2025届高考数学二轮复习第一部分方法篇素养形成文理第6讲数学文化文理学案含解析新人教版

PAGE第6讲数学文化(文理)JIETICELUEMINGFANGXIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型．预料在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不解除以解答题的形式考查，难度适中或简单．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2024Ⅰ卷3传统文化与立体几何5Ⅱ卷4传统文化与数列5Ⅲ卷未考2024Ⅰ卷4传统文化与不等式5Ⅱ卷4、13现代科技与近似值和统计10Ⅲ卷3四大名著与统计52024Ⅰ卷3、10概率统计与传统文化10Ⅱ卷8概率与传统文化5Ⅲ卷3立体几何与传统文化5(文科)年份卷别题号考查角度分值2024Ⅰ卷3传统文化与立体几何Ⅱ卷3传统文化与数列Ⅲ卷未考2024Ⅰ卷4传统文化与不等式5Ⅱ卷4、14现代科技与近似值和统计10Ⅲ卷4四大名著与统计52024Ⅰ卷3概率统计与传统文化5Ⅱ卷5概率与传统文化5Ⅲ卷3立体几何与传统文化5KAODIANFENLEIXIZHONGDIAN考点分类·析重点考点一三角与传统文化eq\x(题)eq\x(组)eq\x(练)eq\x(透)1．(2024·东城区二模)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东部的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(B)A．135平方米 B．270平方米C．540平方米 D．1080平方米【解析】依据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×45×eq\f(24,2)＝270(平方米)．故选B．2．(2024·河南模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别名．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)【解析】设ON＝r，扇形的圆心角为α，则整个扇形的面积为S＝eq\f(1,2)αr2，扇环的面积为S＝eq\f(1,2)αr2－eq\f(1,2)α(eq\f(2r,3))2＝eq\f(5αr2,18)，由几何概率公式可得P＝eq\f(\f(5αr2,18),\f(1,2)αr2)＝eq\f(5,9).故选D．3．(2024·三明质检)我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆合体，而无所失矣．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．假如用圆的内接正n边形靠近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形靠近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成(A)A．eq\f(πn,cos\f(180°,n)) B．eq\f(πn,cos\f(360°,n))C．eq\f(πn,sin\f(360°,n)) D．eq\f(πn,cos\f(90°,n))【解析】令圆的半径为1，则圆内接正n边形的面积为n×eq\f(1,2)×12×sineq\f(360°,n)＝eq\f(n,2)sineq\f(360°,n)＝nsineq\f(180°,n)coseq\f(180°,n)，圆内接正2n边形的面积为2n×eq\f(1,2)×12×sineq\f(360°,2n)＝nsineq\f(180°,n)，用圆的内接正n边形靠近圆，可得S圆＝nsineq\f(180°,n)coseq\f(180°,n)＝πn；用圆的内接正2n边形靠近圆，可得S圆＝nsineq\f(180°,n)＝π2n；所以π2n＝eq\f(πn,cos\f(180°,n)).故选A．4．(2024·沙坪坝区校级模拟)2024年新型冠状病毒肺炎扩散全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也须要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(D)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)【解析】设顶角为α；由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×eq\f(1,2)×400×400×sinα＝320000sinα，由余弦定理可得正方形边长为：eq\r(4002＋4002－2×400×400cosα)＝400eq\r(2－2cosα)；故正方形面积为：160000(2－2cosα)＝320000(1－cosα)所以所求占地的面积为：320000(sinα－cosα＋1)＝320000eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋1))，∴当α－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)⇒α＝eq\f(3π,4)时，占地面积最大，此时底角为：eq\f(π－\f(3π,4),2)＝eq\f(π,8).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)三角与传统文化主要包括“欧拉公式”、“九章算术”、“赵爽弦图”、“割圆术”、“三斜公式”、“海伦公式”及以数学名人为背景数学学问的应用问题．考点二数列与传统文化eq\x(题)eq\x(组)eq\x(练)eq\x(透)1．(2024·香坊区校级二模)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有探讨成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，其次层比第一层多3个，第三层比其次层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋2an)))的前2020项和为(B)A．eq\f(2020,6069) B．eq\f(4040,6069)C．eq\f(2020,2023) D．eq\f(4040,2023)【解析】设从上而下各层货物的个数构成数列{an}，依题意有：a1＝2，a2－a1＝3，a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)由上面的式子累加可得：an＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(n2＋n＋1,2)＝eq\f(nn＋3,2)，n≥2，又当n＝1时，a1＝2也适合，所以an＝eq\f(nn＋3,2)，eq\f(n,n＋2an)＝eq\f(2,n＋2n＋3)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋2an)))的前2020项和为2eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,6)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)－\f(1,2023)))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2023)))＝eq\f(4040,6069).故选B．2．(2024·合肥三模)公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从其次人起先，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米(B)A．eq\f(10×810,810－710)斗 B．eq\f(10×89,810－710)斗C．eq\f(10×88,810－710)斗 D．eq\f(70×89,810－1)斗【解析】由题可得：每人所得玉米数构成公比为eq\f(7,8)的等比数列；且数列的前10项和为10；设首项为a；则有：eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))10)),1－\f(7,8))＝10；∴a＝eq\f(10×\f(1,8),1－\f(710,810))＝eq\f(10×89,810－710)；故选B．3．(2024·合肥一中、马鞍山二中等六校二联)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学学问起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，很多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(C)A．23 B．32C．35 D．38【解析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为d，其中公差d＝－3，S9＝207，即S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)×(－3)＝207，解得a1＝35．故选C．4．(2024·恩施质检)朱世杰是历史上最宏大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府接连派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从其次天起先每天派出的人数比前一天多7人．”在该问题中的1864人全部派遣到位须要的天数为(B)A．9 B．16C．18 D．20【解析】依据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，该问题中的1864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋eq\f(nn－1,2)·7＝1864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满意方程．故选B．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)数列与传统文化主要把传统文化与等差数列、等比数列和数列通项等数列学问相结合分类研讨．考点三不等式与传统文化eq\x(题)eq\x(组)eq\x(练)eq\x(透)1．(2024·宜春模拟)太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形态如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在某个太极图案中，阴影部分可表示为A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤1或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤4,x2＋y＋12≥1,x≤0))}；设点(x，y)∈A，则z＝3x＋4y的最大值与最小值之差为(A)A．19 B．18C．－1 D．20【解析】如图，作直线3x＋4y＝0，当直线上移与圆x2＋(y－1)2＝1相切时，z＝3x＋4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z＝3x＋4y的距离等于1，即eq\f(|4－z|,\r(32＋42))＝1，解得z的最大值为：4＋5＝9，当下移与圆x2＋y2＝4相切时，z＝3x＋4y取最小值，同理eq\f(|z|,\r(32＋42))＝2，即z的最小值为－10．所以：z＝3x＋4y的最大值与最小值之差是：9－(－10)＝19．故选A．2．(2024·中卫二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到很多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是(A)①由图1和图2面积相等可得d＝eq\f(ab,a＋b)；②由AE≥AF可得eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)；③由AD≥AE可得eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))；④由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab.A．①②③④ B．①②④C．②③④ D．①③【解析】由图1和图2面积相等ab＝(a＋b)d，可得d＝eq\f(ab,a＋b)，①对；由题意知图3面积为eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)AF，AF＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，图3设正方形边长为x，由三角形相像，eq\f(a－x,x)＝eq\f(x,b－x)，解之得x＝eq\f(ab,a＋b)，则AE＝eq\f(\r(2)ab,a＋b)；可以化简推断②③④对，故选A．3．(2024·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下其次十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2,2019]时，符合条件的a共有(C)A．133个 B．134个C．135个 D．136个【解析】由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*则3m＝5n当m＝5k，n不存在；当m＝5k＋1，n不存在；当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满意题意；当m＝5k＋3，n不存在；当m＝5k＋4，n不存在；故2≤a＝15k＋8≤2019，解eq\f(－6,15)≤k≤eq\f(2011,15)，k∈Z，则k＝0,1,2，…，134，共135个．故选C．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)不等式与传统文化主要包括在勾股弦图、勾股容方、均值不等式、伯努利不等式(Bernoulliinequality)与导数等几个方面的应用．考点四立体几何与传统文化eq\x(题)eq\x(组)eq\x(练)eq\x(透)1．(2024·新疆模拟)半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为(C)A．12＋4eq\r(3) B．18＋6eq\r(3)C．24＋8eq\r(3) D．36＋12eq\r(3)【解析】∵二十四等边体的外接球的表面积为16π，设其半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2，设O为球心，依题意得四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，∴(eq\r(2)AB)2＋(eq\r(2)AB)2＝42，∴AB2＝4，∴二十四等边体的棱长为2，∴二十四等边体的表面积为：S＝2×2×6＋eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(π,3)×8＝24＋8eq\r(3)，故选C．2．(2024·临沂学业考试)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？”，意思是“有粟若干，积累在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图主子意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主子卖后可得银子(D)A．200两 B．240两C．360两 D．400两【解析】∵有粟若干，积累在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，∴底面半径r＝eq\f(12,2π)＝2(丈)，∴体积V＝eq\f(1,3)×πr2×h＝eq\f(1,3)×3×22×1＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，∴主子卖后可得银子：eq\f(4×106,2700)×eq\f(270,1000)＝400(两)．3．(2024·兰州二诊)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__84π__.(容器壁的厚度忽视不计，结果保留π)【解析】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱组成的长方体的体对角线长，即2R＝eq\r(82＋2＋22＋22)＝2eq\r(21)，所以R＝eq\r(21)，球形容器的表面积S＝4πR2＝84π.eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)立体几何与传统文化主要包括立体几何中几何体体积公式、古代传统建筑中的阳马、鳖臑、堑堵、祖暅原理、牟合方盖等．考点五概率统计、算法与传统文化eq\x(题)eq\x(组)eq\x(练)eq\x(透)1．(2024·江西模拟)如图为《算法统宗》中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5eq\r(2)，当内方的边长为5时，外方的边长为5eq\r(2)，略大于7．在外方内随机掷100粒黄豆，则位于内方的黄豆数约为(A)A．50 B．55C．60 D．65【解析】由题意可得S内方＝25，S外方＝50，则从外方内随机取一点，此点取自内方的概率为eq\f(25,50)＝eq\f(1,2)，所以100×eq\f(1,2)＝50．故选A．2．(2024·山东模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽．假如把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从全部的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽．把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本领件总数n＝Aeq\o\al(5,5)＝120，其中宫、羽不相邻包含的基本领件有：m＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72，从全部的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为p＝eq\f(m,n)＝eq\f(72,120)＝eq\f(3,5).故选C．3．(2024·吉林期末)八卦是中国道家文化的深邃概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号．八卦表示事物自身改变的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，依据大自然的阴阳改变平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)．从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)【解析】由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，依据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为eq\f(3,8).故选C．