2023-2024学年高一数学第二学期期末模拟试题（解析版）

20232024学年第二学期期末模拟试题

高一数学

（范围：必修第二册）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若复数z=2-6i,贝卜的共轨复数I的虚部为（）

A.-6iB.6iC.6D.-6

【答案】C

【分析】根据题意可得I=2+6i，进而可得虚部.

【详解】因为z=2-6i,则下=2+6i，

所以［的虚部为6.

故选：C.

2.设向量。=。2,向，石=（2人6）,若。//方，则机=（）

A.-6B.0C.6D.±6

【答案】D

【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.

【详解】由题意得12x6=01x2/〃，解得加=±6,

故选：D.

3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'AB'C,且CM'/AB'C',

O'A=23'C'=4,AB'=2,则该平面图形的高为（）

【答案】C

【分析】由题意计算可得O'C,还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.

【详解】在直角梯形ON'3'C'中，OAHB'C,O'A=2B'C'=4,A'B'=2,

则O'C'=《（4-2）2+2?=,

直角梯形O'AB'C对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC,

贝U有BC//OA,OC±OA,OA=2BC=^OC=20'C=472,

所以该平面图形的高为40.

故选：C.

4.设/是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a1/3,mua,l1/3,则加〃/B.若机u%/u£,e||月，则机〃/

C.若a=m,l上m,贝D.若crc力,则a_L/

【答案】D

【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，若aL/3,mua,lL/3,贝|〃/a或/uc,无法确定加与/的关系，错误;

对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少〃?〃/的条件，它们可能平行或异面，错误；

对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件/ua,/，/平行、相交或/u尸均有可能，错误；

对于D选项，若贝l"_L7,由面面垂直的判定定理可得a，，，正确.

故选:D

5.甲、乙、丙三名同学相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传

给另外两个人中的任何一个人，则4次传球后球在甲手中的概率为（）

11-31

A.—B.-C.-D.-

8483

【答案】C

【分析】根据题意先求出4次传球的路线总数,再求出4次传球后球在甲手中的路线种数，再利用古典

概型的概率计算公式求解即可.

【详解】根据题意4次传球总的传球路线种数为24=16种，

满足题意的有:甲乙甲乙甲、甲乙甲丙甲、甲乙丙乙甲、甲丙甲乙甲、甲丙甲丙甲、甲丙乙丙甲，共

有6种，

所以4次传球后球在甲手中的概率为2=•!.

168

故选:C.

6.已知样本数据占,乙，可，%的平均数为x,方差为，若样本数据a\+2,a%+2,+2,…,axn+2

的平均数为4x(a>0),方差为9/，则平均数工=()

13

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】C

【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.

【详解】已知样本数据％的平均数为X,方差为S2,

2

则样本数据%+2,ax2+2,3+2,…,叽+2的方差为02s2,所以“2s?=gs,

又因为a>0,所以a=3.

样本数据+2,%+2,必+2,…,ax“+2的平均数为办+2=3x+2,所以3x+2=4x,解得x=2.

故选：C.

7.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其中汝窑被

认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，

其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上

底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4,则该汝窑双耳罐的体积是

2504兀

【答案】D

【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.

【详解】上、下两圆台的高之比是3:4,故上圆台的高为14x=3=6厘米,

3+4

4

下圆台的高为14x-=8厘米，

3+4

「打+叫时网=3⑵立方厘米,

故上圆台的体积为K=6

3

下圆台的体积为y=8*兀("+102+.36><1℃>)=些兀立方厘米,

133

故该汝窑双耳罐的体积为匕+乂=312%+—无="詈立方厘米.

故选：D

8.如图，圆。内接边长为1的正方形ABC。尸是弧8C(包括端点)上一点，则通.荏的取值范

【答案】C

【分析】法一:以A为坐标原点，所在直线分别为无轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用

7T7T

向量的坐标运算即可求解；法二：连接AC,CP,设=则NPAC=：-。，

44

AP-AB=\AP\\AB\cos0=\AB\-\AC\cosZPAC,即可求解.

【详解】方法一：如图1,以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐

标系，则A(O,O),B(1,O)).

设P(x,y),则羽=(尤,y).因为通=(1,0),所以存.通=»

由题意知，圆。的半径/'=正.因为点P在弧8C(包括端点)上,

2

所以+冬所以通的取值范围是1,笥色.

图1

方法二：如图2,连接AC,CP.

TT7T

1§：ZPAB=0,O<3<-,贝IJNB4C=——3.

44

由已知可得I通|=1,|*|=应,/4尸。=',所以|衣H/|cosNP4C=&cos］：—。

所以AP-AB=|AP||AB|cos0-V2cosf——cos0—+cos0

1+cos20sin20-+—sinf2(9+-^

=(cos0+sin6)cos0=cos26+sin夕cos0=--------1------

2222I4)

因为04”工，所以殳＜26+24生，所以14sin(20+9wi,

44442(4j

所以1W：+孝sinje+jw岑I,即Q.荏的取值范围是

故选：C.

9.设A,B,C,。是同一个半径为5的球的球面上四点，AABC是斜边为8的直角三角形，则三

棱锥A-BCD体积的最大值为()

64128

A.——B.64C.—D.128

33

【答案】C

【分析】依题意可得AABC的外接圆的半径r=4,即可求出球心到平面A3C的距离d,求出“BC

面积的最大值，及点O到平面ABC的距离的最大值，最后根据锥体体积公式计算可得.

【详解】「AABC是斜边为8的直角三角形，

.1△ABC的外接圆的半径厂=4,又球的半径尺=5,

二球心到平面ABC的距离d=VA2-r2=V25-16=3，

又AASC面积的最大值为gx8x4=16,

点£)到平面ABC的距离的最大值为d+R=3+5=8,

三棱锥A-BCD体积的最大值为gx16x8=券.

故选：C.

第n卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

10.复数z=〃z(m-l)+而是纯虚数，则实数机=.

【答案】1

【分析】结合纯虚数的定义，即可求解.

【详解】z=〃z("z-l)+mi是纯虚数，

fm(m—1)=0

则八，解得加=1.

工0

故答案为：1.

11.若向量乙=(41)与5=(4,2)的夹角为锐角，则实数2的取值范围是.

【答案】［-川口.收)

【分析】由£与石的夹角为锐角，贝工石>0,列出不等式解出4,要去掉使£与方同向(Z与5的夹

角为0)的彳的取值.

【详解】团Z与B的夹角为锐角，回£石>0，即44+2>0,解得2>-；，

当2与石共线时，可得22-4=0,解得4=2,

所以当丸=2时，4与B同向，

团实数彳的取值范围是(-g2)u(2,y).

故答案为：(-：,2)u(2,y).

12.某区A,B,C三个学校共有高中学生2000人，其中A校高中学生700人，现采用分层抽样的方

法从这三个学校所有高中学生中抽取一个容量为60人的样本进行学习兴趣调查，则A校应抽取一

人.

【答案】21

【分析】利用样本容量可计算出抽样比为100:3,即可计算出A校应抽取的高中学生人数.

【详解】根据题意可知，2000人中抽取容量为60人的样本，

抽样比为2000:60=100:3,设A校应抽取的人数为",

又A校高中学生700人，所以按照抽样比可知您="，解得“=21.

所以A校应抽取21人.

故答案为：21

13.圆锥轴截面顶角为120。，母线长为3,过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大

值为.

【答案】|

【分析】由题意可知任两条母线的夹角兀，轴截面的面积S=g/2sin。，根据6的范围，求

截面面积的最大值.

【详解】因为圆锥轴截面顶角为三，

所以任两条母线夹角的范围是，[冗，

设母线长为/,母线的夹角是巴

1O

所以圆锥顶点的轴截面面积S==/2sind=sin，，

22

因为夕€(。，|•兀，所以sin8e(O,l],

所以轴截面面积的最大值是力9

故答案为：,9

14.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为:；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为;.

假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子

先下，则甲、乙各胜一局的概率为.

【答案】97

【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.

【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为g,第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率

为？

因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为R=(X]=J；

326

第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为:2，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为耳1，

212

因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为P2=]X§=§,

1?7

所以甲、乙各胜一局的概率为工+

6918

7

故答案为：—

lo

15.如图，在△ABC中，BO=3OC9过点。的直线分别交直线口瓜。于不同的两点〃,N,记

____k__________.___.kk21

AB=a,AC=b,用表不AB=mAM,AC=nAN,若加>0,〃>0,则—F—的最

mn

小值为.

A

【答案】：万+9

444

【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.

__,__,__,__3_____►

【详解】由题知，AO=AB+BO=AB+-BC

4

--3/---3--1—►

=AB+-(AC-AB]=-AC+-AB,

4、144

—►3一1一

即AO=-b+-a.

44

___3___1__

由血=—天+―通k，AB=mAM,AC=nAN,

44

所以前='丽+叫福，

44

因为M、N、。三点共线，

,m3n,

所CC以H7+-T=1，

44

所以工+工二3n

十一

mn4

13m3〃5cIm3n_5+2^6

=—+—+——+——>—+2

244M2m4V4〃2m4

当且仅当广=2，即.=48,〃=4(3一时时等号成立.

4几2m、'3

故答案为：\a+h.土城

444

三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.已知复数Z=（疗+meR.

⑴若z是纯虚数，求优的值；

（2）若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=。上，求加的值.

【详解】（1）复数zK疗一1）+（苏一加一2），实部为/_1,虚部为加2-%_2,

f—1—0

若Z为纯虚数，则2CC，解得m=L

[m-m-2^0

（2）因为z在复平面内对应的点为（苏一1,疗-机-2）,

由题意可得：7?z2-l-（?M2-m-2）+l=0,解得〃?=一2.

17.已知向量满足a+B=（3,l）,。-2石=（0,7）.

⑴求。,卜，-；

1--

（2）求-a+b；

⑶若向量£+〃而与向量加Z+B的方向相反，求实数优的值.

【详解】（1）因为苕+5=（3/），a-2b=（O,7）,

所以3M=2,+刀+^-2石=2（3,1）+（0,7）=（6,9）,贝！]M=（2,3）,

所以石=（3,1）-（2,3）=（1,-2）,

所以商一方=（2,3）—（1,-2）=（1,5）,

所以无（4-=2x1+3x5=17；

（2）因为:M+B=；（2,3）+（1,

所以—a+b=

2

(3)因为商=(2,3),S=(1,-2),

所以商+应=(2,3)+m(l,-2)=(2+m,3—2m),

ma+b=m（2,3）+（1,-2）=（2m+1,3m—2）,

因为a+mb与ma+B共线，

则（3-2〃?）（2〃?+1）=（2+根）（3〃7-2）,解得zn=l或"=-1,

当=1时，ma+b=（3,1）,M+麻=（3,1）,则Z+麻=/疝+B，

此时a+〃区与机a+B方向相同，不符题意；

当〃z=-l时，ma+b=（1,5^,&+:』=（—1,—5）,则不+，"5=—（〃京+5）,

此时a+与ma+B方向相反，符合题意；

综上可得〃?=-1.

18.2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为"践

行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次"垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情

况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计

将成绩进行整理后，分为五组（50<x<60,60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,904x4100）,其

中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图

（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划

为多少合理？

⑶某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：々，巧，%，已知这1。个分数的

平均数元=90,标准差s=6,若剔除其中的95和85这两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差.

【详解】（1）由题意知，所以0.0162=0.008a,解得。=。。32,

又（0.008+0.016+0.032+0.04+Z?）xlO=l,解得b=0.004.

所以a=0.032,6=0.004,

(2)成绩落在［50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88,

设第80百分位数为m,贝-70)0.04=0.8-0.48,

解得〃z=78,所以晋级分数线划为78分合理.

(3)［=90，故：尤1+%+三+…+/=10弧90=90。.

又s'+尤；+…+4)-90?=6。，/+…+=81360,

剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为毛，巧，x3.尤8，

平均数与标准差分别为高，”,

niHt人A八£心-T-1匚业jX+X)+XQ+••,+4900-95-85__

则剩余8个分数的平均数：x0=-——=------------=----------------=90；

OO

方差：S；=1付+君+…+喇-9。2=-(81360-952-852)-902=38.75.

19.如图，在四棱锥中，底面A8C0为平行四边形，ZABC=120°,AB=1,PA=45,PDLCD,

PB_L5£>,点N在棱PC上，平面尸&)_L平面ABCD.

P

(2)若PA〃平面3ZW,求三棱锥N-的体积；

⑶若二面角N—5。—。的平面角为了兀，求P君N.

4NC

［详解】(1)因为平面PBD_L平面ABCD,平面PBD。平面ABCD=BD,PBVBD,尸3u平面PBD,

平面ABCD,

又•.•ABu平面ABC。，

:.PB±AB

(2)

•.■以//平面及小，PAu平面PAC,平面「43。平面汉小=凡9（其

中点。是AC,8。的交点亦是中点）,

:.PA//NO,可知N为PC中点,

而PB_LAB,AB=l,PA=圾,

所以尸3=2,

因为PDLCD,PB±BD,

所以PC?=如2+1=2?+3/)2+1=3£>2+5,

因为尸3_L平面ABCD,BCu平面ABCO,

所以「8L3C,

所以PC?=22+叱,

所以皮y+I=BC2,

在三角形BCD中，C0=A2=1,/BCD=6O。，由余弦定理有BD?=BC?+1-8C，

结合BJT+LBC"解得BD=®BC=2,

11311c,_V3

=PACD=XX2X

VN-PAD=5%-尸AO^2~,23：x2xlx

（2一6

(3)

P

:.NHV^ABCD,再作即_LBZ)(K为垂足)，

TT

.1N/VKH为二面角N-BD-C的平面角，ANKH=-,

4

由(2)可知3C=PB=2,所以三角形P3C是等腰直角三角形，同理三角形NHC也是等腰直角三

角形，

从而PC=272,

在三角形BCD中，B£)2+CD2=(73)2+12=4=BC2,

所以/BDC=90。，

而NBCD=60。，所以NC8O=30。，

不妨设C"=Mf=x=Q,NCfx，

2

则BH=2—尤且B”=2AH,；.x=^=NH,

.PN2后-缶c

NC41x

20.已知A,B,C,。四名选手参加某项比赛，其中A,6为种子选手，C,。为非种子选手，

种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为3,种子选手之间的获胜的概率为:，非种子选手之

间获胜的概率为I•.比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠

军.

(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？

(2)选手A与选手D相遇的概率为多少？

⑶以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？

方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；

方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.

【详解】(1)第一轮选手的对战情况分别为｛筋,8｝,｛AC,3。｝,｛AD,BC｝,故总方案数3；

(2)设事件"="选手A与选手。相遇"，

当对战为｛AD,3C｝时