2024高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析

PAGE热点专练2不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A.ac2<bc2 B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)>eq\f(a,b) D.a2>ab>b2解析c＝0时，A不成立；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，B错；eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，C错；由a<b<0，∴a2>ab>b2，D正确.答案D2.已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，则a＝()A.2 B.－2 C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析依题意，－1与－eq\f(1,2)是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，且a<0，∴－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(－1)×eq\f(1,a)，则a＝－2.答案B3.若a>0，b>0且2a＋b＝4，则eq\f(1,ab)的最小值为()A.2 B.eq\f(1,2) C.4 D.eq\f(1,4)解析因为a>0，b>0，故2a＋b≥2eq\r(2ab)(当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号).又因为2a＋b＝4，∴2eq\r(2ab)≤4⇒0<ab≤2，∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，故eq\f(1,ab)的最小值为eq\f(1,2)(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).答案B4.(2024·日照检测)若实数x，y满意2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是()A.－4 B.－2 C.2 D.4解析由题意得2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，∴1≥2eq\r(2x＋y)，∴eq\f(1,4)≥2x＋y，∴2－2≥2x＋y，∴x＋y≤－2.∴x＋y的最大值为－2.答案B5.(2024·菏泽模拟)若正数x，y满意4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3) C.2 D.eq\f(5,4)解析由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝eq\r(3)，y＝eq\f(2\r(3),3)时取等号，∴xy的最大值为2.答案C6.(2024·滨州模拟)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值为()A.2eq\r(2) B.2eq\r(3)C.4eq\r(2) D.4eq\r(3)解析∵x>0，y>0，∴eq\r(xy)>0.∵x＋2y＝5，∴eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,\r(xy))＝eq\f(2xy＋6,\r(xy))＝2eq\r(xy)＋eq\f(6,\r(xy))≥2eq\r(12)＝4eq\r(3)，当且仅当2eq\r(xy)＝eq\f(6,\r(xy))，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝eq\f(3,2)时取等号.∴eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值为4eq\r(3).答案D7.设a>0，若关于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A.16 B.9 C.4 D.2解析在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x－1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）×\f(a,（x－1）))＋1＝2eq\r(a)＋1(当且仅当x＝1＋eq\r(a)时取等号).由题意知2eq\r(a)＋1≥5.所以a≥4.答案C8.(2024·宜昌模拟)若对随意的x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.12解析已知当x∈[1，5]时，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，则－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满意－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，则直线y＝ax＋b必过(1，5)，且与函数y＝f(x)的图象相切于点B.易得此时b＝5－a，此时的直线方程为y＝ax＋5－a.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋5－a，,y＝－x2＋2x，))得x2＋(a－2)x＋5－a＝0.∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a＝－4或a＝4(舍去)，∴bmax＝5－(－4)＝9.故选A.答案A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2024·德州模拟)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是()A.若a>b，则ac<bcB.若a<b<0，则a2>ab>b2C.若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)D.若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a>0，b<0解析若c>0，则由a>b得ac>bc，A错；若a<b<0，则a2>ab，ab>b2，a2>ab>b2，B正确；若c>a>b>0，则c－b>c－a>0，∴eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，C正确；若a>b，且a，b同号，则有eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，因此由a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)得a>0，b<0，D正确.故选BCD.答案BCD10.(2024·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A.a＋b＋c≤eq\r(3) B.(a＋b＋c2)≥3C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D.a2＋b2＋c2≥1解析由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±eq\f(\r(3),3)时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－eq\r(3)或a＋b＋c≥eq\r(3).若a＝b＝c＝－eq\f(\r(3),3)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝－3eq\r(3)<2eq\r(3).因此，A，C错误，B，D正确.故选BD.答案BD11.(2024·济南一中期中)设正实数a，b满意a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D.a2＋b2有最小值eq\f(1,2)解析对于A，因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以有eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故A正确；对于B，因为a，b是正实数，所以有1＝a＋b≥2eq\r(ab)，即eq\r(ab)≤eq\f(1,2)(当且仅当a＝b时取等号)，故B不正确；对于C，因为a，b是正实数，所以有eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(（\r(a)）2＋（\r(b)）2,2))＝eq\r(\f(1,2))，即eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)(当且仅当a＝b时取等号)，故C正确；对于D，因为a，b是正实数，所以有eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，即a2＋b2≥eq\f(1,2)(当且仅当a＝b时取等号)，故D正确.故选ACD.答案ACD12.(2024·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<eq\f(1,2)，则函数y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝eq\f(1,sin2x)＋eq\f(4,cos2x)的最小值为9解析对于A，取x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(1,2)，可得2x＋2y＝3eq\r(2)>4，A错误；对于B，y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2x＋\f(1,1－2x)))＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝eq\f(1,3)满意等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝eq\f(2,3)<1，C错误；对于D，y＝eq\f(1,sin2x)＋eq\f(4,cos2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2x)＋\f(4,cos2x)))(sin2x＋cos2x)＝eq\f(cos2x,sin2x)＋eq\f(4sin2x,cos2x)＋5≥2eq\r(4)＋5＝9.当且仅当cos2x＝eq\f(2,3)，sin2x＝eq\f(1,3)时等号成立，D正确.故选BD.答案BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为________.解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋eq\f(1,8b)≥2eq\r(2a·\f(1,8b))＝2·2eq\f(a－3b,2)＝eq\f(1,4)，当且仅当2a＝eq\f(1,8b)，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋eq\f(1,8b)的最小值为eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)14.(2024·深圳统测)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分，其次空3分)解析∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴1＝eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(2,x)·\f(1,y))，∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案8(－4，2)15.(2024·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为__________.解析因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝eq\f(ab,2a)＋eq\f(ab,2b)＋eq\f(8,a＋b)＝eq\f(a＋b,2)＋eq\f(8,a＋b)≥2eq\r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，当且仅当eq\f(a＋b,2)＝eq\f(8,a＋b)，即a＋b＝4时，等号成立.故eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为4.答案416.(2024·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.解析法一由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝eq\f(1－y4,5y2)，所以x2＋y2＝eq\f(1－y4,5y2)＋y2＝eq\f(1＋4y4,5y2)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y2)＋4y2))≥eq\f(1