甘肃省定西市某中学2025届高三年级上册暑假开放日教学测试数学试题（含答案）

定西市渭源一中教育联盟2025届高三上学期暑假开放日教学测试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-3,-1,0,2,5},3={%|/<5},则力nB=()

A.{-3,-1}B.{-1,0,2}C.{-3,-1,2}D.{0,2,5}

2.已知复数z=(2-i)(3+i),其中i为虚数单位，贝Uz的虚部为()

A.-1B.1C.-7D.7

3.已知圆台的轴截面为上底为4,下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4,则圆台的高为()

A.73B.3C.273D.4

4.在数列{厮}中，己知的=1,且册+1+a7t=2n,则其前31项和S31的

值为()

A.361B.423C.481D.523

5.现在流行网约车出行，已知某人习惯在4,B,C三个网约车平台打车，且根据以往经验，在4B,C三

个网约车平台能顺利打到车的概率分别为9，《.己知此人先选择4平台打车，若不能顺利打到车，则进而

236

选择B平台，最后选择C平台.则此人在一次出行中，能顺利打到车的概率为()

35137

A-4B6C.而D.-

6.已知函数/是定义在R上的奇函数，且/(X)单调递增，则/(靖-1)+/((I-e)x)<0的解集为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,e)

7.已知4B是抛物线C：P=位上关于x轴对称的两点，。是抛物线C的准线与％轴的交点，若直线BD与抛

物线C的另一个交点为E(4,4),则直线4E的方程为()

A.2%—y—4=0B.4%—3y—4=0C.%—2y+4=0D.4%—5y+4=0

8.如图所示，在正万体2BCD-4/1的。1中，E,F分别为4B上的中点，且EF=展，P点是正万形

4BB14内的动点，若G,P〃平面CD]EF,贝叶点的轨迹长度为（）

A.2，^B.37rC.D.n

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量五=（x,2-x）,b=（-1,-%）,则下列说法中正确的是（）

A.若必/B,则x=—2或1

B.若21b,则x=0或—3

C.若同=\b\,贝!=1或3

D.若刀=-1,则向量出反夹角的余弦值为唱

10.刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列

说法中正确的是（）

80

70

60

50g

丁

40,I

307

201±_

10

07891O2月

注

支

收

.入

A.4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

B.支出最高值与支出最低值的比是5:1

C.第三季度平均收入为5000元

D.利润最高的月份是3月份和10月份

11.已知函数/'（久）=/]n久，下列说法正确的是（）

A.当％>1时，/(%)>0；当0<x<1时，/(%)<0

B.函数/(%)的减区间为(0,保)，增区间为(正,+8)

C.函数/(%)的值域［一］,+8)

D./(%)>x—1恒成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2%+口)5的展开式中，/的系数是.

13.已知三角函数f(x)=sin(3久+以3>04€(0,幼的图象关于(0,0)对称，且其相邻对称轴之间的距

离为》则9=.

14.已知双曲线卷―A=1Q>0">0)的离心率为YZ,虚轴长为2形，&、4为左、右焦点，则焦点心

到渐近线的距离为；设点B为。P：/-2%+y2-4y+1=0上一点，动点力为双曲线左支上一点，

则|四2|+|4用的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在团4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,设回4BC的面积为S,且满足S=f(a?+一©2).

(1)求角C的大小；

(2)求sinAsinB的最大值.

16.(本小题12分)

r2

设/(久)=x3---2x+5

(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；

(2)当x6时，/(x)<ni恒成立，求实数小的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—2BCD中，底面4BCD为直角梯形，AD//BC.ABLAD,PAIJgffiXBCD,且24=

y［2AB=yJl.BC,AD=2BC,E,F分别为PB,PC中点.

p

(1)证明：EF〃平面PAD；

(2)求平面AEF与平面PBC所成角的正弦值.

18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，点M(x,y)到点尸(1,0)与到直线％=5的距离之比为g,记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若点P是圆/+*=5上的一点(不在坐标轴上)，过点P作曲线C的两条切线，切点分别为48,记直线

P4PB的斜率分别为七#2，且七=—4-七，求直线OP的方程.

19.(本小题12分)

甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为《乙射击一次命中的概率为最比赛共进行几

轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击九次，每次命中得2分，未命中得0

分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止

射击.

(1)设甲同学在方案一中射击71轮次总得分为随机变是Xn,求E(X20)；

(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当nNN时，甲的总得分期望

大于乙.

参考答案

l.B

2.A

3.C

4.C

5.C

6.5

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.10

14.76；2y/~5+2<3-2

15.⑴

由S=孕(a?+b2—c2)可知，^-absinC=孕x2abcosC.

4L4

所以tanC=V_3.

因为0<C<TT,所以。=半

(2)

由已知sinZsinB=sinZsinQ-C—A)

121

V3..1,1-n7r-+-

=—sm2Q4--cosQ2A+-2si2464

444

因为0<a<奈所以<<24-<勺，

3666

所以当22—1=J即A=g时，sinAsinB取最大值,,

oZ54

所以sinZsinB的最大值是,.

4

16.(1)/'(%)=3x2—x—2,

令f'Q)=0,解得%=1或%=一|，

当》〈一,或%>1时，/'(%)>0,/(%)为增函数，

当—I(尤<1时，f(x)<0,/(x)为减函数

综上：函数〃久)的单调递增区间为(一8,-|］和［1,+8),递减区间为卜Q］.

(2)当%6［—1,2］时，/(%)<m恒成立，

只需使/(%)在上最大值小于m即可

由⑴知“久)最大值为f(一I)=5+11、端点值f(-l)=54(2)=7中的较大者.

•••f⑺在上的最大值为"2)=7,

•。.m>7,

所以实数6的取值范围是爪>7

17.(1)

因为E,F分别为PB,PC的中点，所以EF〃BC,

在直角梯形48CD中，因为力D〃BC,所以

又因为ADu平面PAD,EFC平面PAD,

所以EF〃平面24。；

(2)

由P4，平面ABC。，AB,ADu平面48CD,得P41AB,PA1AD,又481AD,

建立如图空间直角坐标系，设力B=2,

贝|B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2/2),D(0,4,0),F(l,0,VI),F(l,l,72),

所以荏=(l,0,72),AF=(1,1,72),PC=(2,2,-2/2),PB=(2,0,-2/2),

设平面的法向量为记=(x],yi，Zi),

则，H-AE=x1+Zi=0

\m-AF=+y[+z1=o'

取比i=则Z]=-1,%=o,即沅=(Y2,o,—i),

设平面PBC的法向量为元=(如乃应)，

则，？•PC=2X2+2y2—2A/-2ZI-0

In-RD=2X2—2V~^Z2=0

取Z2=贝卜2=2,丫2=0，即有=(2,0,V~2)，

设平面4E尸与平面PBC所成角为仇

\m-n\_|2/2-/2|_1

则|cos6|=\cos(jn,n)\=

|m|-|n|-/2+T-/TF2-3,

18.⑴

根据题意可得粤=?，即耳受=?,

\x-5\5|x-5|5

整理可得1,

54

因此曲线C的方程为合+4=1；

54

(2)

如下图所示：

设P(zn,ti),4(%Lyi),8(%2，y2)，则/+n2=5,

又点尸不在坐标轴上，所以mW0且九W0；

因此直线PA的方程为y=kr(x—m)+n,直线尸B的方程为y=k2(x—m)+n,

又直线R4与椭圆相切与点4

y=fci(%—m)+n

联立x2y2整理可得(4+5般)%之+(lO/qn—10klm)x+S(klm2+n2—2klmn-4)=0

—+—=1

54

可得4=0,即(10k1九—10好m)2_4(4+5般)x5(蜉血2+九2_2klmn-4)=0,

22

整理可得(5—m)fc2+2krmn+4—n=0,

2

又血2+彦=5,可得九2好_|_2mnkr+4—n=0；

2

直线PB与椭圆相切与点8,同理可得必反+2mnk2+4-n=0,

所以七水2是关于々的一元二次方程九2A:?+2mnk+4-n2=0的两个不同的实数根，

2mn2m

因此七十%=一

n2n

再由七=—4—七可得七+B=—~=—4,即:=2；

所以直线8的斜率为k=2=3,

因此直线OP的方程为y=

19.解：⑴设冬=争,故Z.Bjng),

所以E(Xn)=2E(Zn)=n,

故£(X20)=20；

(2)由(1)知E(Xn)=九，

设乙同学的总得分为随机