2023届高考数学二轮复习：导数的几何意义和函数的单调性

第1讲导数的几何意义和函数的单调性

知识与方法

1.关于切线的求解,在某点处的切线与过某点的切线的差别,从而掌握求解切线问题的一

般性方法.

若已知曲线过点尸(%,%),求曲线过点尸(天,％))的切线，则需分点P(%,%)是切点和不是

切点两种情况求解.

(1)当点P(Xo/o)是切点时可分以下几步完成：

第一步,求导数/'(X)；

第二步,求切线斜率左=/'(x。)；

,

第三步,写出过点尸国,为)的切线方程了-％=/(x0)(x-x0).

(2)当点P(xoJo)不是切点时可分以下几步完成：

第一步,设出切点坐标P(X],/(xJ);

第二步,写出过点的切线方程y-/(xj=；

第三步，将坐标代入切线方程，求出西；

第四步，将*的值代入方程了-/(*)=石)，可得过点尸(%,比)的切线方程.

2.研究函数单调性时,务必注意函数定义域的限制.

在定义域中利用/'(x)...o或r(x)„o即可得到单调区间.

3.*二阶导数.

如果函数/(X)的导数/〈X)在x处可导,则称r(x)的导数为函数y=/(x)在点x处的二

阶导数，记为/"(X).

01/9

典型例题

【例1］已知函数/(x)在R上满足/(X)=2/(2-X)-X2+8X-8,则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的

切线方程是()

A.y=2x—ly=xC.y=3x-2D.j=-2x+3

【分析】此题是求切线问题,我们一般需要求得切线上一个点与切线斜率，下面我们只需要求得

/⑴与/'⑴即可.

【解析】因为/(x)=2/(2-x)-必+殴―8,

令x=l,则/⑴=2/(1)-1+8-8=2/(1)-1,

解得/(1)=1,得切点坐标为(1,1),

在原式两边对x求导,则/'(x)=2/,(2-x).(-l)-2x+8,

令x=l,得=—2/'(1)+6,解得/'。)=2,

所以切线方程为y=2(x—l)+l=2x—1,

故选A.

【点睛】求解切线的关键是求得切点与斜率即切点处的导数值.

【例2】已知关于x的函数y=d—及2一产工+/3在区间(_i,3)上单调递减，求，的取值范围.

【分析】函数/(x)在区间(d与上单调递减，可得/'(X),,0在区间(a,b)上恒成立，从而可求得

/的取值范围.

【解析】令f(x)=x3-tx2-t2x+13,求导得/'(x)=3x2-2tx-12.

/'⑶,,0,27—1~—6t„0,

由题意知/'(x),,0在(-1,3)上恒成立，只需＜即4

/'(T，，0,3—厂+2t»0,

解得以-9或L.3.

02/9

【点睛】三次函数求导可得二次函数.若二次项系数为正的二次函数/'(X)在区间(生为上小于

等于零,只需区间端点满足0,0同时成立即可.

【例3］已知函数f(x)=jx3-；办2+(a-l)x+1.

⑴若/(x)的减区间为(1,4),求a的值；

⑵若/(%)在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+“)上为增函数,求实数a的取值范围;

⑶若/(x)在区间(1,4)上有增区间，求a的取值范围.

【分析】本题利用导数与单调区间的关系直接求解.

【解析】(1)因为/'(x)=Y—ax+a—1,

a=5

由/'(x)=/—"+”1<0的解集为。,4),得办+a—1=0的两根为1,4,所以口/彳即

a=5.

(2)由题意得当工£(1,4)时=x1-ax+a-\,0恒成立，

z（ao,

当x…6时/（X）=、2一ax+a-L.o恒成立，即<0,解得5”%7.

/（6）...0,

/'⑴”0,

⑶先求反面，/(x)在区间(1,4)上无增区间,即/(%)„0在x£(1,4)时恒成立,故<解得

/'（4）„0,

a..5,所以当a<5时/(x)在区间(1,4)上有增区间，即a<5.

【点睛】利用可导的/(x)在任何区间上都是非常数函数，一般由/'(x)…0求得增区间，由

/'(X),,0求得减区间.

【例4】已知函数/(x)=F(ax+b)—/一以，曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=4x+4.

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(1)求a)的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求/(%)的极大值.

【分析】(1)利用切点切线的特点求出/(0)=4,/'(0)=4;(2)求导.

【解析】(1)(x)=e"(ax+a+6)-2、-4.

由已知得/(0)=4,/'(0)=4,故6=43+6=8,从而。=6=4.

(2)由⑴矢口，f(x)=4ex(x+l)-x2-4x,

则—(X)=4F(x+2)—2x—4=4(x+2)卜—gJ

令(x)=0,得x=-2或x=-ln2,

从而当xe(一。,一2)。(一1112,+。)时，>0;当x£(-2,-ln2)时，/'(x)<0.

故f(x)在-2)和(-ln2,+。)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.

当x=-2时,函数/(X)取得极大值,极大值为/(-2)=40--2).

【点睛】要求函数的单调性,先求函数的导数,根据导数的正负判定增减性.

【例5】已知函数/卜)=/6一\

(1)求/(X)的单调区间；

(2)当曲线y=/(x)的切线/的斜率为负数时,求/在x轴上截距的取值范围.

【分析】(1)利用导函数易得单调区间；(2)求出切线即可.

【解析】⑴/⑴的定义域为RJ'(x)=—x(x—2)e：

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当xe(-oo,0]u[2,+oo)时，/'(x)”0;当工€[0,2]时，/'(x)…0.

所以的增区间为[0,2],减区间为(——0],[2,+动.

⑵设切点为«,/(/)),贝！1/的方程为^=/'⑺(x7)+f(t).

所以/在x轴上的截距为加(/)=/—44=，+—L=/—2+?一+3,

J\/

由/'⑺<。得/£(一。,0)32,+8),

因为/z(x)=X+2在卜”,—0),(0,+8)上递增;在卜亚,o),(o,行)上递减,

JC

所以掰(7)的取值范围是(―8,0)u[2V2+3,+S)，

综上可得/在X轴上截距的取值范围(-8,0)u[20+3,+8).

【点睛】设切点(/,/(/))再求得截距关于t的解析式,再求解是常见方法

【例6】已知函数/(x)=必-X

⑴求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)设a〉0,如果过点(0,6)可作曲线y=/(x)的三条切线,证明：—a<b</(a).

【分析】三条切线的问题，在三次曲线上的本质是存在三个不同的切点的问题,从而可转变成方

程有三个不同根的问题,利用函数的最值加以证明.

【解析】⑴因为/(x)=3x2-l，所以在点〃0,/(/))处的切线方程为

(2)如果切线过点(a,则存在"使6=(3/—1)a—2尸.

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由题意,关于t的方程2t3—3/+a+b=o有三个相异的实数根.

记g(。=2-一3。/+a+b,则g'«)=-6at=.

因为a>0,所以g(x)的增区间为(一8,0)和(a,+8)，减区间为(O,aJ

当X—+8时，g(x)—>+8；当X-—8时，g(X)T一。,

所以当x=0时，g(x)有极大值g(0)=a+6,

当x=a时，g(%)有极小值g(a)=一/+a+6=6-/(a),

tz+Z?>0,

因为g")=0有三个不同实数根,所以<

<0.

即一a<力<f(a).

【点睛】函数的切线条数本质上是切点的个数问题.

2

【例7】已知函数/(%)=Inx-4zx+X,Q£R.

⑴当Q=0时，求曲线歹二/(x)在点(e,/(e))处的切线方程;

⑵讨论/(x)的单调性;

⑶若/(x)有两个零点,求Q的取值范围.

【分析】(1)求导，利用切线公式写出切线方程；

⑵研究导函数的符号,求出函数单调性；

⑶分离参数,数形结合,利用函数单调性画出函数草图,从而分析零点.

rr

【解析】(1)当a=0时,/(x)=lnx+x,/(e)=e+l?/(%)=—+l,/(e)=l+—，则曲线

xe

/(x)在点(ej(e))处的切线方程为y—(e+l)=[l+：)(x—e)YPy=

y=

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(2)=—2"厂+k+1-〉0),

X

①当a„0时,显然/'(x)>0J(x)在(0,+e)上单调递增；

2

②当。〉0时，令/'(少)=2」/+丁+1=0,则_2ax+x+l=0,易知△〉0恒成立.

X

设方程的两根分别为国,工2(再<、2)，则=----<0,所以再<0<%2，故

一一"2Q

=-2>+x+l-J…%〉0)

XX

巨呼I所以函数/⑴在

由/'(X)>0得X£(0,%2)，由/'(1)<0得工£(、2，+8)，其中工2二

„1+J8a+11+,84+1,+8］上单调递减.

u,­上单调递增,在

4aI4aJ

⑶函数/(x)有两个零点，等价于方程。=叵/有两解.

JC

人/、lnx+x八、e\1-21nx-x

令g(x)=-L(zx〉0),则g(%)=----3------

XX

1—Q1tlY—V

由g'(x)=-----}^〉0,得211«+》＜1,解得0＜》＜1,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+”)上单调递减，当X..1时，g(x)>0，当x-0

时，g(x)T-00,当Xf+00时，g(x)—>0，作出函数g(x)的大致图象如图,结合函数值的变化趋势猜

想：当ae(O,l)时符合题意.

下面给出证明.

当a..l时，a..g(x)max)方程至多一解，不符

扇;

当a„0时,方程至多一解,不符合题意;

07/9

当«e(O,l)时，g<0,所以ga<0,因为g(l)=l,所以g(l)-o>0,因为

a

<一=a,所以ga<Q.

所以方程在上各有一个实根,

所以若/（x）有两个零点，a的取值范围是（0,1）.

【点睛】研究函数单调性时，务必注意函数定义域的限制！利用导数研究函数零点或方程根的方

法：⑴通过最值（极值）判断零点个数的方法，借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数

单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数的取值范围.（2）数形结合法求解零

点,对于方程解的个数（或函数零点个数）问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数

形结合确定其中参数的取值范围.（3）构造函数法研究函数零点：（1）根据条件构造某个函数，利用导数确

定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找