2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算学案含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算【必备学问·自主学习】导思1.什么是空间向量？怎样表示空间向量？2．什么是共线向量？相等向量？相反向量？3．怎样进行空间向量的加、减和数乘运算？这些运算满意哪些运算律？4．三个向量共面的条件是什么？1.空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)几类特别的空间向量：名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量(平行向量)假如表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区分？提示：没有区分．3．向量共线的充要条件对随意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.4．直线的方向向量若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．5．共面对量(1)定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面对量．(2)充要条件：假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．若对随意一点O和不共线的三点A，B，C，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝1是四点P，A，B，C共面的充要条件吗？为什么？提示：是．因为P，A，B，C共面的充要条件是存在m，n使eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→)).令x＝1－m－n，y＝m，z＝n.则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．()(2)两个有公共终点的向量，肯定是共线向量．()(3)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面对量．()(4)空间中方向相反的两个向量是相反向量．()(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．()提示：(1)√.相等向量，起点相同，终点必相同．(2)×.向量有公共终点，但起点不同，就可能不是共线向量．(3)×.空间的全部向量都是自由的，可以平行移动，空间中的随意两个向量肯定共面．(4)×.相反向量不仅要求方向相反，而且模长必需相等．(5)√.首先A，B，C，D不共线，而eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，说明AB与CD平行且相等，于是四边形ABCD是平行四边形，反之亦成立，故为充要条件．2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1顶点连接的向量中，与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量共有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选C.与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BC,\s\up6(→))，，共3个．3．空间中随意四个点A，B，C，D，则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】选C.利用向量运算法则即可得出，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).【关键实力·合作学习】类型一空间向量的概念(数学抽象)1.给出以下结论：①空间中随意两个单位向量必相等；②若空间向量a，b满意|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝；④若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1①eq\o(AB,\s\up6(→))与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于()A．4B．3C．2D．13．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.A．0B．1C．2D．3【解析】1.选B.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不肯定相同，故①不正确；若空间向量a，b满意|a|＝|b|，则不肯定能推断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝成立，故③正确；④明显正确．2．选C.对于①eq\o(AB,\s\up6(→))与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均为互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．3．选A.①中b＝0时，则a与c不肯定共线；②中，共面对量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不肯定共面；③中，当b＝0，a≠0时λ不存在，故①②③均错．空间向量与平面对量的一样性在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一样，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．【补偿训练】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为eq\r(5)的全部向量．③试写出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外).④试写出向量的全部相反向量．【解析】①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有，，，，，，，.③与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)有，eq\o(DC,\s\up6(→))及.④向量的全部相反向量有，，，.类型二空间向量的线性运算(直观想象，数学运算)【典例】在如图所示的平行六面体中，求证：eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝.【思路导引】将式子左边的向量都用从A点动身的向量代替，最终转化为对角线上的向量．【证明】因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋，＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋)＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋).又因为＝，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝.所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝2.运用法则进行向量的线性运算时留意的关键要素(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A．eq\o(AN,\s\up6(→)) B．eq\o(CN,\s\up6(→)) C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】选A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→)).2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是()①－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－；④．A．①④ B．②③ C．③④ D．①②【解析】选D.①－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－＝eq\o(BD,\s\up6(→))－＝eq\o(BD,\s\up6(→))－；④＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋．类型三空间向量的共面(数学运算，逻辑推理)角度1向量共线【典例】已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【思路导引】视察已知三个向量中a与b的系数，通过加减获得能够成倍数关系的向量．【解析】选A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．将条件中向量eq\o(AB,\s\up6(→))改为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，其他不变，增加条件“且A，C，D三点共线”，则实数k＝________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋kb)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋(k＋4)b，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，则3a＋(k＋4)b＝λ(7a－2b)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7λ＝3，,－2λ＝k＋4，))解得k＝－eq\f(34,7).答案：－eq\f(34,7)角度2向量共面【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求证：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．【思路导引】可通过证明eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(CD,\s\up6(→))＋yeq\o(DE,\s\up6(→)).【证明】因为M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))不共线，依据向量共面的充要条件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．证明空间向量共面的方法(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．(2)若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．1．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝7，,λk＝k＋6，))解得k＝1.答案：12．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试推断p，m，n【解析】设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c因为a，b，c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．课堂检测·素养达标1．如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()A．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→)) D．eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))【解析】选D.依据题意可知，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))为相反向量，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))只是模相等，与是相等向量．2．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：①eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0.其中正确结论的个数是()A．0 B．2 C．1 D．3【解析】选C.因为eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up