2024-2025学年浙教版八年级数学上册专项复习：全等三角形的判定（六大题型）解析版

全等三角形的判定（六大题型）

一国爰坐其空筌生料__________________________

【题型01:判断三角形全等-SSS】

【题型02：判断三角形全等-SAS】

【题型03：判断三角形全等-ASA】

【题型04：判断三角形全等-AAS】

【题型05:判断三角形全等-HL】

【题型06：全等三角形的综合】

_国遹至空位_______________________________

【题型01:判断三角形全等-SSS】

1.如图，点B,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证:

△ABCmADFC.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定，由BE=CF可得BC=FE,即可由SSS证明

△ABC=△DFE,掌握全等三角形的判定方法解题的关键.

【详解】证明：•••BE=CF,

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=FE,

AB=DF

在△ABC和△DFE中,AC=DE,

.BC=FE

△ABC三△DFE(SSS).

1

2.如图，AC=BD,BC=AD,求证：△ABC三△BAD.

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知4C=BD,BC=AD,又力B公共，根据SSS

即可证明△4BC三△BAD.

【详解】证明：在△4BC与△840中，

AC=BD

BC=AD,

.AB=BA

ZkABC三△BAD(SSS).

3.已知：如图，点4、D、C、B在同一直线上，AC=BD,AE=BF,CE=DF.

⑴求证：4AEC空LBFD；

(2)求证：DEWCF

【答案】⑴证明见解析;

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用SSS即可证明△4EC三△8FB；

(2)△AEC^△BFBnj^ADCE=ACDF,进而可得△DCE三△CDF(SAS),得到

“DE=乙DCF,再根据平行线的判定即可求证；

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题

的关键.

(AC=BD

【详解】(1)证明：•••4E=BF,

ICE=DF

二△4EC三△BFB(SSS)；

2

(2)证明：△AECzABFB,

：.Z.ACE=Z.BDF,

即NOCE=4CDF,

在△QCE和△CDF中，

(CD=DC

乙DCE=4CDF,

ICE=DF

・•.△DCE=△CDF(SAS),

.,.4CDE=(DCF,

.-.DEWCF.

4.如图，已知48=AC,AD=AE,BD=CE.

⑴求证：Z-BAC=Z-DAE；

⑵猜想Nl,42,43之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴证明见解析；

(2)z3=zl+Z2,理由见解析.

【分析】(1)首先利用SSS证明△BAD三△C4E,根据性质可得41=NCAE,再由角度和

差即可求证；

(2)根据全等三角形对应角相等求出N4BD=42,由三角形外角的性质可得

z3=zl+z.2；

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解

题的关键.

【详解】(1)证明：在△84。和△C4E中，

AB=AC

AD=AE,

BD=CE

AB?lD=ACi4E(SSS),

/.Z.1=Z.CAE,

3

.,.zl+Z-DAC=Z.CAE+Z.DAC,

：.Z-BAC=Z-DAE；

(2)43=乙1+42,理由如下：

由(1)得：ABAD=ACAEf

.\Z.ABD=z2,

vz3=Z.ABD+Zl,

.*.z3=zl+z2.

5.如图，已知点B,C,D,E在同一条直线上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

AABD=AFCE.

【答案】证明见解析.

【分析】本题考查了三角形全等的判定，由BC=DE,贝UBC+CO=DE+CD,即

BD=CE,再根据SSS即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键.

【详解】证明：•••BC=DE,

：.BC+CD=DE+CD,

即BO=CE,

在△48。和△FCE中，

(AB=FC

\AD=FE,

(BD=CE

Ai4BD=AFCE(SSS).

6.已知：如图，AB=AC,DB=DC,F是40的延长线上一点.

(1)2LABD=^ACD；

4

(2)BF=CF.

【答案】⑴证明见解析;

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据SSS推出△BAD三△C4D,根据全等三角形的性质得出即可；

(2)根据SAS推出△BAF^△CAF,根据全等三角形的性质得出即可；

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题

的关键.

【详解】(1)在△84。和△C4D中

(AB=AC

\AD=AD,

(BD=DC

△BAD^△CAD(SSS),

;.4ABD=Z.ACD；

(2)vABAD=ACADf

：.Z-BAD=匕CAD,

在△B/F和△C/F中

(AB=AC

］乙BAD=/.CAD,

IAF=AF

ABAF=ACAF(SAS),

：.BF=CF.

7.如图，在△ZBC和△DEF中，BE=CF,AB=DE,AC=DF.

⑴求证：AABC三ADEF.

(2)若BC=11,BF=16,求CE的长.

【答案】⑴见解析

⑵6

5

【分析】（1）证=利用全等三角形的判定即可得证;

（2）求出CF=5,即可求解.

【详解】（1）证明：•・・BE=CF,

BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

在和aOEF中

(BC=EF

\AB=DE,

UC=DF

.-.AABC=△DEF(SSS).

(2)解：•・•BC=llf8F=16,

・•.CF=BF-BC

=16—11=5,

vEF=BC=11,

・•.CE=EF-CF

=11-5=6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键.

【题型02：判断三角形全等-SAS】

8.如图，在△ABC和△2ED中，AB=AE,ABAE=/.CAD,AC=AD.

求证：△ABCmAAED.

E

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关

键.利用"SAS"证明△ABC三△4E0,即可解决问题.

【详解】证明：・•・^BAE=^CAD,

•••Z.BAE+Z.EAC=/.CAD+Z.EAC,即皿IC=N£;4O,

6

在△ABC和△曲)中，

(AB=AE

4BAC=^EAD,

IACAD

■■.△ABCm△AED(SAS).

9.如图，已知4、B、C、。在同一直线上，AB=CD,DE||AF,S.DE=AF.

试说明：

⑴△AFC三△DEB；

(2)BE||CF.

【答案】⑴见解析;

⑵见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，

(1)由48=CD,得AC=DB,根据平行线的性质得44=N。，从而得△AFC三△DEB；

(2)由全等三角形的性质得"CF=ADBE,从而得BE||CF.

【详解】(1)解:因为48=CD,

所以4B+BC=BC+CD,即AC=DB,

因为DE||AF,

所以44=”,

因为DE=AF,

所以△4FC三△DEB

(2)解：因为三△DEB,

所以N4CF=乙DBE,

所以BE||CF.

10.如图，点、B,F,E,C在同一条直线上，ABWCD,AB=DC,BE=CF,求证：

△ABEm&DCF.

7

【分析】本题考查了全等三角形的判定.利用平行线的性质求得NB=/C,利用SAS即可证

明△ABE三

【详解】证明：•・•力BIICD,

"B=Z.C,

在△/BE和中，

(AB=DC

]ZB=ZC,

(BE=CF

△ABE=△DCF(SAS).

11.如图，AD=AE,AC=AB.求证：△ACDeAABE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS直接证明两三角形全等，即可得证.

【详解】证明：在△ZCD和△/附中，

AD=AE

,

.AC=AB

•••△ZCOw2\4BE(SAS)

12.如图，已知49=AB,AC=AE,^DAB=/.CAE,连接OC,BE.

D

AE

BC

8

⑴求证：△BAE三△D4C；

(2)若^CAD=135°,ND=20°,求NE的度数.

【答案】⑴见解析

(2)ZF=25°

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；

(1)根据题意由4048+NB4C=NC4E+NBAC,可得Z1MC=NB4E,即可求证;

(2)由△B4E三△£MC(SAS),可得NE=NC,再由内角和为180。即可求解.

【详解】(1)证明：•,NZMB=NC4E,

■■.Z-DAB+/.BAC=Z.CAE+Z.BAC,

：.Z.DAC—Z.BAE,

5L-.-AD=AB,AC=AE,

A5X£=ADAC(SAS)；

(2)ZXBAE三△DAC(SAS),

:.乙E—Z.C,

■■^CAD=135°,ZD=20°,

.-.zC=180°-Z.CAD一乙D=180°-135°-20°=25°,

.-.ZE=ZC=25°.

13.如图：己知AB=AC,AD=AE,4BAC=7.DAE.

⑴求证：△ABDmAACE；

⑵若N1=30。，N2=40。，求N3的度数.

【答案】⑴证明见解析

(2)70°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握

9

全等三角形的判定，

(1)根据SAS证明三角形全等即可；

(2)由两三角形全等，可得N4BD=N2,4BAD=al,再由三角形的外角性质即可解答.

【详解】(1)证明：・••4BAC=4DAE,

又VABAC=/.BAD+/.CAD,Z.DAE=/.EAC+Z.CAD,

/.BAD=Z.EAC,

在△48。和△ACE中，

fAB=AC

乙BAD=Z.EAC

(AD=AE

.••△4BD三△ACE(SAS)；

(2)解：■■-AABD=AACE

Z.ABD=z2,/.BAD=zl,

又vZ3=4ABD+/.BAD,

z3=zl+z2=30°+40°=70°.

14.已知：如图，点3,E,F,C在同一条直线上，AB=DC,Z.B=Z.C,BE=CF.

⑴求证：△ABFmADCE.

⑵若nAGE=80°,求N4FE的度数.

【答案】⑴见解析

(2)40°

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定

理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.

(1)由BE=CF,两边加上EF,得到BF=CE,利用SAS即可得证.

(2)根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可.

【详解】(1)证明：・•・8E=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

10

在和△OCE中,

AB=CD

Z-B=Z.C,

BF=CE

△ABF=△OCE(SAS)；

(2)-AABF=ADCE,

.\Z-AFB=乙DEC,

.--GE=GF,贝!JN/FE=乙GEF,

-/.AGE=80°,

.'.^EGF=180°-80°=100°,

ALL180°-^EGF

：.Z-AFE=---------------=40°.

【题型03：判断三角形全等-ASA】

15.如图，AD||BC,BE||DF,AE=CF,求证：△ADFmACBE.

____________n

【答案】见解析

【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定.根据平行线的性质可得”=NC,

ADFE=ABEC,再根据等式的性质可得4F=CE,然后利用ASA可证明△4DF三△CBE.

【详解】解：证明："AD||BC,BE||DF,

.*.Zi4=zC,Z-DFA=Z-BEC,

-AE=CF,

.・/E+EF=CF+EF,即4F=CE,

在△/OF和△W中，

(Z-A=zC

AF=CE,

V^DFA=2BEC

AXZ)F=AC5E(ASA).

16.如图，AD=AE,CDVAB,BE1AC,垂足分别为D,E.

11

A

⑴求证：△ABE三△4CD；

(2)若AC=12,CO=8,BC=10,求BC边上的高的长度.

【答案】⑴见解析

喈

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点，关键是选择恰当的

判定条件判定三角形全等成为解题的关键.

(1)利用"ASA"即可证明结论；

(2)由全等三角形的性质得到力B=AC=12,再利用等面积法求解即.

【详解】(1)证明：•.££)，AB,BELAC,

.-.^ADC=2LAEB=90°,

在△ABE和△力DC中，

(AA-Z-A

AD=AE,

VZ.ADC=Z.AEB=90°

ZXABE三△4CD(ASA).

(2)解：AABE=AACD,

,.AB=AC=12,

设BC边上的高的长度为伍

帝B-CD=^BC-h

gx12x8=|xlOh,

解得：h=^,

・•・BC边上的高的长度为募

17.如图，4、E、F、B在同一条直线上，AE=BF,乙4=48,乙CEB=5FA,试说明:

12

/\AFD=ABEC.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明=再利用ASA证明

△AFD^△BEC即可证明结论.

【详解】解：,•,4E=8F,

：.AE+EF=BF+EF,即4F=BE,

在△AFD和△BEC中，

(Z.DFA=乙CEB

AF=BE

Iz>l=Z.F

.•.△4FDwz\BEC（ASA）.

18.如图，点4为△48C和△力DE的公共顶点，已知NC=NE,AC=AE,请你添加一个

条件，使得AB=AD.（不再添加其他线条和字母）

⑴你添加的条件是；

（2）根据你添加的条件，写出证明过程.

【答案】（l）^CAD=4EAB

⑵过程见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定；

（1）根据题意添加的条件即可；

（2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明.

【详解】（1）解：NCW=NE48.

13

(2)证明：・.2C/0=^EABf

：.Z-CAD+Z-BAD=Z.EAB+乙BAD,

即NR4c=^LDAE.

在△ABC和△//)£•中，乙BAC=^DAE,

AC=AE,Z-C—Z-E,

△ABC^AADE(ASA),

.,.AB=AD.

19.已知：如图，在RtaZBC中，Z.B=90°,BC1CD,DEIAC于点E,AB=CE.求证:

△ABC三ACED.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据SAS证明三△CE。即可.

【详解】证明：••・48=90。，BCLCD,DELAC,

••・乙B=乙BCD=乙DEC=90°.

：./-A+^LACB=9O0ZDCE+^ACB=90。，

.,.Zi4=乙ECD,

在△/BC和△CED中，

(乙4=乙ECD

]AB=CE

JB=乙DEC

・•.△ABC=△CED(ASA).

20.如图所示，已知BC||DE,AD=CF,乙4=4尺

14

R

⑴求证：△ABCzADEF；

⑵判断AB和EF的位置关系并说明理由.

【答案】⑴详见解析

(2)AB||EF

【分析】(1)本题主要考查全等三角形的判定，ASA,直接根据||DM可以推导

乙BCD=^EDF,关键是利用好=CF,倒边推导出OF=C;4是解决本题的关键.

(2)本题主要考查全的三角形的性质，利用第一问结论可以推导乙F=乙4,最后可以判定

AB||EF.

【详解】(1)证明：・・・BC||。邑

:/BCD=Z.EDF；

-AD=CF；

-'-AD+CD=CF+CD；

即，DF=CA；

vz.i4=Z.F

在△ABC和△产ED中；

(△BCD=Z-EDF

]DF=CA；

IZ-A=Z.F

.•.△ZBC三△FEO(ASA).

(2)证明：-AABC^AFED；

.•.乙4=zF；

.-.AB||EF.

21.如图，在△ZBC中，48=AC,点。、E分另(J在48、AC上，^ABE=^ACDfBE、CD相

交于点。.

15

A

(2)求证：BD=CE.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键.

(1)利用ASA直接证明三△4CD；

(2)先证明=再根据等式性质证出结论.

【详解】(1)证明：在△ABE与△4CD中：

(Z.ABE=Z.ACD

]AB=AC,

(Z.A=Z-A

・•・△ABEw△4C0(ASA)；

(2)证明：由(1)知△Z8E三△4C0,

•••AE=AD,

•••AB=ACf

・•・AB-AD=AC-AE,

BD=CE.

22.如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，乙ACB=4DEF,AB\\DF,BE=FC.

⑴求证：AABC=ADFE；

(2)若BP=14,EC=8,求BC的长.

16

【答案】⑴见解析

(2)11

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段的和差，熟练掌握三角

形全等的判定与性质是解此题的关键.

(1)由平行线的性质可得NB=NF,证明BC=EF,再由ASA证明△ABC三ZXDFE即可；

(2)先求出CF=3,再根据=—C尸进行计算即可得出答案.

【详解】(1)证明：■■■ABWF,

乙B=Z.F,

•・•BE=FC,

：・BE+CE=CF+CE,BPBC=EF,

在△/BC和△OFE中，

(Z-B=zF

BC=EF,

V/-ACB=乙DEF

・•.△ABC=△OFE(ASA)；

(2)解：•・・BF=14,EC=8,BE=FC,

.・."=^^=宁=3,

；.BC=BF-CF=14-3=11.

【题型04：判断三角形全等-AAS】

23.如图，点E在△ABC的外部，点。在8C上，DE交4C于点F,zl=Z2=Z3,

AB=AD.求证：△ABC三△ADE.

【答案】见解析

17

【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键.通过

z2=Z3,AAFE=2DFC,可得NE=ZC,即可通过AAS证明△三△40E.

【详解】证明：vzl=z2,

/.Zl+Z.DAF=Z2+Z,DAF,^^BAC=^DAE,

•••Z-AFE=Z.CFD,z2=z3

ZC=180°-Z3-乙DFC,乙E=180°-z2-N/FE,

BPzC=乙E,

在与△ADE中，

(Z-BAC=乙DAE

{zC=ZE

IAB=AD

.-.A△ADE(AAS).

24.如图，点E,C在8尸上，乙ACB=(DEF,BE=CF,AA=^D.试说明

△ABCmADFE.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据BE=CF,得出BC=FE,再结合

乙4=4。，4ACB=4DEF,即可证明△ABC三△DFE,进行作答即可.

【详解】解：•；BE=CF,

.-.BE+EC=CF+EC,即BC=FE.

在△ABC和△£)?£■中，

(ZX-Z.D

{Z.ACB=乙DEF,

IBC=FE

△ABC三△DFE(AAS).

25.如图，点、C、E在BF上，BE=CF,AB||FD,4力=ND.

18

E

B

⑴求证：△ABCmADFE；

(2)若AB=50°,乙BED=145°,求ND的度数.

【答案】⑴证明见解析

⑵乙0的度数是95°

【分析】(1)由BE=CF,推导出BC=FE,由4B||FD,证明NB=NF,即可根据"AAS”

证明AABC=ADFE；

(2)由N8=NF=50。，NBEO=145。，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和"得，145。=4。+50。，求得乙D=95。.

此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和等知识，推导出BC=FE,乙B=片,进而证明△48C三△DFE是解题的关

键.

【详解】(1)证明：•；BE=CF,

•*.BE+CE+CF+CE,

・•.BC=FE,

-AB||FD,

•••Z-B—Z-F,

在△/BC和△OFE中，

(乙B=乙F

]z.24=zZ),

iBC=FE

.-.AXBC=ADFE(AAS).

(2)解：v=50°,Z.B=ZF,

・•・乙F=50°,

•:乙BED=145°,2BED=z£)+ZF,

/.145°="+50°,

19

.•.乙D=95°,

••.ND的度数是95。.

26.如图，在△NBC与△DEF中，点、B,E,C,尸在一条直线上，AB\\DE,AC=DF,

Z-A=LD.

⑵若BF=7,CE=3,求线段BE的长度.

【答案】⑴详见解析

(2)2

【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形的全等条件.

(1)直接利用全等三角形的判定方法aas可得出答案；

(2)由全等三角形的性质可得出结论.

【详解】(1)证明："ABWDE,

Z.B=Z.DEF,

(乙B=Z.DEF,

在△ABC与△£)£1尸中，］乙4=皿

IAC=DF

△力BC三△DEF(AAS)；

(2)■■■AABC=ADEF,

•••BC=EF,

BC—CE=EF—CE,

即BE=CF=*BF-CE)=|x(7-3)=2.

27.如图，△ABC^,AB=AC,O、E是边4B、4C上的点，连接CD、BE交于点HN4DC=乙AEB.

20

c

⑴求证：CD=BE；

(2)若N4=45°,^ACD=20°,求NBFC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)85°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的

关键.

(1)利用AAS证明△4CD三根据全等三角形的性质即可得证；

(2)根据全等三角形的性质求出乙4CD==20。，再根据三角形外角性质求解即可.

【详解】(1)证明：在△4CD和△力BE中，

(Z.ADC-Z.AEB

{/.DAC=乙EAB

IAC=AB

△ACD=△ABE(AAS),

■.CD=BE；

(2)解：AACD=AABE,/.ACD=20°,

：.^ACD=乙ABE=20°,

•••ZBDC=Z.A+/.ACD,乙4=45°,

."BDC=65°,

：.Z.BFC=/.BBC+/-ABE=85°.

【题型05：判断三角形全等-HL】

28.如图，点B、E、C、F在同一直线上，乙4=ND=90。，BE=CF,AC=DF.

求证：ZB=乙DEF.

21

【答案】答案见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即

可得到答案.

根据BE=CF得至IJBE+EC=EC+CF^BC=FE,之后禾!|用HL证明Rt△ABC三Rt△DFE即

可得到答案.

【详解】证明：BE=CF,

BE+EC=EC+CF,

即BC=FE.

v乙4=40=90°,

则在Rt△ZBC和Rt△OFE中,

[BC=FE

{AC=DE'

・••Rt△ABC=Rt△DFE(HL).

Z-B=乙DEF.

29.已知：如图，ZB=ZC=90°,且=BE=CF.

AD

⑴求证：AB=DC；

(2)若乙4=55。，求乙DEF的度数.

【答案】⑴证明见解析

(2)35°

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的

判定和性质是解题关键.

(1)利用"HL"证明RtaABF三RtaDCE,即可得出结论；

(2)由三角形内角和定理，得到N4FB=35。，再根据全等三角形的性质，即可求出NDEF

的度数.

【详解】(1)证明：•；BE=CF,

.-.BE+EF=CF+FE,

即BF=CE,

22

又乙B=LC=90。,

在Rt△4BF与Rt△DCE中：

(AF=DE

\BF=CE'

.-.Rt△ABF=Rt△OCE(HL),

：,AB=DC；

(2)解：・.2B=90°,Z,A=55°,

・“FB=35°,

vRt△ABF=Rt△OCE(HL)，

=乙DEF=35°.

30.如图，点B,E,C,F在同一直线上，AA=^D=90°,BE=FC,AB=DF.求证:

乙ACB=乙DEF.

【答案】见解析

【分析】本题主要考考查了利用"HL〃证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形

全等的判定方法是解决问题的关键.利用“HL〃证明RtaABC三RtaOFM即可作答.

【详解】证明：・.・BE=FC,

.,.BE+EC=EC+FC,

：.BC=EF,

••,Zi4=z_D=90°,

△ABC.△DFE是直角三角形，

在RtUBC和RSOFE中，雁W，

.-.Rt△ABC=Rt△DFF(HL),

.,.Z.ACB=乙DEF.

31.如图，过射线EF外一点。，作DEIEF,点/为射线EF上一点，在ZF上截取AC=DE,

作时。1£。，点2时位于后尸的同侧，连接AD,以人为圆心，以4。的长为半径画弧，交MC于

B.

23

⑴△ZME三△4BC；

(2)AD1AB.

【答案】⑴见解析;

⑵见解析.

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用HL证明两个三角形全等是解

本题的关键；

(1)先证明NE=乙4cM=90°,AB=AD,再证明Rt△ZME三Rt△48C(HL)即可；

(2)由△DAE三△4BC,可得N£ME=N4BC.再结合互余的含义可得结论.

【详解】(1)证明：•••DELEF,MCIEC,

：/E=N4CM=90°.

由画弧过程可知：AB=AD,

在Rt△和Rt△ABC中

(AD=BA

IDE=AC'

.-.Rt△DAE=Rt△XBC(HL).

(2)ADAEVAABC,

.--Z-DAE=Z.ABC,

-Z.ACB=90°,

：.Z.ABC+/-BAC=90°.

又•：乙DAE=/.ABC,

：.Z.DAE+Z.BAC=90°.

：./-DAB=180°一(z,DAE+^.BAC)=90°.

：.AD1AB.

32.如图，在△ABC中，ZC=90°,将线段48绕点4逆时针旋转50。得到线段ZD,过点。

24

作DEIAB,垂足为点E,DE=BC,求NB的度数.

【答案】NB=40°

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征、旋转的性质，根据旋转

的性质得4B=4D,/.BAD=50°,进而可求得AD=40。，利用HL可得Rt△4CBmRt

^AED,进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：••・将线段4B绕点/逆时针旋转50。得到线段力D,

：.AB=AD,/.BAD=50°,

DELAB,

：./LAED=90°,

•••ZD=90°—乙BAD=40°,

在RtAACB和Rt△AED中,

(AB=AD

\BC=DE'

Rt△4cBmRt△力ED(HL),

:.乙B=AD=40°.

33.在△ABC中，AB=CB,AABC=90°,厂为AB延长线上一点，点E在BC上，且

AE=CF.

⑴求证：AABEmACBF；

(2)若皿E=15°,BF=3,求4E的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

25

【分析】(1)根据4B=BC,AE=CF,利用HL证明△ABE三△CBF即可；

(2)根据全等三角形的性质得BE=BF=3,根据已知条件得出NB4E=30。，根据含30

度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】(1)vzABC=90°,

.-./.FBC=90°,

在Rt△ABE^WRt△CBF中，

(AB=BC

IAE=CF'

.-.Rt△ABE=Rt△CBF(HL).

BPA45ESACBF.

(2)AABE=ACBF,BF=3,

••.BE=BF=3,

■,■Z.ABC=90°,AB=BC,

."AC=45°,

■：/.CAE=15°,

.•ZBAE=30°,

■,■BE=3,

.-.AE=2BE=6.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角

形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

【题型06：全等三角形的综合】

34.如图，在△4BC中，48=80。，将48沿射线BC的方向平移至49，连接44,设4方与

AC的交点为。.

(1)若⑶为BC的中点，求证：△4。4三2\。。夕；

(2)若4C平分NB44,求NC的度数.

26

【答案】⑴见解析

(2)50°

【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性

质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键.

(1)根据平移性质得到44'|山夕，AA'=BB',从而得到Z04A=ZC,再根据夕为BC的中点,

得到44=87,从而证明结论；

(2)根据力C平分NB44,得到ZB4C=NO44，，从而证明=ZC.再根据三角形内角

和定理以及NB=80。，即可求解；

【详解】(1)解：••・40由48沿射线BC的方向平移所得，

■■.AA'WBB',AA'=BB',

.­.Z.OAA'=zC,

••,B为BC的中点，

BBr=B'C,

AA'=B'C.

在△AOA和△C。9中

Z.OAAf=ZC

乙4。4=乙COB',

,AAr=B'C

・•・△三△C。夕(AAS)；

(2)・・・4C平分乙84/',

・•.Z.BAC=Z.OAA',

又v^OAA'=乙C,

Z.BAC=Z-C,

vABAC+NC+48=180°,乙B=80°,

ZC=(180°-80°)+2=50°.

35.如图所示，工人赵师傅用10块高度都是l.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与

地面垂直的墙ABCO和EFG”，其中于点5,于点£,点尸在BE上，已知

AP=PF,AB=PE.

T1

⑴求证：△ABPmAPEF；

(2)求BE的长.

【答案】⑴见解析

⑵BE的长为15m

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题

关键.

(1)根据垂直及各角之间的等量代换得出NR4P=4EPF,再由全等三角形的判定即可证明；

(2)由题意得：4B=1.5x3=4.5(m),EF=1.5x7=10.5(m),再由全等三角形的性质

结合图形求解即可.

【详解】(1)证明：由题意得：AB1BE.EF1BE,

.-.^ABP=APEF=90°.

：.Z.BAP+A.BPA=90°.

•■•Z-APF=90°,

：.^EPF+/.BPA=90°.

.-.Z.BAP=4EPF

在△ABP和中

(Z.ABP=4PEF

2LBAP=乙EPF,

IAP=PF

二AABP三△PEF(AAS)；

(2)解：由题意得：AB=1.5x3=4.5(m),EF=1.5x7=10.5(m),

由(1)得△力BP三△PEF,

.-.PE=AB=4.5(m),BP=EF=10.5(m).

.-.BE=BP+PE=10.5+4.5=15(m).

答：BE的长为15m.

28

36.如图，在△ABC中，ZC=90°,点。是4B边上一点，DE1AB,5.DE=AC,DE与AC

交于点G,过点E作尸E||BC交4B于点尸，交AC于点、H.

⑴求证：AABC=AEFD-,

(2)若NEFD=58°,求4GH的值.

【答案】⑴见解析

(2)122°

【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相

关性质是解题的关键.

(1)利用平行线性质得到NB=ADFE,禾I」用垂直的定义得到NEDF=/C=90。，即可证明

△ABCmAEFD；

(2)利用平行线性质得到NGHF=90。，在利用四边形内角和得到

乙DGH=360°—乙GHF-乙EDF—乙EFD,即可解题.

【详解】(1)证明：FE||BC,

Z.B=Z.DFE,

DE1AB,

：.LEDF=ZC=90°,

•••DEAC,

：.△4BC三△EFD(AAS).

(2)解：FE||BC,NC=90。，

AGHF=90°,

•••Z.EDF=90°,Z.EFD=58°,

•••&DGH=360°-乙GHF-乙EDF-乙EFD=122°.

29

37.如图，A,D、E三点在同一条直线上，且△ABD三△C4E.

⑴若DB=6,CE=4,求DE；

(2)若BD||CE,求NB4C.

【答案】⑴DE=2

(2)NB4C=90°

【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，

(1)根据△力BD三△CAE,BD=6,CE=4得BD=AE=6,AD=CE=4,即可得;

(2)上艮据8。IICE得4BDE=ACEA,根据△48。三△CAE^ADB=乙CEA,

4ABD=ACAE,贝1U4DB=乙BDE,卞艮据4DB+ABDE=180。得N4DB=90°,可得

/.ABD4-Z.BAD=90。，即可得；

掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：•••△2BD三△CAE,BD=6,CE=4,

■.BD=AE=6,AD=CE=4,

DE=AE-AD=2；

(2)解：•••BD||CE,

/-BDE=/.CEA,

ABACAE,

■-Z.ADB=乙CEA,/.ABD—/.CAE,

Z.ADB=Z.BDE,

■:ADB+乙BDE=180°,

•••^ADB=90°,

•••/.ABD+/.BAD=90°,

30

/-BAC=/.BAD+/.CAE=乙BAD+Z.ABD=90°.

38.如图，在△力BC中，AABC=AACB,点、D,E分别在边N2和/C上，连接BE,CD,

交点为尸，且40=豺B,AE=^AC.

⑴求证：CD=BE.

⑵求证：DF=EF.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】⑴根据等角对等边，得到4B=4C,结合AE=^AC,得到

AD=AE,通过△4CD三△ABE(SAS),即可求解，

(2)由AACD=AABE,得至Ij/ACD=/.ABE,4CFE=4BFD,结合BD=CE,得到

△BDF=△CEF(AAS),即可求解，

本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与

判定.

【详解】(1)■■/.ABC=Z.ACB,

.,.AB=AC,

-,-AD=|XB,AE=|XC,

.,.AD=AE,

(AD=AE

在△ZCO和△ABE中，］/-CAD=/-BAE,

(AC=AB

・•・△/CO三△/BE(SAS),

：.CD=BE,

(2)解：由(1)^AACD=AABEf

：-Z-ACD=Z.ABE,

31

-AB=AC,AD=AE,

・•.BD=CE,

♦:乙CFE=Z-BFD,

△BDF=△CEF(AAS),

：.DF=EF.

39.如图，AB=CD,AMIBC于点DNtBC于点、N,CM=BN,连接4V,DM.

求证：

⑴AABM三八DCN；

(2)AN\\DM.

【答案】⑴证明见解析;

⑵证明见解析.

【分析】(1)本题考查全等三角形的判定，根据题意推出8M=CN,结合题干的条件和

AB=CD,即可证明△ABM三△£＞《入

(2)本题考查全等三角形性质和判定，平行线的判定，根据△A8M三yXOCN,得到

乙B=乙C,证明△ABN三△DCM,得到N4NB=乙DMC,即可解题.

【详解】(1)证明：BN=CM,

：.BN-MN=CM-MN,即BM=CN,

•••4MlBC于点M,ONIBC于点N,

AAMB=ZDWC=90°,

在Rt△ABM和Rt△DCN中，

(AB=CD

IBM=CN'

•••Rt△△DCyV(HL)；

(2)证明：RtAABM=RtADCN,

•••(B=zC,

32

在△/BN和△DCM中,

AB=DC

Z-B=Z-C,

BN=CM

・•.△ABN=△OCM(SAS),

••・乙ANB=乙DMC,

・•・AN\\DM.

40.如图，在△ABC中，点。是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD=EC,点、F

为△ABC外一点，连接DF,EF,/.A=ZF,AC||DF,

⑴求证：△ABC三△FED；

(2)若点。是BC中点，且BE=12,BA=4,AC=5,求△DEF的周长.

【答案】⑴见解析

(2)17

【分析】

本题考查了全等三角形的判定与性质等知识.

(1)先分别证明BC=ED,乙4cB=乙FDE,即可根据"角角边"证明△ZBC三△FED；

(2)根据全等三角形的性质得到=EF=4,AC=FD=5,再证明8D=DC=EC=

BE=4,进而得到DE=8,即可求出△DEF的周长为17.

【详解】(1)

证明：•.BD=EC,

••.BD+DC=EC+DC,

即BC=ED,

-AC||DF,

：.Z-ACB=乙FDE,

在△ABC与△FED中，

33

(Z-A=Z-F

]/-ACB=乙FDE,

IBC=ED

.•.△ABCzAFED；

(2)解：♦:△ABCzAFED,

.-.BA=EF=4,AC=FD=5,

•••点。是BC中点，

:.BD—CD,

-BD=EC,

:.BD=DC=EC=々BE=4,

：.DE=8,

・•・△OEF的周长为EF+DF+OE=4+5+8=17.

41.在四边形ABC。中，ZB=90°,E为BC边的中点，力E平分ABAD,尸分别为AD上一点,

AF=AB.

⑴求证：/^ABE^AAFE；

(2)若乙4ED=90°,请证明BC1CD.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)根据SAS证明△力BE三△4FE即可.

(2)由AABE=AAFEPS^EB=EF,Z.AEB=^.AEF,/.EFA=NB=90°,又由

乙BEC=180°,/.AED=90°,可得N4E8+4DEC=90°,/.AEF+乙DEF=90°,贝！|

乙DEC=乙DEF,根据SAS证明△ECD=△EFD,则可得NEC。=乙EFD=90°,则可证

BC1CD.

【详解】(1)证明：:aE平分NE4D,

34

Z.BAE=Z.FAE,

在△的£和△河£•中，

(AB=AF

]/.BAE=Z.FAE,

(AE=AE

•••△ZBE三△”E(SAS)；

(2)证明：由(1)知，AABE=AAFE,

・•.EB=EF,乙AEB=Z.AEF,Z.EFA=cB=90°,

Z-EFD=90°.

v乙BEC=180°,/LAED=90°,

Z.AEB+ADEC=90°,24EF+NOE尸=90。，

・••乙DEC=Z-DEF.

•・•点E为BC的中点，

EB=EC,

・•.EF=EC,

在△ECO和△EF。中，

fEC=EF

(乙DEC=乙DEF,

(ED=ED

.-.AECD^AFFD(SAS),

・•・乙ECD=乙EFD=90°,

•.BCLCD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解

题的关键.

42.如图，△2BC中，/.ABC=60°,AD、CE分另！]