人教版五年级下册数学思维训练讲义-第十二讲质数和合数（含答案）

第二讲质数和合数第一部分：趣味数学亲和数亲和数若自然数M的全部正因子（去掉其本身）之和，恰为自然数N，而N的全部正因子（去掉其本身）之和恰为自然数M，则称M、N为一对亲和数。最简单的一对亲和数是220和284，把220的全部正因数（不包括220本身）加起来为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284而把284的全部正因数（不包括284本身）加起来为1＋2＋4＋7l＋142＝220想不到枯燥的数字之间也有这种“我中有你，你中有我”的亲密无间关系。在毕达哥拉斯时代就知道有这一对亲和数。当时人们认为只有这一对亲和数，一直延续了两千多年，人们对此坚信不移。直到1636年皮勒发现并公布了第二对亲和数17296和18416，这才破除了只有一对亲和数的迷信，也激发起了人们寻找更多亲和数的热情。大数学家欧拉在1750年，一口气向公众宣布了60对亲和数，使人大吃—惊，人们认为对亲和数的研究已达顶峰了。然而，在1866年，一个年仅16岁的青年巴格尼却令人惊讶地发现了1184与1210是一对亲和数，它们仅比220和284稍大一些。原来数学家也将近在身边的第二对亲和数遗漏了。如今，人们已经发现了1200对亲和数。电子计算机出现后，人们可以用高速度大容量的计算机去探索更多的亲和数。人们现在已知最大的一对亲和数是111448537712和118853793424，要把它们的因数找出来再求和，推证它们之间的关系，没有现代计算机工具的帮助是很困难的。第二部分：奥数小练【例题1】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.【思路导航】210=2×3×5×7可知这三个数是5、6和7。练习一1.一个质数是两位数，个位和十位上的数的和是11，并且这个质数的十位上是最小的质数，这个两位数是多少?2.A和B都是质数，A+B小于50且是7的倍数，如果A+B又是奇数，那么A×B可能是多?3.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？【例题2】两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？【思路导航】把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。练习二：1.三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大是多少?2.乐乐家的电话号码是一个七位数，它恰好是几个连续质数的积，且这个积的末四位数是前三位数的10倍，你知道乐乐家的电话号码是多少吗?若将17拆成若干个质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【例题3】自然数123456789是质数，还是合数？为什么？【思路导航】123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。练习三1.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？2.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。3.甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质数。"乙说：“两个质数之和一定不是质数。"丙说：“两个质数之和不一定是质数。他们当中，谁说的对?【例题4】连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？【思路导航】如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。练习四：1.一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米?2.有九个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？3.有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？【例题5】把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。【思路导航】5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。练习五1.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。2.一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。3.问360共有多少个约数？第三部分：数学史话

数学家欧拉数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。

欧拉一生都是在科学院度过,

因此得以专心研究数学,从19岁开始发表论文,

直到76岁,几乎在每一个数学领域都可以看到欧拉的名字。四次方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,

复变函数的欧拉公式等等.。

他对数学分析的贡献更独具匠心,

《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》都是当时数学教科书中的经典著作.欧拉还创设了许多数学符号,

例如:

f(x)

(1734

年)、π(1736

年)、e

(1748年)、sin

和

cos(1748

年)、tan(1753

年)、Δx(1755

年)、Σ(1755

年)、i

(1777

年)

等.欧拉在他半个多世纪中以平均每年

800

页的速度写出创造性论文.。他去世后,

人们整理出他的研究成果多达

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卷。参考答案：练习一1.因为十位上是最小的质数是2，个位上11-2=9，所以这个数是29。2.a+b是奇数，故a、b为一奇一偶，但质数里只有2是偶数，故a、b中必有一个2，又a+b小于50且是7的倍数且是奇数，这样的数只有7、21、35、49四个，则另一个质数为：7－2＝5或21－2＝19或35－2＝33（33为合数，舍去）或49－2＝472×5＝10或19×2＝38或47×2＝94

故a×b可能的值为是10或38或94。3.105=3×5×7，105=1×105=3×35=5×21=7×15，共有4种。练习二除2外所有的质数都是奇数，三个质数相加的和是偶数，其中一定有一个质数是2。82-2=80，剩下的两个质数的和是80，可能的情况有7和73,13和67,19和61,37和43。两个数的和不变，它们的差越小，积就越大。因为73一7=66,67-13=54,61-19=42,43-37=6,6<42<<54<66，所以当这两个质数是43和37时，才能使这三个质数的积最大。正确解答：2×37×43=3182答：这三个质数的积最大是3182。2.由题意可知，电话号码的末位数字是0，可设电话号码为abcabc0，则这个数是偶数，能够被2整除。因为这个七位数是几个连续质数的积，且2是最小的质数，并且是唯一的偶数，所以这个七位数是从2开始的连续质数的积。正确解答2×3×5×7×1I×13×17×19=9699690答：乐乐家的电话号码是9699690。3.根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1，拆分后乘积最大。若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解出5个3和1个2。所以最大乘积是3×3×3×3×3×2=486。练习三1.每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。横行数与竖列数应是两个相邻的自然数。11112222=3333×3334答案为3334。2.7、8、9、10、11。3.丙说的对。因为两个质数之和可能是质数如2+3=5，也可能是合数如3+5=8，因此甲和乙的说法是错误的，只有丙说得对。练习四1.长与宽的和：36=2×18(厘米)把18分为两个质数的和：18=5+13=7+115×13=65(平方厘米)7X11=77(平方厘米)这个长方形面积最大是72。2.首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有514个。构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的信数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数，发现这9个数是101，102,103.104,105,106,107.108,109，刚好有4个质数101,103，107，109。3.6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）a2×b2×c2=22×32×52（a×b×c）2＝（2×3×5）2a×b×c=2×3×5＝30练习五1.先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560。40×40×40＝64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30～40之间。42560=26×5×7×19＝25×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。2.a与1080的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。1080×a=23×33×5×a，1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。3.360=23×32×5。为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=