三次函数图像与性质【10类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

专题2-2三次函数图像与性质

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。

第题分

16,5考点内容：主要考查三次函数的图像特征(如中心对(1)理解三次函数的定义

称性、开口方向)、单调性(通过导数分析)、极值域、值域和图像特点。

2024年新高考I点(一阶导数为零的点)以及图像与性质的综合应用。(2)掌握三次函数的导数

卷，第10题,6分题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，与单调性关系。

涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体(3)判断三次函数的极值

问题。点及其个数。

2024年新高考II难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与(4)探究三次函数图像与x

卷，第11题,6分性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技轴的交点个数。

巧，难度可能略有提升。(5)熟练运用三次函数的

备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵对称中心性质。

2022年新高考I活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样

卷，第10题,5分性和综合应用能力的培养。

模块一*热点题型解读(目录)

【题型1】求三次函数的解析式

【题型2】三次函数的单调性问题

【题型3】三次函数的图像

【题型4】三次函数的最值、极值问题

【题型5】三次函数的零点问题

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

【题型7】三次函数对称中心

【题型8】三次函数的切线问题

【题型9】三次函数根与系数的关系

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1］求三次函数的解析式

「核雇技狂7

(1)一般式：/(x)=ax3+/zx2+cr+J(〃W0)

(2)交点式：/(x)=tz(x-x1)(x-x2)(x-x3)(〃右0)

1.若三次函数〃九)满足/(O)=OJ(l)=lJ'(O)=3,/'(l)=9,则〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【题型2】三次函数的单调性问题

J核心•嘘7

三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、

零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析：

i.三次函数的定义与形式

•定义：-i.'cJ(x)=ax3+bx2+cx+d(其中。/=0)的函数称为三次函数。

•形式：注意系数a力,c,d的作用，特别是a的正负决定了函数的开口方向(a>0开口向上，

a<0开口向下)。

2.函数的单调性

・导数应用：利用导数/(x)=3ax2+2bx+c判断函数的单调性。解不等式/(x)>0和/(x)<0得到函

数的单调递增和递减区间。

•极值点：导数等于0的点(/(彳)=0)可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小

值点。

2024•广东茂名市•一模

2.(多选)若/(x)=—gx3+；Y+2x+l是区间(机―1,加+4)上的单调函数，则实数加的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

【巩固练习】三次函数/（%）=g3—九在（_吟+8）上是减函数，则加的取值范围是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m£1

【题型3】三次函数的图像

当a>0时，x趋近于+oo,则/㈤趋近于+co；x趋近于-oo,则J2趋近于-8。

当。<0时，x趋近于+co,则#尤）趋近于-oo；x趋近于-co,则趋近于+co。

又因为加。是连续的函数，且xGR,所以力的的值域为R。

由于三次函数的值域为R,则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个

根。

3.设4H0,若。为函数〃x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.abva1D.ab>a2

4.（2024•全国一卷真题）（多选）设函数/（x）=（x-Ip。-4）,则（）

A.x=3是/（尤）的极小值点B.当时，/（x）</（x2）

C.当l<x<2时，-4</（2x-l）<0D.当一1<%<0时，/（2-x）>/（x）

【巩固练习1］（多选题）（2024.湖北武汉.模拟预测）设函数〃村=；尤3-2/+2无，则下列结论正

确的是（）

A.存在实数与使得/（%）=/'（%）B.方程〃力=3有唯一正实数解

C.方程〃x）=-l有唯一负实数解D.〃力=1有负实数解

【巩固练习2】（2024•全国甲卷（文）真题）曲线；y=d-3x与y=-（尤-1丫+。在（0,+oo）上有两个不同

的交点，则。的取值范围为.

【题型4】三次函数的最值、极值问题

核心•技巧

三次函数的极值与最值

・极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。

・最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局最

值。

5.已知三次函数依3+bY+x+c无极值，且满足a+^48,贝|/一〃=.

6.已知三次函数兀^）=：必一（4加-1）/+（15］层一2〃z—7）尤+2在定义域R上无极值点，则机的取值

范围是（）

A.机<2或机>4B.机22或机«4

C.2<m<4D.2<m<4

【巩固练习1】已知三次函数〃力=%3+法2+5+1,其导函数为/''（X）,存在re（1,4）,满足

〃2T）=/（f）=r⑺=0.记”X）的极大值为则M的取值范围是.

【巩固练习2】（2024•全国•模拟预测）已知三次函数〃"=2彳3+依2+6X+I的极小值点为卜，极大

值点为北，则等于（）

A.40B.一4衣

C.+4y/2D.±50

【题型5】三次函数的零点问题

法心•金甲

三次方程/(x)=()的实根个数

设三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a丰0)

其导函数为二次函数:尸(x)=3ax2+2bx+c(a*0),

(2)若/-3ac>0,且>a)"®)>。,则/'(彳)=。恰有一•个实根;

(3)若巨-3ac>0,且/(不)"(%)=°,则/(x)=0有两个不相等的实根;

(4)若从-3℃>0,且/(0)"(巧)<0,则/。)=0有三个不相等的实根.

说明:⑴⑵/(%)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴只相交一次，即f(x)在R上为单

调函数(或两极值同号)，所以62-3℃40(或62_3ac>0,且"x)"心)〉。)；

⑸/(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线>=/(x)与芯轴有两个公共点且其中之一为切点，所以

b2-3ac>0,且:(占>/(巧)=。；

(6)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极

大值，一个极小值，且两极值异号.所以廿_3ac>0且了(西)"(无2)<0・

7.(2023•全国•高考真题)函数/(£)=/+依+2存在3个零点，贝I。的取值范围是()

A.(―co,—2)B.(—00,—3)C.(—4,-1)D.(-3,0)

若/(X)要存在3个零点，贝小

8.已知三次函数“X)有三个零点七，演，匕，且在点(％,〃％))处切线的斜率为左。=1,2,3),则

111

—+——+——

k]k2k3

9.已知加，〃，peR,若三次函数/(%)=X3+如2+加+，有三个零点〃，b,c,且满足

3111

/(-1)=/(1)<|,/(0=/(2)>2,则▲+；+▲的取值范围是()

2abc

A.B.C.D.rl

【巩固练习1】已知三次函数/(x)的零点从小到大依次为机，0,2,其图象在x=-l处的切线/经过

点(2,0),贝ip"=()

853

A.——B.-2C.——D.——

532

【巩固练习2】(2024•全国•一模)已知三次函数/(无)=4尤3+4尤2+qx+d,g(无)=4尤⑶+4尤2+C/+”

(〃口2二°)，且/(x)有三个零点.若三次函数0(%)=3/(尤)+g(尤)和g(x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函

数，且这两个函数的导函数均有零点，则g(x)零点的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

【巩固练习3】已知g(x)为三次函数，其图象如图所示.若y=/(g(x))-加

有9个零点，则m的取值范围是.

【巩固练习4］已知三次函数/（力=彳+依2-3/工+伙°>0）有两个零点，若方程/'"（x）］=0有四个

实数根，则实数。的范围为（）

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

10.（24-25高三上•云南•阶段练习）（多选）已知函数=d-3x+2,则（）

A.f（x）有两个极值点

B.点（0,2）是曲线y=/（x）的对称中心

C./（x）有三个零点

D.直线y=o是曲线y=/（x）的一条切线

11.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知函数/（幻=》3+依2+^x+c下列结论中正确的是（）

A.若/'（/）=0,则%是了⑺的极值点

B.3xoeR,使得/（无。）=0

C.若%是/（x）的极小值点，则/（x）在区间（-叫/）上单调递减

D.函数y=/（x）的图象是中心对称图形

【巩固练习1】函数=+6/+cx+d（a,6,c,deR）的图像如图所示，则a+b+c的取值范围

是

【巩固练习2】（23-24高三・广东清远•期末）（多选）已知函数，（x）=x3-3x+4,xe［0,2］,则下列选

项中正确的是（）

A./⑺的值域为［2,6］

B.7（x）在x=l处取得极小值为2

C.Ax）在［0,2］上是增函数

D.若方程〃尤）=。有2个不同的根，则"24］

【巩固练习3］2024•金华联考模拟（多选题）已知函数7'（无）=；x3-4x+4（xe［0,3］）,则（）

A.函数AM在区间［0,2］上单调递减

B.函数/5）在区间。3］上的最大值为1

c.函数/（%）在点（i,/（i））处的切线方程为了=-3》+1

D.若关于x的方程/（x）=a在区间［0,3］上有两解，则ae'td

【题型7】三次函数对称中心

核心•技巧

二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即/"（/）=0则（5,/（毛））为函数/（%）的对称中心

bh

设三次函数/（尤）=依3+区2+cx+d（〃w0）,则对称中心是；（---，/（----））

3a3a

三次函数於）的对称中心为（f，%）,则〃t—x）+〃r+尤）=2左

12.已知三次函数/（x）=2d+加+6x+l的极小值点为人,极大值点为力，则4+6等于（）

A.472B.-472

C.士40D.±572

13.人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数/（尤）都有对称中心，其对称中心为（%,/（%））（其

中了"（x（））=0）.已知函数/（刈=彳3一3/+4x+5.若/（加）=4,/（"）=10,则zn+"=（）

3

A.1B.—C.2D.3

2

14.已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若/。）=丁-3/+3X+1,则

15.（2024.全国2卷.高考真题）（多选）设函数/（幻=2/_3办2+1,则（）

A.当时，/（X）有三个零点

B.当。＜0时，x=0是/（力的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D,存在a,使得点为曲线y=/（x）的对称中心

16.对于三次函数/（尤）=加+加+cx+d（"0）,给出定义;「（尤）是函数y=/（x）的导数，尸⑺

是函数尸（无）的导数，若方程/（x）=0有实数解%,则称（尤0））为函数y=/（x）的“拐点”.

某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”

749

就是对称中心.若函数=］无3一/_12尤+不，则下列说法正确的是（）

177

A.的极大值为不

6

B./（x）有且仅有2个零点

C•点心,2）是的对称中心

D.=4046

【巩固练习1】己知三次函数〃司=三+2工—1,若再+苫2=0,贝。/（%）+/（%）=.

【巩固练习2】已知所有的三次函数〃"=加+加+5+d（"0）的图象都有对称中心I-:,

小口；若函数｛）T+3V则（表J+4惠卜］京，…+］党）—

【巩固练习3】（2024•四川成都•模拟预测）（多选）已知函数F（x）=x'+x+l,则（）

A.7（无）有两个极值点

B./⑺有一个零点

C•点（0,1）是曲线丁=/（尤）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（元）的切线

【巩固练习4】（多选题）（2024•江苏•模拟预测）已知三次函数y（x）=G3+bx2+cx-l,若函数

g（x）=/（-x）+l的图象关于点（1,0）对称，且g（-2）<0,则（）

A.a<0B.g（x）有3个零点

C./（尤）的对称中心是（-L0）D.12a-4b+c<0

【题型8】三次函数的切线问题

/核心•技巧/

一般地，过三次函数/（X）图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区

域，有以下结论：

（1）过区域I、IV内的点作了（尤）的切线，有且仅有3条；

（2）过区域II、III内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条；

（3）过切线L或函数“X）图象（除去对称中心）上的点作〃元）的切线，有且仅有2条.

17.已知函数/（同=加+旅-3x（a/wR）在点处的切线方程为y+2=0.若经过点

〃（2,加）可以作出曲线y=/（x）的三条切线，则实数加的取值范围为.

18.（多选题）（2024•山西晋中二模）对于三次函数外力=加+凉+0；+〃（4工0）,给出定义：设

r（x）是函数y=的导数，-（X）是函数困（X）的导数,若方程/"（x）=o有实数解与,则称

（毛,〃尤0））为函数y=/（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任

何一个三次函数都有对称中心，且“拐点,，就是对称中心.若函数〃尤）=$3一氐2+尤+6优©R）,

则（）

A./（X）一定有两个极值点

B.函数y=/（x）在R上单调递增

C.过点（。力）可以作曲线y=/（x）的2条切线

D.当6=工时，/f—^+/f—^+/f—++^=2022

122023J^2023J^2023J2023J

【巩固练习1】（2022•新高考一卷真题）（多选）已知函数/（x）=x3-x+l,贝I（）

A./⑴有两个极值点B./5）有三个零点

C.点（0,1）是曲线＞=/（尤）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

【巩固练习2］（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数

f（x）=（x-if-ax-b+l,则下列结论正确的是（）

A.当。=3时，若/（无）有三个零点，则6的取值范围为（-4,0）

B.若/（x）满足〃2—x）=3—/（x）,则a+b=-l

C.若过点（2,间可作出曲线g（x）=y（x）-3x+<ax+6的三条切线，则-5<7〃<T

D.若/（x）存在极值点%,且/（%）=〃百），其中尤0片王，则X+2%=3

【巩固练习3】（多选题）下列关于三次函数/（"=加+加+5+*。彳0乂*€11）叙述正确的是（）

A.函数/⑴的图象一定是中心对称图形

B.函数可能只有一个极值点

C.当-爰时，“X）在X=x。处的切线与函数y=〃x）的图象有且仅有两个交点

D.当天片-卷时，则过点（%,/（I））的切线可能有一条或者三条

【题型9】三次函数根与系数的关系

核心•技巧

三次函数根与系数关系：对于/（%）=尔+加+c%+d,若/（%）=/有3个交点石,%2，%3，则

方程G?+笈2+c%+d=.可以写为［（%—%）（%-入2）（%—尤3）=。，

2

展开后得ar?_Q（玉+/+x3）x+Q（X%2+玉泡+工2巧—axx