专题15函数的奇偶性（九大题型）

专题15函数的奇偶性【题型归纳目录】题型一：函数的奇偶性的判断与证明题型二：已知函数的奇偶性求表达式题型三：已知函数的奇偶性求值题型四：已知函数的奇偶性求参数题型五：已知奇函数+M题型六：抽象函数的奇偶性问题题型七：奇偶性与单调性的综合运用题型八：利用函数奇偶性识别图像题型九：对称性与奇偶性的综合应用【知识点梳理】知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【典例例题】题型一：函数的奇偶性的判断与证明例1．（2023·高一课时练习）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数【答案】B【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故A错误；对于B，因为和都是偶函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故B正确；对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故C错误；对于D，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故D错误.故选：B例2．（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C例3．（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.故选：A变式1．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】D【解析】函数的定义域为，不关于数0对称，所以函数是非奇非偶函数.故选：D变式2．（2023·高一课时练习）已知函数，证明是定义域上的奇函数；【解析】因为的定义域为，又因为，所以，即，所以为奇函数．变式3．（2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知函数.(1)判断函数的奇偶性；(2)求，的值；(3)证明：为定值.【解析】（1）由题可知的定义域是，定义域关于原点对称，因为，所以是偶函数.（2）因为，所以，.（3）因为，所以是定值.题型二：已知函数的奇偶性求表达式例4．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．【答案】/【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，，所以当时，的表达式为.故答案为：例5．（2023·广东肇庆·高一统考期末）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是_____________．【答案】【解析】函数在上为奇函数，且当时，，当时，，，故答案为：.例6．（2023·北京·高一校考开学考试）设是定义在上的奇函数，且时，，求的解析式___________.【答案】【解析】当时，，由于是定义在R上的奇函数，，=；故答案为：=.变式4．（2023·上海杨浦·高一校考期末）若函数是上的偶函数，且当时，，则当时，__________.【答案】【解析】由题意函数是上的偶函数，且当时，，则当时，，故答案为：变式5．（2023·山西大同·高一大同一中校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.当时，求函数的解析式__________.【答案】【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，当时，上式也满足，所以当时，函数的解析式为，故答案为：.变式6．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）设为实数，函数是奇函数，则__．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，所以.当时，．故答案为:.题型三：已知函数的奇偶性求值例7．（2023·高一课时练习）己知是定义在上的奇函数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以令，则，因为，，所以，令，则.故选：D.例8．（2023·高一课时练习）已知是上的奇函数，当时，，则（

）A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】当时，，因为是上的奇函数，所以，所以.故选：A.例9．（2023·云南·高一统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（

）A．1 B．－1 C．5 D．－5【答案】B【解析】根据奇函数性质可知；而，所以，所以.故选：B变式7．（2023·高一课时练习）已知，则等于（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【解析】函数的定义域为R，令函数，显然，即函数是R上的奇函数，因此，即，而，所以.故选：C变式8．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，且，故，所以，所以，则.故选：B.变式9．（2023·高一单元测试）奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为奇函数在上是增函数，故在上是增函数，因为在上的最大值是8，最小值为，所以在上最小值是8，最大值为1，即，故.故选：C题型四：已知函数的奇偶性求参数例10．（2023·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）若函数为奇函数，则__．【答案】【解析】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，所以，，解得.故答案为：.例11．（2023·上海宝山·高一校考阶段练习）函数是偶函数，且定义域是，则______．【答案】2【解析】是偶函数，且定义域是，且，则，又，，故，.故答案为：2.例12．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）若是奇函数，则__________【答案】3【解析】因为，所以，解得且，则的定义域为，因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称，故，则，当时，，所以，满足题意，所以.故答案为：3.变式10．（2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，则________.【答案】【解析】由于是定义在上的偶函数，所以，，所以，不恒为，所以，所以.故答案为：变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，（且）是偶函数，则的值为__________．【答案】【解析】由题意可得：函数的对称轴为y轴，且定义域关于原点对称，则，解得，故.故答案为：.变式12．（2023·上海·高一专题练习）如果为奇函数，那么__．【答案】【解析】由题意知：的定义域为，又为奇函数，，解得：；当时，，，，满足为奇函数，.故答案为：.变式13．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知.若是奇函数，则实数a的值是____________.【答案】【解析】函数的定义域为且，因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，因此，整理得，即，于是得，解得，所以实数a的值是.故答案为：变式14．（2023·北京·高一校考开学考试）已知函数，且函数是偶函数，求实数___________【答案】4【解析】因为函数，且函数是偶函数，所以所以图像关于对称，即，即恒成立，化简为当时，，不可能恒成立，舍去；当时，恒成立，，解得.故答案为：4.题型五：已知奇函数+M例13．（2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中），若，则__________.【答案】4【解析】令，则，为奇函数，由，解得，所以.所以.故答案为：4.例14．（2023·山东滨州·高一校考期中）已知函数，且，则________________.【答案】【解析】由，令且定义域为，，所以为奇函数，故，则.故答案为：例15．（2023·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.【答案】1【解析】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故答案为：1变式15．（2023·江西宜春·高一校联考期末）已知，且，那么________．【答案】【解析】令，，是奇函数.,,..故答案为：变式16．（2023·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）设函数的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，可令，则，为定义在上的奇函数，，则，.故选：D.变式17．（2023·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）若定义上的函数满足：对任意有，若的最大值和最小值分别为，，则的值为（

）A．2022 B．2018 C．4036 D．4044【答案】D【解析】任意有，取，则即，令，则，故，令，则，故，故为上的奇函数，故即，故，故选：D.题型六：抽象函数的奇偶性问题例16．（2023·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数的定义域为，且对任意x，，都有；(1)求的值；(2)判断的奇偶性并证明你的结论：(3)若时，，求证：在单调递减.【解析】（1）令，得，即．（2）函数是定义在R上的奇函数，证明如下：令,则，即，∴函数是定义在R上的奇函数．（3）设，则，∵，∴，则，∴，即，即函数在单调递减．例17．（2023·山西太原·高一校联考阶段练习）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有．(1)证明是奇函数；(2)解不等式．【解析】（1）证明：令，则由，得，即；令，则由，得，即得，故是奇函数．（2），所以，则，即，

因为，所以，所以，

又因为函数是增函数，所以，所以或．所以x的解集为．例18．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）已知函数的定义域均为R，对任意x，y恒有，且．(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明．【解析】（1）令得，，所以，又，所以．（2）是奇函数，证明：又因为函数的定义域为R，所以是奇函数．变式18．（2023·安徽合肥·高一校考期中）已知满足，且时，(1)判断的单调性并证明；(2)证明：；(3)若，解不等式．【解析】（1）是定义在上的减函数，证明如下：，且，则，，又，即，，是定义在上的减函数；（2）由，令，得，令可得，，，，即；（3），，，即，又是定义在上的减函数，，解得或，不等式的解集为或．题型七：奇偶性与单调性的综合运用例19．（2023·高一课时练习）偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题目条件，想象函数图象如下:因为，为偶函数，所以，所以当和时，，故选：B.例20．（2023·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，所以当时，，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，且，解得，所以不等式的解集为.故选：C.例21．（2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数为奇函数，，，函数在上是增函数，函数在上是增函数，所以当或时，当或时，对于，则或，解得或的取值范围是．故选：D．变式19．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以由，当时，由，因为在上单调递增，所以，或，而，所以；当时，由，因为在上单调递增，所以或，而，所以，故选：A变式20．（2023·海南·高一农垦中学校考阶段练习）已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于y轴对称，为偶函数，，∴不等式可变为，偶函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，解得.故选：B.变式21．（2023·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）设函数是定义域在上的偶函数，且在上递减，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则.且是定义域在上的偶函数，在上递减.所以，，.由在上递减，可得，即.故选：C．变式22．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】构建，则，故在定义域内为偶函数，∵任意的，，满足，则在上单调递增，故在上单调递减，对于不等式，则有：当时，可得，即，∵在上单调递增，且，∴的解集为；当时，可得，即，∵在上单调递减，且，∴的解集为；综上所述：不等式的解集为.故选：A.变式23．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】由已知可得.当时，有.由，且在上单调递减，可知；当时，有.根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，所以.综上所述，不等式的解集为或.故选：B.变式24．（2023·全国·高一阶段练习）若定义在R的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在R的奇函数在上单调递减，且，所以函数在上单调递减，，所以由可得，故选：D题型八：利用函数奇偶性识别图像例22．（2023·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，函数的定义域为，当时，函数的定义域为，其定义域都关于原点对称，，即函数为奇函数，其图像关于原点对称，故AC错误；由选项图可知，都是讨论的情况，当时，，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，故B正确；对于D选项，由图可知，.函数在和上单调递增，若，在和上单调递减，若，在和上单调递增，故D错误；故选：B例23．（2023·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）已知函数，则它的部分图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为的定义域为，关于原点对称，而，且，所以函数为非奇非偶函数，故C，D错误，排除；当时，，故B错误，故选：A.例24．（2023·安徽合肥·高一校考阶段练习）函数的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，即为奇函数，图象关于原点对称，排除A；当时，，，即，当时，，，即，排除C；而当时，，函数在上单调递减，趋近于0，排除D，选项B符合题意.故选：B变式25．（2023·广东揭阳·高一统考期末）函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足；又，所以选项B不满足，选项A符合题意.故选：A变式26．（2023·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】定义域为R，，则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；又因为，则排除选项A，选B.故选：B．题型九：对称性与奇偶性的综合应用例25．（2023·云南保山·高一校联考阶段练习）若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是偶函数，的图象关于轴对称，又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到，的对称轴为，故选：B.例26．（2023·北京·高一北京市第五中学校考期中）若定义域为的奇函数满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为的奇函数，所以，又满足，所以，即，所以，即，因为，，所以，，所以故选：D例27．（2023·浙江绍兴·高一浙江省新昌中学校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以关于对称，则，又，所以，即，函数的周期为4，取，则，所以，则D选项正确，B、C选项错误；由已知条件不能确定的值，A选项错误；故选：D.变式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由是奇函数，得，即，由是偶函数，得，令，得：，，而，于是，解得，令，得，即，则，解得，因此，又，于是，所以.故选：C变式28．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，且函数在上有最大值12，则函数在上有（

）A．最小值12 B．最大值12 C．最小值3 D．最小值2【答案】D【解析】为奇函数，则也为奇函数，在上有最大值，则在上有最大值在上有最小值可得在上有最小值故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2023·江苏宿迁·高一统考期末）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（

）A．若，则函数是增函数B．若，则函数不是减函数C．若，则函数是偶函数D．若，则函数不是奇函数【答案】B【解析】函数单调递增，需要变量大小关系恒成立，故A错误，若，则函数一定不是减函数，故B正确，若恒成立，则是偶函数，故C错误，当时，也有可能是奇函数，故D错误，故选：B．2．（2023·北京·高一校考期中）函数满足，且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（）.

A．线段AD和线段BC上 B．线段AD和线段DC上C．线段AB和线段DC上 D．线段AC和线段BD上【答案】B【解析】函数满足，故函数的图象关于直线对称，且开口向上下，所以，，.再根据，，画出函数的图象，如图所示：

故有，.且当时，；时，，故坐标所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，故选：B.3．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】A【解析】若，则，则；若，则，则.又，满足.所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选：A.4．（2023·高一课时练习）已知是上的偶函数，当时，，则（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【答案】C【解析】因为是上的偶函数，所以，所以关于对称，当时，，所以.故选：C.5．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的偶函数在单调递减，不等式等价于，等价于，即，解得，即不等式的解集是.故选：D6．（2023·高一课时练习）若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（

）A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是【答案】A【解析】由题意，奇函数在区间上是增函数，则函数在区间也为增函数，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.故选：A.7．（2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考强基计划）若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个”共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根据“共生点对”的概念知，作出函数的图象关于原点对称的图象与函数的图象如下图所示：

由图可知它们的交点有两个，所以函数y的“共生点对”有2对.故选：C.8．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，且，故，所以，所以，则.故选：B.二、多选题9．（2023·云南普洱·高一校考阶段练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】ABD【解析】因为满足，所以是偶函数；因为满足，所以是偶函数，因为满足，所以是奇函数；因为满足，所以是偶函数；故选：ABD．10．（2023·高一单元测试）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增；选项C，记，则，，，函数在上不是增函数；选项D，函数是奇函数，在上是增函数，故选：BD．11．（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A． B．的最大值为C．在上是单调递增 D．的解集为【答案】AB【解析】是定义在上的偶函数，，A正确；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，又偶函数在对称区间上的单调性和最值相同，则函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误；，为，D错误；故选：AB12．（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列四个结论，其中正确的是（

）A． B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为R D．函数的单调递增区间为，【答案】ABD【解析】对于A，因为函数是定义域为R的偶函数，所以，又，所以，故A正确；对于B，因为函数是定义域为R的偶函数，所以，又，所以，所以，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C，由题意知，，故C错误；对于D，由题意知，在上单调递减，又为偶函数，图象关于轴对称，所以在上单调递增.又，所以周期为2，所以函数在，上单调递增，故D正确.故选：ABD三、填空题13．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知有偶函数，奇函数，且有，则的值域为____________.【答案】【解析】因为为偶函数，为奇函数，且有，所以，两式相加得到，又因为，当且仅当，即时取等号，所以的值域为.故答案为：.14．（2023·北京·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.【答案】【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得.又，当时，，函数在上单调递减，，，解得，故答案为：.15．（2023·高一课时练习）设是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为__________.

【答案】【解析】观察图象知，当时，由，得，由，得，因为函数是上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则当时，由，得，由，得，所以不等式的解集为.故答案为：16．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知为偶函数且在上单调递增，比较，，大小关系_____.【答案】/【解析】因为为偶函数，所以,则函数的图象关于直线对称.又因为且在上单调递增.所以.故答案为:四、解答题17．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.(1)求函数的解析式并画出其图像；

(2)设函数在上的最大值为，求.【解析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，当时，，那么，则，所以函数的解析式为，图象如下：

（2）由图象可知：当时，在上单调递增，；时，令，解得，当时，；当时，.所以.18．（2023·高一课时练习）已知函数是偶函数，其中c为常数.(1)求c的值；(2)若时，均有，求m的取值范围.【解析】（1）函数是偶函数