得e"一2+qx-2=%+lnx=einx+lnx,g(x)=ex+x,g(x)在(0,+°0)上单调

递增，进而可得"-2=lnx,分离变量可得。=叱工有2个实数根，再次构造函数可求实

X

数。的取值范围.

【详解】由函数/3=严2+("1"一加一2^>0)有2个零点，

所以非一+(。一1卜一13-2=0有2个实数根，

所以e"-2+ax-2=x+lnx=eMx+lnx,

令g(*)=e。+/,则g'(x)=e，+l>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以ax-2=Inx,所以。=2,

由函数/^)=产-2+("1)无_._2。>0)有2个零点，所以。=吧望有2个实数根,

X

人/、lnx+21—xx-(lnx+2)*l..人，/、八—r,口1

令夕(无)=------，贝_____________TTnx,令°(尤)=0,可得x=一,

X八,-2一2e

当X£(O」)时，0(x)>O,9(x)单调递增，当xw(L+8)时，9'(x)<0,o(x)单调递减，

ee

又Xf0时，9(x)f-8,当Xf+oo时，0,又。(%)max=od)=e,

e

所以实数〃的取值范围是(0,e).

故选：D.

13.若函数〃x)=e2、+e2-4,+/)+26(b是常数)有且只有一个零点，则b的值为

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由已知条件可判断/'(x)为偶函数，函数图象关于丁轴对称，由函数有且只有一个

零点，/(X)过坐标原点即可求解.

【详解】函数的定义域为R,

因为/(-x)=e-+e"-4"*+e*)+26=/(x),

所以函数/(无)为偶函数，函数图象关于》轴对称,

因为函数有且只有一个零点,

所以函数〃x)过坐标原点，/⑼=2-4x2+26=0,解得匕=3.

故选：B.

—2x—1,x<0

14.若函数〃x)=<有4个零点，则正数。的取值范围是()

sin(tyx-令,0<x<兀

13191925

A.656JB.~6，-6C.656JD.~6，-6

【答案】B

【分析】当x〈0时，分析函数单调性及最值，得当x40时/(X)有且仅有一个零点，则当

xe(O,冷时，/(x)=sin(ox<)有3个零点，结合图象分析得2兀<43兀，解不等式即

66

可.

【详解】当x〈0时，/(x)=Q|-2x-l是减函数，且"0)=0,

故当xV0时/（X）有且仅有一个零点,

由题意得，当xe（O,兀）时,f（x）=sin（ox-V）有3个零点,

6

*/X€（0,71）,

兀/兀兀、

COX----G(-----,(D71----),

666

令t=3X——，即»=sin//£(——.CDTI——),

666

冗1319

结合图象分析得2兀＜，(3兀，即2兀＜。兀一:43兀，＜^＞＜—.

666

故选：B.

斗y=sin/

1-

不公、_^2兀371i

15.若函数/（#=-3加+4工-1在区间（-1,1）内恰有一个零点，则实数。的取值范围为

54

B.

353

【分析】对。进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.

【详解】若。=0时，4x-1=0,贝=满足题意，

4

若awO，当/⑴/（一1）=（一3a-5）（-3a+3）＜0,解得一;＜。＜1且.彳o,此时满足题意,

若/⑴=-3a-5=0时，a=_g,止匕时/（x）=5x2+4x_]=（5x—]）（x+l）=0,

此时方程在（-M）只有一根x=",满足题意，

若/(-1)=-3〃+3=0时，a—I,止匕时/(x)=-3%2+41_]==0,

此时方程在只有一根X=g,满足题意，

4

当A=16-12a=0,得a时，止匕时/（无）=一4f+4工一1=-（2尤一1）9=0,

此时方差的根为x=g,满足题意，

5

综上可得-或a"4

故选：C

题型二根据一次函数零点的分布求参数范围问题

16.若函数/（x）=3ax+l—2a在区间（一1,1）内存在一个零点，则。的取值范围是

（）

A.g+0°]B.1ifC.（—00,—1）D.Joo,-l）u[,+s]

【答案】D

【分析】当a=0,不合题意，舍去，根据函数f（x）=3ax+l—2a在区间（一1,1）内是

单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解.

【详解】当a=0时，f（x）=1与x轴无交点，不合题意，所以a/）;

函数f（x）=3ax+l—2a在区间（一1,1）内是单调函数，

所以f（一1）-f（1）<0,即（5a—l）（a+1）>0,

解得a<—1或a>g.

故选：D.

17.若方程工2_2依+“+2+，-1|=0在区间（0,3）内有两个不等实根，则实数。的取值范围

为（）

A.'SB.（7,-3）U"+GT

C.（-叫1-G）u1l+百D.+

【答案】D

【解析】分W21和同<1两种情况去绝对值，利用已知条件得到xe（0,1）时,

g(x)=—2办+a+3,xe[l,3)时，g(x)=2/—2办+。+1.再分〃=0和〃w0两种情况分析,

当QW0时，两个零点有两种情况，设再</，①一次函数提供多，二次函数提供乙，设

A(x),xG(0,1)

g(x)=gph(x)=-lax+a+3,Z(x)=2x2-2ax+a+1,得至Ij

Z(x),xe[l,3)

/z(O)-/z(l)<O

，即可求解。的范围；②一次函数部分无零点，二次函数提供不，X],列出

；(l)-^(3)<0

满足题意的不等式组，求解即可得出结果.

【详解】令g（x）=x?-2ax+A+2+|X2-1|,

当/_1之0时，即国21时，g（x）=2x2-2tzx+6t+l,

当――i<o时，即国<1时，g（x）=-2ax+a+3,

由方程——2办+a+2+|/_i|=o在区间（0,3）内有两个不等实根,

即%£（0,1）时，g（x）=-2ax+〃+3,

xw[1,3）时，g（x）=2x2-2ax+〃+1,

/、[3,xG（0,1）,、

如果a=0,g（x）=]2x2+i”[l,3），显然gOO无零点;

所以。肯定不为0，

所以g（x）=-2ax+a+3为一次函数，最多有一个零点，

所以两个零点有两种情况，设再<%,

①一次函数提供X1,二次函数提供X2，

gph（x）=-2ax++3,t（x）=2x2-2ax+«+1,

工人（0）虫1）<0

所以加（3）40，

代入得尸43-

代人何[（3-“）（19-5。）（0'

19

解得：3<«<—,

194

经检验：。=不时，零点■不成立，

所以

②一次函数部分无零点，二次函数提供占，%，

即《x）=2/-2ax+a+l在[1,3）内有两个不同的零点，

A=(-2a)2-4x2x(a+l)>0

1—2〃

l<-------<3

4

所以

Z(l)>0

《3)>0

A(0)-//(l)>0

代入解得：l+g<aV3,

由①得：

综上所得：实数a的取值范围为11+6

故选：D.

18.当|x区I时，函数y=ax+2a+l的值有正也有负，则实数。的取值范围是()

【答案】C

【解析】根据题意，结合函数零点存在定理进行求解即可.

【详解】|x|<l=>-l<x<l.

当。=0时，y=l,函数值恒为正，不符合题意；

当时，要想函数〃x)=ox+2a+l的值有正也有负，

只需/(l)-/(-l)<0,即(。+2。+l)(-a+2。+1)=(3a+1)(。+l)<O^-l<a<-1.

综上所述：

故选：C

19.已知函数〃x)=3办-1-2。在区间(-1,1)上存在零点，则()

A.—<Q<1B.。>—C.—。>1D.a<—

5555

【答案】C

【解析】首先判断函数在(-14)上单调，利用零点存在性定理即可求解.

【详解】•••/(幻=3办-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点，

f(—1),f(1)=(―3Q—1—2Q)•(3〃—1—2〃)=(—5〃—1),(4Z—1)<0,

故选：c

20.已知函数/(无)=3ax-l-2a在区间(-1,1)上存在零点，贝U()

A.3<1或a>—B.a>—C.ci<—或a>\D.ci<—

5555

【答案】C

【分析】由函数f(x)=3ax・l・2a在区间(-1,1)上存在零点，根据函数的单调性，由

•/⑴<0求解.

【详解】因为函数f(x)=3ax-l-2a在区间(-1,1)上存在零点，

又因为f(x)=3ax-l-2a在区间(-1,1)单调，

所以/(T)•/⑴<0，

即(Q-1),5Q—1)<0,

解得a<-g或“>1,

故选：C

21.若函数了="+1在(0,1)内恰有一解，则实数。的取值范围是()

A.ci>_1B.Q<—1C.a>1D.3<1

【答案】B

【分析】直接解方程得到答案.

【详解】当。=0时不成立

取^=办+1=0,、=——(QWO)

a

则。<-1<1解得。<—1

a

故答案选B

22.已知函数/(幻=3"-1-2。在区间(-1,1)上存在零点，则实数。的取值范围是

A.(-oo,-l)uQ,+coJ

B.

C.1_<»,一：卜(1,+8)

D.“j

【答案】C

【分析】函数/。）=3办-1-2a为一次函数，只要保证其两端点分别在x轴的两侧，就可以

保证其在区间（-1,1）上存在零点，即从而得到关于。的不等式，求出。的

范围.

【详解】因为函数〃X）=3G-1-2a为一次函数，

要使其在区间（-1,1）上存在零点，

要保证其两端点分别在x轴的两侧，

所以〃l）-〃T）<0

即/(I)-/(-l)=(3a-l-2a)(-3a-l-2a)<0,

解得a<-g或a>1,

故选c项.

23.已知直线/：>=3x与函数/（尤）=K-X'无":'的图像交于三点，其横坐标分别是多，X2,

[ax-a,x>1.

七.若再+%+%3<°恒成立，则实数。的取值范围是

A.a>3B.0<tz<4C.3<a<6D.a>6

【答案】D

【分析】根据条件得到分段函数的图像，找到三个交点的横坐标，原题等价于退-2<0,

冬<2,即ax-。-3x=0=>x=—"-<2=>-~~-<0

a-3a-3

【详解】当时，对函数求导得至U/(x)=3--l,/(x)=Onx=±¥

原函数在卜叫一!)/［一£,,又因为〃0)=〃1)=0,

>0,7<0可大概画出分段函数的图像:

根据图像得到函数的三个交点，横坐标一个等于0,一个小于0,一个大于0,

令》3-工=3x=工=0或-2或2(舍去正值)

故X1+X2+X3=巧-2,七是两直线的交点，X3-2<0,;.%<2,即

__a_6—a八

ax-a-3x=O=>x=------<2=>-------<0

q—36/—3

解得a>6.

故答案为D.

||log.x|,x)0

24.已知函数/(x)=:J若函数>=/(x)-冽+1有四个零点,零点从小到大依次为

l|x+2|-l,x<0

见仇c,d,贝Ua+6+cd的值为()

A.2B.-2C.-3D.3

【答案】C

【分析】函数了=/(x)-加+1有四个零点，即丁=/(无)与了=加-1的图象有4个不同交点，

可设四个交点横坐标a,6,c,d满足。<b<c<",由图象，结合对数函数的性质，进一步求得

cd=l,利用对称性得到a+6=-4,从而可得结果.

作出函数小)=|信,：：：0的图象如图,

函数了=/(尤)-加+1有四个零点，即了=/(“与>=加-1的图象有4个不同交点，

不妨设四个交点横坐标。，瓦G4满足a<b<c<”,

则,f(a)=f(b),|«+2|-1=|6+2|-1,

可得一Q-3=b+l,a+b=—4

由/(C)=/(d)，#|log2c|=|log2J|,

则一log2c=log?d,可得log2cd=0,

即cd=l,a+b+cd=-4+1=-3,故选C.

25.已知函数/0)=2m/_工_1在区间(_2,2)恰有一个零点，则加的取值范围是()

3i]<3n

A-K'dB-K'd

-

c,卜r3抽nD-(i3

【答案】D

【分析】利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数,

是否有等根等.注意分类讨论思想的运用.

【详解】解：若加=0,则/(X)=F-1,它的零点为-le(-2,2),故加=0符合题意.

若加30,函数/(无)=2如？-尤-1在区间(-2,2)恰有一个零点，则需满足：

/(-2)=0["2)=0

①〃一2).〃2)<0或②1或③11

—2<-<-0-—0<—<2

、4m、4m

133

解①得，--<m<0^0<m<-；解②得，加解集为0;解③得m=g;

OOO

综上，加的取值范围是.

故选：D.

26.已矢口/(X)=2QX—1+3Q,/(0)</⑴且在(1,2)内存在零点，则实数。的取值范围是(

A1、A1、

A.(怜B.(3)CD-

【答案】C

【分析】根据零点在区间(1,2)内可得关于。的不等式组，从而可求。的取值范围.

【详解】因为故-l+3a<2a-l+3a即a>0.

而“X)=2办-1+3aJ(0)</(I)且在(1,2)内存在零点，

7(1)<0f5a-l<0

解得;<Q<<，

故，/(2)>0即7"1>0,

Q>0a〉0

故选：C.

27.已知函数=I2：+：""。)有3个零点，则实数。的取值范围是()

［ax-3,(x>0)

A.a<1B.0<tz<lC.a>\D.a>Q

【答案】B

【分析】依题意可知函数弘=办-3(%>0)必有一个零点且函数％=办2+2》+1。40)必有2

个零点，根据二次函数的性质得到不等式组，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：函数〃到=卜：2：+1S"0)是分段函数，它有3个零点，

⑷一3,(x>0)

则函数必=ax-3(x>0)必有一个零点，所以。>0,

函数为=尔+2工+1(^^0)必有2个零点，即方程办?+2x+l=0有两个不等的负根(0显然

不是它的根)，

a>0

2

因此(—<<0，解得0<avl.

2a

A=4-4<7>0

综上可得〃的范围是。<。<1.

故选：B.

28.“a<-4”是“函数〃x)=◎+3在区间［-1,1］上存在零点”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：根据函数零点的条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结

论.

解：若函数f(x)=ax+3在［-1,1］上存在零点，

则f(-1)f(1)<0,

即(a+3)(-a+3)<0,

故(a+3)(a-3)>0,

解得a>3或空-3,

即a<-4是哈3或aW-3的充分不必要条件，

故“a<-4”是函数f(x)=ax+3在［-1,1］上存在零点的充分不必要条件,

故选A

29.设函数/(幻=*-研+。+3,g(x)=ax-2a,若使得/(x。)<0和gO。)<0同

时成立，贝I」。的取值范围为

A.(7,+8)B.(6,+8)u(-co,-2)

C.(-<»,-2)D.(7,+oo)u(-00,-2)

【答案】A

【分析】就。>0,。=0,。<0分类讨论后可得正确的选项.

【详解】当。=0时，g(x)=。，不合题意；

当。>0时，x<2时，g(x)<0恒成立，x>2时，g(x)>0恒成立，x=2时，g(x)=0,

故当〃x)<0在x42上有解，即/一办+0+3<0在(一8,2］上有解,

->20<a<4

所以2或故。>7.

A=—4a—12>0

/(2)<0

当QVO时，x<2时，g(%)>0恒成立，x〉2时g(x)<0恒成立，x=2时，g(x)=O,

故当/(x)<0在转2上有解，即/-亦+°+3<0在［2,+⑹上有解,

所以〃2)<0,无解.

故选：A.

30.“函数f(x)=d-2在区间［-L1］上存在零点”是“&23”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：函数/缄口—曷在区间［一1：1］上存在零点，贝人

/(-1)/(1)<0=(-左一2)(左一2)<0.

即上<-2或左>2.所以“函数〃x)=kx2在区间［-L1］上存在零点”是“>的必要不充

分条件.

题型三根据二次函数零点的分布求参数范围问题

31.若函数/(x)=Qhu+t+7(acwO)有且仅有极大值，则()

A.tz>0B.ab>0

C,b1+Sac>0D.c<0

【答案】CD

【分析】由函数〃x)有且仅有极大值可知/''(x)在(0,+8)上仅有一个变号正零点，且/(X)

在此变号正零点两侧的符号为左正右负，结合二次函数的图象分析即可.

2

【详解】函数"X)的定义域为(0,+8),fixxa_b__2^=ax-bx-2c；

XXXX

因为函数〃无)有且仅有极大值，

所以r(x)=分一:-2c在(0,+动上仅有一个变号正零点,且/(X)在此变号正零点两侧的

符号为左正右负，

设函数g(x)=ox2-6x-2c(acwO),即g(x)在(0,+。)上仅有一个变号正零点，且g(x)在

此变号正零点两侧的符号为左正右负，

①当A=/+8℃<0时，二次函数g(“无零点，故不符合题意；

②当A=/+8ac=0时，二次函数g(x)有一个不变号零点，故不符合题意；

③当A=/+8ac>0时，如图所示，

Q<0a<0

解得keR.

结合二次函数的图象可得,A=/+8ac>0

g(0)=-2c>0c<0

故选：CD.

32.二次函数＞=a/+6x+c（a,仇c是常数，且。片。）的自变量x与函数值丁的部分对应值如

下列说法正确的有（）

A.abc>0

100

B.mn>---

9

C.关于x的方程G2+6X+C=0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在-g和。

之间

D.4。+2,乂）和鸟（"2,%）在该二次函数的图象上，则当实数时，%＞为

【答案】BCD

\b=-a3

【分析】先根据二次函数图象上的点求得。，再由当x=7时，对应的函数值歹＜。求

[c=22

8

得从而求得"c＜0,判断A,求出加〃=4（。+1）92后求解范围判断B,根据抛物线

的对称性及函数过点（0,2）得函数零点范围即可判断C,由弘〉外列不等式求解f判断

D.

a+b+c=2b=-a

【详解】A：将（0,2）,。,2）代入厂办2+乐+。得c=2,解得

c=2

3

所以二次函数＞=办2-"+2,当x=5时，对应的函数值V＜。，

932Q

所以W。—5a+2＜。，解得Q＜一§，所以6=-

所以Q＜0力＞0,c〉0,所以Qbc〈0,故A错误；

B：当工=-1时，m=a+a+2=2a+2,当尤=2时，n=4a-2a+2=2a+2,

所以机"=(2。+2丫=4(a+l/，因为a<-g,所以机〃>与，故B正确；

C：因为二次函数歹=办2_办+2过仅,2),(1,2),所以其对称轴为x=g,开口向下，

3

又当x=］时，对应的函数值><0,

根据二次函数的对称性知，当x=-1时，对应的函数值><0,

而当x=0时，y=2>Q,所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在-g和0之间，

所以关于x的方程ox?+云+0=()一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在-;和0之间，

故C正确；

D：因为耳«+2,弘)和£。-2,力)在该二次函数的图象上，

以必=Q(/+2)_Q(/+2)+2,%=Q(F—2)—Q(/—2)+2,

若%>%，则。(,+2)—Q(r+2)+2>a(%—2)—a—2)+2,

因为"0,所以(f+