2024-2025学年湘教版高一数学《函数模型及其应用》随堂测试

4.5函数模型及其应用—2024-2025学年高一数学湘教版（2019）

必修一随堂测试

一、选择题

1.为了能在规定时间T内完成预期的运输最Q。，某运输公司提出了四种运输方案，

每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时

间内的运输量）逐步提高的选项是（）

2.某企业生产A,3两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩大再

生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A,B两种产品的年产量的增

长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过3产品的年产量

（MZ1g2=0.3010）（）

A.2年B.3年C.4年D.5年

3.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过20%，否

则，由厂家免费为车主更换电池，某品牌新能源车电池容量测试数据显示：电池的性

能平均每年的衰减率为1.5%，该品牌设置的质保期至多为（）（参考数据：

lg2工0.3010,lg985h2,9934）

A.15年B.14年C.13年D.12年

4.天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光

强度乙为标准，对于发出星光强度为R的星体，定义其“星等”为根=-2.51g土，并称

Fo

该星体为“冽等星”，已知天狼星为-1.4等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度

大约是北极星的（）倍.（已知1g2。0.301,1g3«0.477）

A.3B.13C.23D.33

5.我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的

多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：

室内二氧化碳浓度（单位：

人体生理反应

ppm）

不高于1000空气清新，呼吸顺畅

1000-2000空气浑浊，觉得昏昏欲睡

2000~5000感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中

可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死

大于5000

亡

《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家

标准为：室内二氧化碳浓度不大于0.1%（0.1%即为lOOOppm）,所以室内要经常通

风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内

二氧化碳浓度为2000ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与经过时间/（单位：分

钟）的关系式为y=0.05+2el（/leR）,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要

开窗通风时间至少约为（参考数据：ln3aL099,ln5«1.609）（）

A.10分钟B.U分钟C.12分钟D.20分钟

6.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过20%,否则由厂

家免费为车主更换电池.某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平

均每年的衰减率为1.5%,该品牌设置的质保期至多为（）

（参考数据：1g2ao.3010,lg985土2.9934）

A.12年B.13年C.14年D.15年

7.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度力与

其采摘后时间/（天）满足的函数关系式为丸=m・".若采摘后10天，这种水果失去的

新鲜度为10%,采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水

果多长时间后失去40%新鲜度（）

A.25天B.30天C.35天D.40天

8.著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体

在空气中冷却，如果物体的初始温度为仇。C,空气温度为，oP,则/分钟后物体的温

度夕（单位：。c）满足：e=q+（q-q）e-",其中左是一个根据物体与空气接触情

况而定的正常数，现有42P的物体放在2。（2的空气中冷却，2分钟后物体的温度为

22℃,则再过4分钟该物体的温度可冷却到（）

A.6℃B.7℃C.8℃D.9℃

9.函数/（尤）的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）

X-2-101235

/(x)2.31.10.71.12.35.949.1

A./(JC)=ka^+bB./(x)=Axe¥+b

C.f(^x)-k\x\+bD./(x)=A;(%-1)2+b

10.2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，

在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并

进入预定轨道.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火

箭（除燃料外）的质量机（单位：kg）的函数关系为v=21n，+,）若已知火箭的质

量为3100kg,火箭的最大速度为Ukm/s,则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数

值：In2®0.69,In244.69«5.50,结果精确到O.Olt,It=1000kg）

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69t

二、多项选择题

11.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园

的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间

x（min）的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0co时，丁与％的关系式为y=

12.声强级乙（单位：面）由公式L,=10联，给出,其中/为声强（单位：W/济），则

下列结论中正确的是（）

A.女高音的声强级是75力,普通女性的声强级为45力，则女高音声强是普通女性声强的

100倍

B.一般正常人听觉能忍受的最高声强为1卬/m2,能听到的最低声强为10.12卬/m2,则人听

觉的声强

级范围为0d5—120面

C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍

D.如果声强级增加10力，则声强变为原来的10倍

三、填空题

13.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元

时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.为公司从一下函数模型

y=kx+b,y=a4x+b,y=alog4X+Z?中选择恰当的奖励模型，计算某业务员要得到

8万元奖励，则他的销售额应为（万元）.

14.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙.研究某种鸟类的专家发现，该种鸟

类的飞行速度（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=a+log2s（其中是实

数）.据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，

飞行的速度不能低于2m/s,其耗氧量至少需要个单位.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，3C=16cm，动点P从点A出发，以1cm/秒

的速度向终点3移动，动点Q从点3出发以2cm/秒的速度向终点C移动，则移动到

第秒时，可使△P5Q的面积最大.

DC

APB

16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程

力(x)(i=1,2,3,4)关于时间尤(尤20)的函数关系式分别为力(x)=2,-1,上(x)=/,

f3{x}-x,力(X)=log2(尤+1),有以下结论：

①当X>1时，甲走在最前面；

②当X>1时，乙走在最前面；

③当0<%<1时，丁走在最前面，当％>1时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.

其中，正确结论的序号为(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得

分).

四、解答题

17.某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元,出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售

商订购，决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就

降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为尸元，写出函数P=/(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零

件的利润=实际出厂单价-成本)

参考答案

1.答案：B

解析：由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.

故选：B

2.答案：C

解析：设经过x年后A产品的年产量会超过3产品的年产量，

则10x(1+50%)，>20x(1+20%)，，

解得x>logs2,

4

lg2坨2lg20.3010

而logs2=«3.103,

Ig5-lg4,10…l-31g2~1-3x0.3010

41g5Tg2

最小值为4,

故选：C.

3.答案：B

解析：设电池初始电量为a,Va(l-1.5%)">80%«^n<lg8-1«14.70,所以质保

lg985-3

期至多为14年，故选B.

4.答案：C

解析：设天狼星的星光强度为《，北极星的星光强度为工，

因为天狼星为-1.4等星，北极星为2等星，

所以—1.4=—2.53二，2=—2.5

Fo

144

解得耳=1025罪，8=105片,

14

14(4^134

1025F°25

所以二==10I511Q25-23.

4

故选：C.

5.答案：A

解析：由题意可知，当/=0时，y=0.05+2=0.2,可得力=0.15,则

y=0.05+0.15”，

t

由y=0.05+0.15e「5W0.1,可得7291n3。9.891,

故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10分钟.

故选：A.

6.答案：C

解析：设该品牌设置的质保期至多为x年，

由题意可得,(1-1.5%)工>1-20%，则0.985*>0.8>

QQCQ

两边取对数lgO.985,>1g0,8，即xlg0.985>lg0.8，则1g卡，

即x(lg985-3)>lg8-lglO，则x(lg985-3)>31g2-l,

因为lg985a2.9934，所以lg985—3<0,则x<温;一；工工14.6970,又因为

xeN*，所以％=14,

故选：C.

7.答案：B

解析：依题意，『°%=力〃：，解得="。=2,当/?=40%时，

2Q%=m-cr°20

40%=--aS

20

即40%=工.屋.口1°,解得=4=(d)2=/。，于是得7—10=20,解得/=30,

20

所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.

故选：B.

8.答案：B

解析：由题设，22=2+(42—2)e2,可得左=ln0,

再过4分钟，W^=2+(22-2)e-4ta^=2+20x47=7℃.

e

故选：B.

9.答案：A

解析：由函数的数据可知,函数2)=〃2),/(-1)=/(1),

偶函数满足此性质，可排除B,D；

当x>0时，由函数/（力的数据可知，函数/（“增长越来越快，可排除C.

故选：A.

10.答案：B

解析：根据题意，加=3100,

令丫=21/1+*-]=11,则ln[l+4-]=lne”,

I3100JI3100J

2

M5.5

所以则1+=e

3100

55ta24469

即4-=e--1xe--1=244.69-1=243.69,

3100

所以Af«3100x243.69=755439kg=755.44t.

故选：B.

11.答案：BD

解析：在A中，甲在公园休息的时间是lOmin,所以只走了50min,A错误；

由题中图象知,B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到

公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误；

当0WxW30时，设y=Ax（人/0），则2=30%，解得左=/D正确•

故选：BD.

12.答案:BD

解析:设女高音声强为人,普通女性声强为右，则101g（，^）=75,所以

所以&=1045②，则①+②得：2=1000,故女高音声强是普通女性声强的1000倍,A

12

1012

错误

11f）T2

101g（k5）=WxlglO12=120（办），101g（片）=101gl=0（"）.

因此人听觉的声强级范围为正确

由4=10联记、)=101g/+120,当/变为2/,L2=101g(2/)+120牛2(10lgI+120),C错误

设声强变为原来的左倍，则101g(H)+120-(10坨/+120)=10,解得左=10，故选项口正确.

13.答案：1024

解析：由题知，函数过（8,1）,（64,4）,自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓

慢，用平滑曲线连接得

因为y=m；+b,增长速度相对平稳,

y=。4，+6,增长速度越来越快,

y=alog4x+b,增长速度越来越慢,

又公司是为了业务发展制定的激励销售人员的奖励方案，增长速度应越来越慢，差距

不能太大，

所以函数模型应选y=«log4x+b,

3,,

l=alog^+b—a+b=1

所以,即《2解得a=2,b=—2,

4=tzlog64+Z>

43a+Z?=4

所以y=210g4X-2,

当y=8时，210g寸―2=8,解得x=1024,

故答案为：1024

14.答案:80

解析：由题意a+Iog?!^=0，a=-l,即v=—l+log2《,

由—l+log2《22,解得Q280.

故答案为：80.

15.答案：4

解析：设移动x秒时，面积最大，

止匕时5P=8—x，BQ=2x,（0<x<8），所以

22

SAPBQ=^\PB\\BQ\=~(8~X)2X=-X+8X=-(X-4)+16-

故当％=